Taille des grandes villes

XII.6 Taille des grandes villes

Exercice XII.6 (Loi de Pareto et taille des villes).

Les lois en puissance semblent correspondre `a de nombreux ph´enom`enes⁸ : nombre d’habitants des villes, nombre de t´el´echargements des pages web, nombre d’occur-rences des mots du langage. . . L’objectif de ce probl`eme est d’´etudier la famille des lois de Pareto, et de comparer `a l’aide d’un tel mod`ele les nombres, convenablement renormalis´es, d’habitants des plus grandes villes europ´eennes et am´ericaines.

On consid`ere la loi de Pareto (r´eduite) de param`etre α >0, de densit´e : f_α(x) = α

x^α+11_{x>1}.

La partie I est consacr´ee `a la recherche d’estimateurs du param`etre α. Dans la partie II, on construit un test pour comparer les param`etres α provenant de deux ´echantillons diff´erents (villes europ´eennes et villes am´ericaines). La partie III concerne l’application num´erique. La partie IV est ind´ependante des autres parties, et permet de comprendre que les donn´ees sur les plus grandes villes sont suffisantes et naturelles pour l’estimation du param`etreα.

I Estimations et intervalles de confiance du param`etre de la loi de Pareto

Soit (X_k, k ∈N^∗) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de Pareto de param`etreα >0.

1. Calculer E_α[X₁], puisE_α[X₁²].

2. D´eduire du calcul de E_α[X₁] un estimateur ˜α_n de α, construit `a partir de X1, . . . , Xn. V´erifier que, pourα >1, l’estimateur (˜αn, n≥1) est convergent.

3. Donner la vraisemblance du mod`ele et d´eterminer une statistique exhaustive.

Que dire de l’estimateur ˜α_n?

4. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de α, construit `a partir deX1, . . . , Xn, est ˆαn= n

Pn

k=1log(X_k).

8. M. E. J. Newman. Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law.Contemporary Physics, vol. 46(5), pp. 323-351 (2005).

5. Montrer que la loi de log(X₁) est une loi exponentielle dont on pr´ecisera le param`etre. En d´eduireE_α[log(X1)] etE_α[log(X1)²].

6. V´erifier directement, `a l’aide de la question I.5, que la suite (ˆαn, n≥1) est un estimateur convergent deα.

7. Montrer directement, `a l’aide de la question I.5, que l’estimateur (ˆα_n, n ≥1) est asymptotiquement normal. Montrer que sa variance asymptotique estα². 8. Calculer l’information de Fisher. L’estimateur est-il asymptotiquement

effi-cace ?

9. Construire un intervalle de confiance de niveau asymptotique 1−η pour α.

10. Montrer, `a l’aide des fonctions caract´eristiques, que la loi de ααˆ<sup>−</sup><sub>n</sub><sup>1</sup> est une loi gamma dont les param`etres ne d´ependent pas de α. Construire alors un intervalle de confiance de niveau exact 1−η pour α, utilisant les quantiles des lois gamma.

II Comparaison d’´echantillons

Pour une r´egion du globe r, on suppose que les nombres d’habitants des villes suivent approximativement une loi de Pareto g´en´erale qui sera introduite dans la partie IV. Ce mod`ele est raisonnable pour les grandes villes⁹. On note ˜x^r₍₁₎ >

· · ·>x˜^r_(nr+1) les nombres d’habitants desn^r+ 1 plus grandes villes¹⁰. On v´erifiera dans la partie IV, que les observations renormalis´ees par le minimun x˜^r₍₁₎

˜

x_(n^r₊₁₎ >

· · ·> x˜^r_(nr)

˜ x_(nr+1)

correspondent alors au r´eordonnement d´ecroissant de r´ealisations de n variables al´eatoires, (X₁^r, . . . , X_n^r), ind´ependantes et de mˆeme loi de Pareto de param`etre α^r.

Le param`etre α<sup>r</sup> peut s’interpr´eter comme le rapport du taux de naissance plus le taux d’apparition de nouvelles grandes villes sur le taux de naissance de la r´egion r. Plusα<sup>r</sup> est grand et plus la probabilit´e d’observer des (relativement) tr`es grandes villes est faible.

