pour la deuxième règle et
*
On peut alors conclure grâce à l’interprétation polynomiale simple (voir chapitre 6) :
En fait, la méthode de Aarts et Giesl peut se ramener à celle de Manna et Ness. En effet, une fois que l’on sait que le système termine, sa relation de dérivation est un ordre de réécriture qui permet de prouver la terminaison de . On voit bien que cette méthode ne fait qu’apporter un certain confort à l’utilisateur, ce qui n’est bien sûr pas une mince affaire.
5.3 Modularité
L’union de deux systèmes de règles et . qui terminent tous deux ne termine pas nécessairement, comme le montre l’exemple simple
; B = E . ;=
B)E
. Ce qui est plus surprenant est que cela reste le cas lorsque les deux systèmes de règles ne partagent aucun symbole de fonction, comme le montre l’exemple suivant dû à Toyama :
La terminaison de est évidente, il suffit d’interpréter un terme par sa taille. ter-mine également, on pourra interpréter un terme par le nombre de radicaux distincts qu’il contient. Par contre, l’union de et de . ne termine pas, en effet :
On peut bien sûr se demander si la non-confluence de joue un rôle, mais il n’en est rien, comme le montrer l’exemple modifié qui suit :
pour lequel la dérivation infinie est issue du terme
B
On montrera en exercice que chaque système est confluent et termine.
Par contre, la duplication des variables de la règle de . joue un rôle essentiel, ainsi que la possibilité de projeter un terme sur l’un de ses sous-termes ce que réalisent les règles de
.
5.3.1 Commutation
Dans ce paragraphe, nous allons donner une condition suffisante très utile en pratique de modularité d’une union.
si la propriété suivante est satisfaite :
Proposition 5.14 Supposons que les deux relations & et
/
On montre que pour tout terme , toute dérivation issue de pour la relation
& 3 )
/ est finie. La preuve est par récurrence sur le couple , où est le nombre d’étapes consécutives avec . séparant de la première étape avec (on prendra
#
au cas où la dérivation ne contient aucune étape ). Les paires seront com-parées lexicographiquement, le premier argument avec la relation
&
, le second avec l’ordre sur les entiers naturels. Il y a trois cas (une fois éliminé le cas trivial d’une dériva-tion vide) :
1. La dérivation est de la forme & . Comme ) & , la dérivation issue de
est plus petite que la dérivation initiale, donc elle est finie. Il en est donc de même de la dérivation issue de .
2. La dérivation ne contient aucune étape . Alors elle ne contient que des étapes . , et comme
/
est bien fondée, elle est finie.
3. La dérivation est de la forme
/
/ M )
C
. Cette dérivation est donc mesurée par le couple H . Par la propriété de commutation, il existe
tel que ) Q & ) R C. La dérivation
. Par hypothèse de récurrence, elle est donc finie, ce qui implique la finitude de la dérivation de départ.
Malgré l’apparence constructive de cette preuve, ce résultat n’est pas un théorème in-tuitioniste en général. La raison n’est pas immédiatement apparente. D’où une question naturelle : sous quelles conditions sur les relations et
.
la preuve ci-dessus est-elle constructive, faisant du résultat un théorème intuitioniste ?
Un cas particulier s’avère d’une importance essentielle :
Corollaire 5.15 Soit ) une relation de récriture qui termine. Alors la relation) 3 est bien fondée.
Proof: On montre simplement que la récriture commute sur sous-terme strict, ce qui est évident.
Ce corollaire sert très souvent en pratique. Notons que la relation obtenue est stable, mais pas monotone.
5.3.2 Unions disjointes
Une condition suffisante de modularité consiste à interdire la présence simultanée de règles de projection (de la forme@ * où*#T BGK @) dans et de règles qui dupliquent une variable dans . . On pourra consulter [10].
Une autre condition suffisante consiste à demander que les systèmes soient canoniques et linéaires gauches [19].
Ces résultats sont techniquement non triviaux. En particulier, aucune preuve vraiment simple n’est connue pour le second.
5.4 Exercices
Exercice 5.16 Donner un codage des machines de Türing par un système de récriture, tel que, si est le code de la machine , alors s’arrète lors du calcul de la donnée M ssi le code deM est fortement normalisable pour .
Exercice 5.17 Soit un système de récriture sans variables, et
l’ordre sur les règles définit par @ K ssiK est réductible par .
1. Montrer que
est bien fondé ssi il est sans cycle.
2. Montrer que ne termine pas si
possède un cycle.
3. Montrer qu’il existe toujours une dérivation infinie avec une infinité d’applications de règles en tête dans le cas où ne termine pas.
4. En déduire que termine si
est sans cycle.
5. En déduire que la terminaison de la réécriture avec est décidable.
Exercice 5.18 On définit la relation si et seulement si il existe une position W T
>
O
et une substitution 1 BGK telles que, C .
Soit maintenant ) une relation de réécriture qui termine. Montrer que la relation
3 termine. Est-elle monotone ? stable ?
Chapitre 6
Ordres bien fondés sur les termes
Les ordres bien fondés sur les termes et leur construction sont l’outil de base des preuves de terminaison des systèmes de réécriture et plus généralement des programmes informa-tiques. L’objectif est de donner quelques briques de base permettant, via des fonctions d’in-terprétation, de construire des ordres bien fondés adaptés au problème à traiter. Nous don-nons tout d’abord quelques définitions essentielles sur les relations avant de présenter les extensions lexicographique, multi-ensemble et arbre d’une relation. Nous terminons par les ordres de simplification qui jouent un rôle essentiel en théorie comme en pratique.