. 1. Montrer que la densit´e de la loi de ( ˜X(1), . . . ,X˜(n+1)) est :
(n+k)!
(k−1)! 1{x1>···>xn+1}Fα,β(xn+1)k−1fα,β(xn+1)
n
Y
i=1
fα,β(xi).
2. Montrer que (Y1, . . . , Yn) a mˆeme loi que le r´eordonnement d´ecroissant de (X1, . . . , Xn), o`u les variables X1, . . . , Xn sont ind´ependantes de mˆeme loi de Pareto de param`etre (α,1). V´erifier ainsi que la loi de (Y1, . . . , Yn) ne d´epend ni deβ ni dek.
Quitte `a consid´erer lesn+ 1 plus grandes valeurs de la suite ( ˜Xi,1≤i≤n+k), on peut les remplacer par lesnplus grandes divis´ees par la (n+1)-i`eme, et supposer ainsi que l’on consid`ere le r´eordonnement d´ecroissant de n variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Pareto de param`etre (α,1).
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XII.7 R´esistance d’une c´eramique
Exercice XII.7 (R´esistance d’une c´eramique et loi de Weibull).
Les c´eramiques poss`edent de nombreux d´efauts comme des pores ou des micro-fissures qui sont r´epartis al´eatoirement. Leur r´esistance `a la rupture est mod´elis´ee par une variable al´eatoire de loi de Weibull11.
La premi`ere partie de l’exercice permet de manipuler la loi de Weibull. La deuxi`eme permet d’expliquer le choix de la loi de Weibull pour la loi de la r´esis-tance `a la rupture. Les troisi`eme et quatri`eme parties abordent l’estimation des param`etres de la loi de Weibull12. La partie II d’une part, et les parties III et IV d’autre part, sont ind´ependantes.
11. Norme ISO 20501 : 2003,http://www.iso.org/iso/fr/
12. P. Murthy, M. Xie and R. Jiang.Weibull models. Wiley Series in Probability and Statistics (2004).
La densit´e de la loi de Weibull de param`etre (α, β) ∈]0,∞[2 est d´efinie sur R par :
fα,β(x) = α β
x β
α−1
exp
− x
β α
1{x>0} et la fonction de r´epartition parFα,β(x) = 0 six≤0 et :
Fα,β(x) = 1−exp
− x
β α
pour x≥0.
Le param`etre de formeα est, en analyse des r´esistances des c´eramiques, appel´e module de Weibull. Ce param`etre, qui caract´erise l’homog´en´eit´e de la c´eramique, est adimensionnel. Il est d’autant plus ´elev´e que la c´eramique est homog`ene. Les valeurs actuelles sont de l’ordre de 5 `a 30. Le param`etre d’´echelle β est parfois appel´e contrainte caract´eristique (Fα,β(β) = 1−e−1 ≃ 63.21%). Il est exprim´e dans les mˆemes unit´es que les contraintes (i.e.en Pascal), il d´epend de la qualit´e et de la taille de la c´eramique.
I ´Etude sommaire de la loi de Weibull
On rappelle la d´efinition de la fonction Gamma, pour r >0 : Γ(r) =
Z
1{t>0}tr−1e−t dt.
On aΓ(r+ 1) =rΓ(r) pour r >0, et Γ(r+ 1) =r! pour r∈N∗.
Soit X une variable al´eatoire de loi de Weibull de param`etre (α, β)∈]0,∞[2. 1. Soit c >0. D´eterminer, `a l’aide des fonctions de r´epartition, la loi decX.
2. Montrer queE(α,β)[Xα] =βα etE(α,β)[X2α] = 2β2α.
3. Calculer la loi deXα et reconnaˆıtre une loi exponentielle dont on d´eterminera le param`etre. Retrouver les r´esultats de la question pr´ec´edente.
II Pourquoi la loi de Weibull ?
