6.4 Fonctionnelles de relations asssociées aux structures de données essentielles 45
6.4.3 Extension multi-ensemble
. Ce qui prouve la terminaison de puisque
est bien fondé.
6.4.3 Extension multi-ensemble
Il s’agit cette fois de construire des relations sur les multi-ensembles finis composés d’éléments d’un ensemble muni d’une relation.
Si est un ensemble, l’ensemble
des multi-ensembles finis d’éléments de est formé des applications de dans N qui sont nulles sauf pour un nombre fini d’éléments de
. Habituellement, on note un multi-ensemble en répétant fois :
Exemple 6.26 Soit N et le multi-ensemble F + , F , -+ et
On définit les opérations H 3 sur les multi-ensembles par :
. La taille d’un multi-ensemble est l’entier $ .
Pour des ensembles, les opérations d’addition et d’union coincident, ce qui n’est plus le cas pour des multiensembles. Dans la littérature, on trouve fréquemment l’opération d’union avec la définition donnée ici pour la somme. Cela se justifie du fait du rôle essentiel joué par l’opération somme de multiensembles. Il pourra nous arriver de faire cette confusion.
Il existe de nombreuses définitions de l’extension multi-ensemble d’une relation sur un ensemble . Toutes coincident bien sûr dans le cas qui nous intéresse, celui des préordres. Nous en donnons une qui se prête bien aux raisonnements. Les autres font l’objet d’exercices. Celle que nous choisissons définit l’extension multi-ensemble d’une relation comme la fermeture réflexive transitive d’une relation plus primitive :
Définition 6.27 L’extension multi-ensemble sur d’une relation quelconque sur
, dont
est la partie stricte et la partie équivalente, est la fermeture réflexive transitive, notée
, de la relation telle que
3
où
Remarquons que est une équivalence et qu’elle est aussi la partie équivalente de . Par contre, la partie stricte de n’est pas
, mais
X .
Cela résulte de notre définition de la partie stricte d’une relation quelconque, qui inclue les étapes d’équivalence nécessaires. La preuve de ces assertions importantes est un exercice utile laissé au lecteur, de même que la caractérisation suivante simple de :
Lemma 6.28 ssi ; * * E ; E , et V T
* ! !.
On arrive aux résultats principaux de cette construction multiensembliste : Proposition 6.29 La relation
est
– un préordre sur dont l’équivalence et l’ordre strict associés sont respective-ment et
Le dernier résultat de cette liste est ancien (près d’un siècle) dans le cas très particulier où le préordre de départ (il ne suffit pas d’avoir une relation quelconque dans ce cas) est l’égalité sur un alphabet fini. L’énoncé traditionnel de ce résultat connu sous le nom de Lemme de Dicson est le suivant : dans toute suite infinie de monômes sur un nombre fini d’indéterminées, il existe un couple de monômes dont l’un divise l’autre. La preuve n’est pas tout à fait évidente, comme on va le voir.
Proof: On se contentera de prouver d’abord la bonne fondation, puis la propriété de beau préordre.
Commençons par la bonne fondation qui est plus simple. Le sens seulement si est trivial, car on peut identifier avec les multi-ensembles singletons. Nous raisonnons par l’absurde pour prouver l’autre direction, en remarquant par la caractérisation de l’ordre strict associé
à
qu’il suffit de prouver la propriété pour la relation
X .
Soit donc ; ! E !$ IN une suite infinie décroissante pour
X . On construit par récurrence sur IN une suite infinie ; ! E !$ IN d’arbres vérifiant les propriétés suivantes :
(i) ! est le multi-ensemble des feuilles de !,
(ii) Si* est l’etiquette d’un nœud interne de ! différent de la racine, et l’étiquette d’un fils de ce nœud, alors*
, (iii) ! est un arbre à branchement fini.
est un arbre de racine quelconque dont les feuilles sont étiquettées par les éléments de , satisfaisant ainsi les propriétés annoncées. Soit !
