La notion de satisfiabilité est une notion sémantique, qui fait appel aux calculs de toutes les interprétations possibles dans tous les modèles possibles. Le théorème de Herbrand ra-mène ces calculs sémantiques infaisables à des calculs dans des structures particulières appellées syntaxiques, ou libres, ou de Herbrand, qui vont être construites à partir du voca-bulaire figurant dans les clauses.
Soit l’ensemble des termes clos, encore appellé univers de Herbrand et noté . Soit l’ensemble des atomes clos, encore appellé base de Herbrand et noté . Définition 11.7 Une interprétation de Herbrand
- a pour domaine l’univers de Herbrand ,
- interprète le symbole YT par l’opération d’arité telle que C C , - interprète le symbole de prédicat T par un sous-ensemble arbitraire de . Theorem 11.8 (Herbrand) Un ensemble de clauses est satisfiable ssi il l’est dans une interprétation de Herbrand. Il est donc insatisfiable ssi il l’est dans toute interprétation de Herbrand.
Preuve
Soit une interprétation qui satisfait . On considère l’interprétation de Herbrand telle que C C , dont on montre qu’elle satisfait . On utilise pour cela le lemme 10.5.
La base de Herbrand étant dénombrable, (l’ensemble des termes clos de taille est fini si et sont finis et dénombrable sinon), il est possible d’énumérer les atomes clos, donc
; ! E !
$
. On peut donc organiser l’ensemble des interprétations de Herbrand en un arbre binaire dont les branches sont en correspondance biunivoque avec les interprétations de Herbrand, appellé arbre des interprétations ; jusqu’à la profondeur , l’arbre décrit toutes les interprétations des premiers termes de la base de Herbrand. Les fils d’un nœud donné, de profondeur correspondent aux deux prolongements possibles de l’interprétation au
H
ième élément de la base.
Un exemple est donné dans la figure 11.1 : on suppose dans cet exemple qu’il y a un symbole de prédicat binaire , une constante F et un symbole de fonction unaire . Les
éléments de la base de Herbrand sont ordonnés suivant la taille des atomes, puis, en cas d’égalité des tailles suivant l’ordre lexicographique des tailles des arguments de .
Un chemin de la racine à un noeudW T Q R de l’arbre sera noté et appellé une interprétation partielle des atomes à . On dira que l’interprétation prolonge l’interprétation si le cheminW est un préfixe du chemin J . On va maintenant définir un calcul des interprétations partielles dans une logique trivaluée (avec une nouvelle valeur qui se veut représenter la valeur indéfinie) de la manière suivante :
– 9 " si 9 " dans toute interprétation totale qui prolonge .
– 9 si9 dans toute interprétation totale qui prolonge . – 9
dans le cas contraire.
On pourrait montrer que cette définition coincide avec celle qui consisterait à définir le calcul des interprétations partielles de manière analogue à la définition du calcul des inter-prétations (totales) en logique binaire. Nous nous conterons en fait des propriétés suivantes : Lemme 11.9 Soit n interprétation partielle qui intreprète tous les atomes de la clause close . Alors
. Preuve
Par récurrence sur la longueur deW .
– Cas de base : W F . Alors est nécessairement la caluse vide, interprétée en . – Cas général : soitJ un noeud successeur deW . Si tous les atomes de sont énumérés
enW , on conclue par hypothèse de récurrence. Sinon,
ou
où
est l’atome énuméré deW à
J
. Par hypothèse de r´’ecurrence,
. Comme toute interprétation qui prolongentJ prolongentW , . Et comme la valeur de vérité de l’atome ou ne dépend pas de l’interprétation choisie, on en déduit que toutes les interprétations prolongent interprètent de la même façon, d’où le résultat.
Lemme 11.10 Soit une clause telle que
*
. Il existe une interprétation par-tielle telle que * .
Preuve
Il existe une substitution close telle que . On choisit alors une interprétation partielle qui interprète les atomes de de la même manière que .
Définition 11.11 W est un noeud d’échec pour l’ensemble ; E de clauses s’il existe une clause ! et une substitution close telle que ! et la propriété n’est vrai pour aucun prédécesseur deW dans l’arbre des interprétations.
On appelle arbre sémantique d’un ensemble de clauses l’arbre obtenu à partir de l’arbre des interprétations en élaguant les sous-arbres issus d’un noeud d’échec et en éti-quettant ce dernier par les instances des clauses réfutées.
Un arbre sémantique sera dit clos si toute branche se termine en un noeud d’échec.
Exemple 11.12 Supposons que est réduit à un symbole de constante F et à un symbole unaire , étant réduit au symbole de prédicat unaire . Soit l’ensemble de clauses
; 4*
. On obtient l’arbre sémantique clos de la figure 11.2, où les feuilles de l’arbre sont étiquettées par des instances de clauses de .
F
FIG. 11.2 – Exemple d’arbre sémantique clos
Un arbre sémantique clos est bien sûr fini, cela est une conséquence de l’énumération des atomes de la base de Herbrand. Si nous avions choisi d’énumérer les atomes de la base selon un ordre transfini, donc non isomorphe à l’ordre des entiers naturels, alors l’arbre sémantique ne serait plus nécessairement fini. La notion d’arbre clos, toutefois, est en fait suffisament générale pour traiter ce cas là également.
Exercice 11.13 Calculer l’arbre sémantique clos pour l’ordre sur les atomes qui énu-mère tous les atomes de la forme
. Q F
avant d’énumérer les atomes de la forme
. F
.
Theorem 11.14 Un ensemble de clauses est insatisfiable ssi il possède un arbre séman-tique clos.
Preuve
Si un ensemble de clauses possède un arbre sémantique clos, alors toute interprétation
prolonge une interprétation partielle qui étiquette un noeud d’échec. Il existe donc au moins une instance d’une clause de dont l’interprétation est fausse dans donc dans .
Réciproquement, si possède un arbre sémantique non clos, alors il existe une interprétation dont aucune interprétation partielle n’étiquette un noeud d’échec. On en déduit aisément par contradiction que s’interprète en T dans I : supposons qu’il existe une clause de telle que * , cad pour une certaine substitution close
. Les atomes de étant en nombre fini, ils sont tous énumérés avant un certain entier . Il existe donc une interprétation partielle que prolonge , telle que
. Donc il existe un noeud préfixe deW qui est noeud d’échec, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Donc est un modèle de .