On consid`ere une barre de c´eramique de longueur L soumise `a une force de traction. On mod´elise la r´esistance de la barre de c´eramique, i.e. la valeur de la force de traction qui fait se rompre la barre, par une variable al´eatoire X(L). On d´ecompose la barre de c´eramique enntranches de longueurL/n, et on noteXi(L/n) la r´esistance de la tranche i∈ {1, . . . , n}. La r´esistance de la barre de c´eramique est simplement la r´esistance de la tranche la plus faible :
X(L)= min
1≤i≤nXi(L/n). (XII.7)
Ce mod`ele de tranche la plus faible intervient ´egalement en fiabilit´e quand on consid`ere la dur´ee de fonctionnement d’un appareil form´e de composants en s´erie, i.e. quand la dur´ee de fonctionnement de l’appareil est la plus petite dur´ee de fonctionnement de ses composants. On suppose que :
(A) Les variables al´eatoires (Xi(L/n), i ∈ {1, . . . , n}) sont ind´ependantes de mˆeme loi.
(B) Pour toutℓ >0,X(ℓ)a mˆeme loi que cℓX, o`ucℓ >0 est une constante qui d´epend deℓ(et de la qualit´e de la c´eramique) etX est une variable al´eatoire strictement positive.
Le but des questions qui suivent est d’identifier les lois possibles de X telles que les hypoth`eses (A) et (B) ainsi que l’´equation (XII.7) soient satisfaites.
Soit (Xk, k≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi.
1. On noteF la fonction de r´epartition deX1etFncelle de min1≤k≤nXk. Montrer que 1−Fn(x) = (1−F(x))n pour toutx∈R.
2. D´eduire de la question pr´ec´edente et de la question I.1 que si la loi deX1 est la loi de Weibull de param`etres (α, β), alors min
1≤k≤nXk a mˆeme loi que n−1/αX1. 3. Montrer que si X suit la loi de Weibull de param`etres (α, β), alors sous les
hypoth`eses (A) et (B), l’´egalit´e (XII.7) est satisfaite en loi d`es quecℓ =c1ℓ−1/α pour toutℓ >0. D´eterminer la loi deX(L).
On suppose que la fonction de r´epartition de X, H, poss`ede l’´equivalent suivant quand x tend vers 0 par valeurs sup´erieures :
H(x) =bxa+o(xa) (x >0),
o`u a > 0 et b >0. On suppose ´egalement que la r´esistance est inversement pro-portionnelle `a la longueur de la barre de c´eramique :cℓ=c1ℓ−1/α, avecα >0.
4. Donner la limite de la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire (min1≤i≤nXi(L/n), n≥ 1). En d´eduire que l’´egalit´e (XII.7) implique que a = α ainsi que X(L) et X
suivent des lois de Weibull.
En fait la th´eorie des lois de valeurs extrˆemes13 14assure que si l’on suppose les hypoth`eses (A) et(B), l’´egalit´e (XII.7) et le fait que la r´esistance X(L) n’est pas d´eterministe (et donc sans hypoth`ese sur la fonction de r´epartition de X ni sur cℓ) alors X(L) etX suivent des lois de Weibull. En particulier l’ind´ependance des r´esistances des tranches conduisent `a mod´eliser la r´esistance d’une c´eramique par une variable al´eatoire de Weibull.
13. J. Beirlant, Y. Goegebeur, J. Teugels and J. Segers.Statistics of extremes. Wiley Series in Probability and Statistics (2004).
14. P. Embrechts, C. Klueppelberg and T. Mikosch. Modelling extremal events for insurance and finance. Springer (1997).
III Estimation du param`etre d’´echelle
Soit (Xk, k≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de Weibull de param`etre (α0, β)∈]0,∞[2, o`u α0 est suppos´econnu.
1. Montrer que la vraisemblance associ´ee `a un ´echantillonX1, . . . , Xn de taille n s’´ecrit, avecx= (xk, k∈ {1, . . . , n}) :
pn(x;β) = αn0
βnα0 e−β−α0Pni=1xαi0
n
Y
j=1
xαj0−1
n
Y
l=1
1{xl>0}.
2. En utilisant le th´eor`eme de factorisation, donner une statistique exhaustive pertinente.
3. D´eterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance, ˆβn, de β.
4. En utilisant la question I.3, calculer le biais de ˆβn. V´erifier qu’il est nul si α0= 1.
5. `A l’aide des r´esultats de la question I.2, montrer directement que ˆβnα0 est un estimateur convergent et asymptotiquement normal deβα0.
6. En d´eduire que ˆβn est un estimateur convergent et asymptotiquement normal deβ. Donner la variance asymptotique.
IV Estimation du param`etre de forme
Soit (Xk, k≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de Weibull de param`etre (α, β)∈]0,∞[2. On suppose que le param`etre (α, β) ∈]0,∞[2 est inconnu.