X !Q . Par
coincident par définition de la partie stricte d’une relation : cette remarque est nécessaire, puisque les éléments remplaçant * ont pu être eux-même remplacés par des éléments équivalents qui sont justement les !), et
(b) ; * * E <; E et V T * ! !.
Par hypothèse de récurrence,* est une feuille de !. On obtient alors !Q en deux étapes : Première étape : on ajoute fils à la feuille de ! étiquettée par* , qui sont étiquettés par ;
Deuxième étape : on remplace les* ! qui étiquettent les feuilles de ! (par l’hypothèse de récurrence) par les !. Notons que comme précédemment, tout élément strictement plus grand que* ! reste strictement plus grand que !.
Il est donc clair que cette construction préserve les propriétés (i), (ii) et (iii).
Cette suite strictement croissante d’arbres (pour l’ordre ( ssi toute position in-terne de est une position de qui a la même étiquette de surcroît) a donc une limite qui est un arbre infini satisfaisant les propriétés (ii) et (iii). Comme cet arbre infini est à branchement fini, le lemme de König implique l’existence d’une branche infinie, notée , qui est donc une suite infinie de positions de l’arbre infini. Par définition de l’arbre infini,
W J T such that
J W
H
V T IN tel queW et
J
soient des noeuds internes de
! étiquettés respectivement par * et (V n’est bien sûr pas unique, mais les étiquettes
* et sont les mêmes pour tous les ! possibles : ce sont celles de la branche infinie ).
Par la propriété (ii),*
* . Comme la branche est infinie, cela implique l’existence d’une suite infinie strictement décroissante d’éléments de pour la relation
, ce qui est impossible.
Continuons par la propriété de beau préordre. La preuve est le premier exemplaire de trois preuves qui se ressemblent, dont les deux autres sont dans les paragraphes qui suivent.
Comme précédemment, le sens seulement si est trivial. Pour le sens si, on raisonne par l’ab-surde : supposons que l’ensemble des suites (dites contre-exemples) de multiensembles
;
), est non-vide. Cela implique l’existence d’une suite contre-exemple minimale ; ! E !$ IN définie comme suit : pour tout V T IN, le multiensemble ! de rang V est de taille minimale parmi l’ensemble des multiensembles de rangV de toutes les suites contre-exemple commençant par des multiensembles de taille
+
! .
La suite ; ! E ! ne contient pas le multiensemble vide puisqu’elle est dans et que le multiensemble vide est plus petit que tous les autres. Soit alors
!
<; B !E H ! avec
B ! T
quelconque. Comme est un beau préordre, on peut extraire par le lemme 6.20 une sous-suiteB ! telle que, pour tout ,B ! B !
IN ne serait pas minimale. Donc il existe deux indices V tels que * !
*
. On raisonne maintenant par cas suivant les positions de V par rapport à V pour montrer que la condition * !
, ce qui contredit l’appartenance de la suite
! à :
, et par définition de l’extension multiensemble
ce qui implique à nouveau
!
par définition de l’ordre multiensemble.
On remarquera l’utilisation de la propriété de transitivité, qui fait que l’extension mul-tiensemble ne préserve pas les belles relations en général.
Exemple 6.30 Considérons le système de réécriture composé de la seule règle
4* X X * XG
X
On considère alors la fonction d’interprétation C qui est le multi-ensemble des nombres
M pourM X sous-terme deC . Par exemple, B X = X, B X = X ; B +B +B H = H
si l’on suppose queB et= ne contiennent pas d’occurrence de X.
SiC M se réécrit en C à la positionW , alors C M M0 H et C
ce qui achève la preuve de terminaison.
Mais dans cet exemple, une extension lexicographique aurait tout aussi bien permis de prouver la terminaison.
On peut noter que l’extension multi-ensemble d’une relation d’ordre est un ordre total ssi est un ordre total.