On dispose des nombres d’habitants des 266 (n^UE= 265) plus grandes villes de l’Union Europ´eenne (UE) et des 200 (n^USA = 199) plus grandes villes des ´ Etats-Unis d’Am´erique (USA). Les histogrammes des figures XII.1 (UE) et XII.2 (USA) concernent les donn´ees estim´ees en 2005. On a ´egalement port´e la densit´e de la loi de Pareto avec le param`etre estim´e, pour se convaincre que la mod´elisation est cr´edible.

9. Y. Ijiri and H. A. Simon. Some distributions associated with Bose-Einstein statistics.Proc.

Nat. Acad. Sci. U.S.A., vol. 72, pp. 1654-1657 (1975).

10. Donn´ees disponibles surhttp://www.citymayors.com/

Pour simplifier l’´ecriture, on pose n=n^UE et m=n^USA .

Le but de cette partie est de savoir s’il existe relativement moins de tr`es grandes villes dans l’UE qu’aux USA. Pour cela on consid`ere les hypoth`esesH₀={α^UE ≤ α^USA} etH₁={α^UE > α^USA}.

1. Existe-t-il un lien entre les variables (X₁^UE, . . . , X_n^UE) et (X₁^USA, . . . , X_m^USA) ? 2. Comme les nombres d’habitants des villes sont donn´es par ordre d´ecroissant,

cela signifie que l’on observe seulement une r´ealisation du r´eordonnement d´e-croissant. V´erifier que l’estimateur du maximum de vraisemblance deα^r, ˆα^r_nr, d´efini dans la partie I, peut s’´ecrire comme une fonction du r´eordonnement d´ecroissant.

Pourk∈N∗, on poseZ_k^r =√

k(ˆα^r_k−α^r) et on noteψ_k^r la fonction caract´eristique deZ_k^r. La question I.7 assure la convergence simple de (ψ_k^r, k∈N∗) vers la fonction caract´eristique de la loi gaussienne N(0,(α^r)²). On admet que la convergence est en fait uniforme sur les compacts, pour toutu∈R:

klim→∞ sup

converge en loi, quand min(n, m) tend vers l’infini, vers une loi gaussienne de moyenne nulle et de varianceα².

On consid`ere :

ˆ

σ_n,m² = n(ˆα^UE_n )²+m(ˆα^USA_m )²

n+m ,

et la statistique de test : ζ_n,m= gaussienne centr´ee r´eduiteN(0,1).

5. Si α^UE < α^USA, donner le comportement asymptotique de la suite (ζn,m, n ∈ N∗, m∈N∗) quand min(n, m) tend vers l’infini.

6. Si α^UE > α^USA, donner le comportement asymptotique de la suite (ζn,m, n ∈ N∗, m∈N∗) quand min(n, m) tend vers l’infini.

7. En d´eduire la forme de la r´egion critique pour tester asymptotiquement H₀ contreH1.

8. Montrer, en utilisant le fait que la loi de ˆα^r_ni/α^rne d´epend pas deα^r(cf question I.10), que l’erreur de premi`ere esp`ece est maximale pourα^UE =α^USA.

9. En admettant le r´esultat de la question pr´ec´edente, donner la r´egion critique de niveau asymptotiqueη pour testerH₀ contreH₁.

10. Ce test est-il convergent ?

11. Comment calculer la p-valeur asymptotique de ce test ? III Application num´erique

On donne η = 5% et dans le tableau XII.11 les statistiques pour les nombres d’habitants des plus grandes villes de l’Union Europ´eenne et des ´Etats-Unis d’Am´e-rique.

R´egion : r UE USA

Nombre de donn´ees :n^r 265 199

Plus grande ville : ˜x(1) (Londres) 7.07 (New York) 8.08 Plus petite ville : ˜x(n^r+1) 0.15 0.12 Pn^r

k=1xk 676.8 620.8

Pn^r

k=1x²_k 5584.6 8704.6

Pn^r

k=1log(xk) 166.6 147.6

Pn^r

k=1log(xk)² 210.2 207.6

Table XII.11. Donn´ees 2005 sur les plus grandes villes de l’UE et des USA. Les nombres d’ha-bitants sont en millions.