1. Pour un ´echantillon de taillen, donner la vraisemblance et la log-vraisemblance, Ln(x; (α, β)) o`ux= (xk, k∈ {1, . . . , n}).
2. Peut-on r´esumer les donn´ees `a l’aide d’une statistique exhaustive ?
3. Donner les ´equations satisfaites par tout extremum, (˜αn,β˜n), de la log-vrai-semblance.
4. V´erifier que ˜βn=un(˜αn), pour une fonction un qui d´epend dex. Que pensez-vous de l’estimation deβ que αsoit connu ou non ?
On d´efinit la fonctionhn sur ]0,∞[ par : hn(a) =−1
n
n
X
i=1
log(xi) + Pn
j=1log(xj)xaj Pn
l=1xal ,
o`uxi>0 pour touti∈ {1, . . . , n}. On supposen≥2 et qu’il existei, j∈ {1, . . . , n} tels quexi 6=xj. On admet que la fonction hn est strictement croissante.
5. V´erifier, en utilisant ˜βn = un(˜αn), que ˜αn est l’unique solution de l’´equation hn(a) = 1
a.
6. Montrer que la fonction g :a7→ Ln(x; (a, un(a))) est strictement concave. En d´eduire que la log-vraisemblance atteint son unique maximum en (˜αn,β˜n).
7. Montrer que hn, o`u l’on remplacexi parXi, converge p.s. vers une fonctionh que l’on d´eterminera. V´erifier queh(α) = 1/α.
Ce dernier r´esultat permet de montrer la convergence p.s. de l’estimateur (˜αn,β˜n) vers (α, β). Par ailleurs les estimateurs sont fortement biais´es.
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XII.8 Sondages (II)
Exercice XII.8 (Sondage et stratification).
On consid`ere un sondage pour le deuxi`eme tour de l’´election pr´esidentielle fran¸caise effectu´e surnpersonnes parmi la population des N ´electeurs, dontNA≥2 (resp.
NB ≥ 2) votent pour le candidat A (resp. B), avec N = NA+NB. Le but du sondage est d’estimer la proportion, p=NA/N, de personnes qui votent pour A.
CommeN (environ 44 Millions d’inscrits pour l’´election pr´esidentielle fran¸caise de 2007) est grand devant n (de l’ordre de 1000), on consid`ere uniquement des sondages avec remise (en particulier une personne peut ˆetre interrog´ee plusieurs fois). Le but de cet exercice est l’´etude des m´ethodes de stratification.
I Mod`ele de r´ef´erence
La r´eponse de la k-i`eme personne interrog´ee est mod´elis´ee par une variable al´eatoireZk:Zk= 1 (resp.Zk= 0) si la personne interrog´ee vote pour le candidat A (resp. B). Les variables al´eatoires (Zk, k ≥ 1) sont ind´ependantes de loi de Bernoulli de param`etre p. On estime p `a l’aide de la moyenne empirique, ¯Zn =
1 n
Pn
k=1Zk. Rappelons que ¯Zn est un estimateur sans biais de p convergent et asymptotiquement normal.
1. Calculer le risque quadratique R( ¯Zn, p) =Ep[( ¯Zn−p)2] pour l’estimation de p par ¯Zn.
2. V´erifier que la vraisemblance du mod`ele est pn(z;p) = pn¯zn(1−p)n−n¯zn, avec z= (z1, . . . , zn)∈ {0,1}n et ¯zn= 1
n
n
X
k=1
zk. En d´eduire que ¯Zn est l’estimateur du maximum de vraisemblance dep.
3. Calculer l’information de Fisher du mod`ele. Montrer que ¯Zn est un estimateur efficace dep(dans la classe des estimateurs sans biais de p).
II M´ethode de stratification
L’objectif des m´ethodes de stratification est d’am´eliorer la pr´ecision de l’esti-mation de p, tout en conservant le mˆeme nombre, n, de personnes interrog´ees.