1. Donner les estimations par maximum de vraisemblance de α^UE,α^USA et leurs intervalles de confiance asymptotiques de niveau 1−η (cf. partie I).

2. Calculer la p-valeur du test pr´esent´e dans la partie II.

3. Conclusion ?

IV R´eduction des lois de Pareto

Soit une suite ( ˜Xn, n ∈ N∗) de variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Pareto de param`etre (α, β)∈]0,∞[² de densit´e :

f_α,β(x) =α β^α

x^α+11_{x>β}.

0 10 20 30 40 50

Figure XII.1.Histogramme des nombres d’habitants desn= 265 plus grandes villes de l’Union Europ´eenne (divis´ees par la taille de la (n+ 1)-i`eme grande ville), et densit´e de la loi de Pareto de param`etre ˆα^UE_n (sur le graphique de droite seulement).

0 10 20 30 40 50 60 70

Figure XII.2. Histogramme des nombres d’habitants desm= 199 plus grandes villes des ´Etats Unis d’Am´erique (divis´ees par la taille de la (m+ 1)-i`eme grande ville), et densit´e de la loi de Pareto de param`etre ˆα^USAm (sur le graphique de droite seulement).

1. Calculer la fonction de r´epartition,F_α,β, de la loi de Pareto de param`etre (α, β).

2. Calculer P

X˜₁/y > x|X˜₁> y

pour y > β et x >1. En d´eduire la fonction de r´epartition, puis la loi, de ˜X₁/y sachant ˜X₁ > y, o`uy > β.

Soit n, k ∈ N^∗. On consid`ere le r´eordonnement d´ecroissant, appel´e aussi sta-tistique d’ordre, de ( ˜X₁, . . . ,X˜_n+k), que l’on note ( ˜X₍₁₎, . . . ,X˜_(n+k)) et qui, on l’admet, est p.s. uniquement d´efini par :

X˜₍₁₎ >· · ·>X˜_(n+k) et {X˜₁, . . . ,X˜_n+k}={X˜₍₁₎, . . . ,X˜_(n+k)}.

En particulier on a ˜X₍₁₎ = max_1≤i≤n+kX˜_i et ˜X_(n+k)= min_1≤i≤n+kX˜_i. On admet que le r´eordonnement d´ecroissant est un vecteur de loi continue et de densit´e :

g_n+k(x₁, . . . , x_n+k) = (n+k)!1_{{x1>···>xn+k}}

n+k

Y

i=1

f_α,β(x_i).

Le but de ce qui suit est de d´eterminer la loi desnplus grandes valeurs divis´ees par la (n+ 1)-i`eme, c’est-`a-dire de (Y₁, . . . , Y_n) =

X˜₍₁₎ X˜_(n+1), . . . ,

X˜_(n) X˜_(n+1)

! . 1. Montrer que la densit´e de la loi de ( ˜X₍₁₎, . . . ,X˜_(n+1)) est :

(n+k)!

(k−1)! 1_{{x1>···>xn+1}}F_α,β(x_n+1)^k−1f_α,β(x_n+1)

n

Y

i=1

f_α,β(x_i).

2. Montrer que (Y₁, . . . , Y_n) a mˆeme loi que le r´eordonnement d´ecroissant de (X1, . . . , Xn), o`u les variables X1, . . . , Xn sont ind´ependantes de mˆeme loi de Pareto de param`etre (α,1). V´erifier ainsi que la loi de (Y₁, . . . , Y_n) ne d´epend ni deβ ni dek.

Quitte `a consid´erer lesn+ 1 plus grandes valeurs de la suite ( ˜X<sub>i</sub>,1≤i≤n+k), on peut les remplacer par lesnplus grandes divis´ees par la (n+1)-i`eme, et supposer ainsi que l’on consid`ere le r´eordonnement d´ecroissant de n variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Pareto de param`etre (α,1).

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