Pour cela on consid`ereH strates (ou groupes) fix´ees. La stratehcomporteNh ≥1 individus (Nh est connu), et on note ph la proportion inconnue de personnes de cette strate qui votent pourA,nh le nombre de personnes interrog´ees dans cette strate. Le nombre total de personnes interrog´ees est n = PH
h=1nh. On suppose que ph ∈]0,1[ pour tout 1 ≤ h ≤ H. On consid`ere la proportion des personnes interrog´ees dans la strateh qui votent pour A :
Yh = 1 nh
nh
X
i=1
Xi(h),
o`u la variable al´eatoire Xi(h) mod´elise la r´eponse de lai-`eme personne interrog´ee dans la strate h : Xi(h) = 1 (resp. Xi(h) = 0) si la personne interrog´ee vote pour le candidat A (resp. B). La variable al´eatoire Xi(h) suit une loi de Bernoulli de param`etre ph. On suppose que les variables al´eatoires (Xi(h),1 ≤ i,1 ≤ h ≤ H) sont ind´ependantes.
L’estimateur de Horvitz-Thompson15(initialement construit pour des sondages sans remise) depest d´efini par :
Y =
H
X
h=1
Nh N Yh.
II.1 ´Etude `a horizon fini
1. On choisit un individu au hasard. Quelle est la probabilit´e qu’il soit dans la strateh? En d´eduire que
H
X
h=1
Nh
N ph=p.
2. V´erifier que l’estimateur de Horvitz-Thompson est sans biais : Ep[Y] =p.
3. Calculer le risque quadratique de Y : R(Y, p) = Ep[(Y −p)2] en fonction des variancesσh2 =ph(1−ph).
4. Pourquoi dit-on que la stratification est mauvaise sinVarp(Y)> p(1−p) ? 5. Donner un exemple de mauvaise stratification.
15. D. G. Horvitz and D.J. Thompson. A generalization of sampling without replacement from a finite universe.Journal of the American Statistical Association, vol. 47, pp.663-685 (1952).
On r´epondra aux trois questions suivantes en admettant que nh peut prendre toutes les valeurs r´eelles positives et pas seulement des valeurs enti`eres. On rappelle l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Soitai, bi ∈Rpouri∈I etI fini, on a :
X
i∈I
aibi
!2
≤ X
i∈I
a2i
! X
i∈I
b2i
! ,
avec ´egalit´e si et seulement si il existe (α, β)∈R2\{(0,0)} tel queαai =βbi pour tout i∈I.
6. Montrer que pour l’allocation proportionnelle, nh = nNh
N , on a nVarp(Y) ≤ p(1−p). Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que nVarp(Y) <
p(1−p).
7. Montrer que l’allocation optimale (i.e.celle pour laquelle Varp(Y) est minimal) correspond `a l’allocation de Neyman o`unh est proportionnel `a l’´ecart-type de la strateh:Nhσh. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’al-location de Neyman soit strictement meilleure que l’all’al-location proportionnelle.
8. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que sous des conditions assez g´en´erales, on peut construire un estimateur de p sans biais qui est strictement pr´ef´erable `a l’es-timateur efficace (dans la classe des esl’es-timateurs sans biais) ¯Zn. En quoi cela n’est-il pas contradictoire ?
II.2 ´Etude asymptotique
1. Montrer que (Yh, nh ≥1) converge p.s. vers ph et que (√nh(Yh−ph), nh ≥1) converge en loi vers une loi gaussienne dont on pr´ecisera les param`etres.
2. Montrer que p.s. Y converge vers p quand min1≤h≤Hnh tend vers l’infini.
On rappelle le r´esultat suivant sur la convergence uniforme locale des fonctions caract´eristiques. Soit (Vk, k ≥1) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi et de carr´e int´egrable, avec E[Vk] =µet Var(Vk) =σ2. Alors, on a :
ψ√k( ¯V
k−µ)(u) = e−σ2u2/2+Rk(u), o`u V¯k= 1 k
k
X
i=1
Vi,
et pour toutK ≥0, lim
k→∞ sup
|u|≤K|Rk(u)|= 0.
3. Montrer que, si min1≤h≤Hnh tend vers l’infini, alors (Y − p)/p
Varp(Y) converge en loi vers une loi gaussienne centr´ee r´eduiteN(0,1).
4. Montrer que :
5. D´eduire de la question pr´ec´edente que :
I =
o`uφr est le quantile d’ordrer de la loi gaussienne centr´ee r´eduiteN(0,1), est un intervalle de confiance surpde niveau asymptotique 1−α(α∈]0,1[) quand min1≤h≤Hnh tend vers l’infini.
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