CHAPITRE 3 MODÈLE ET ANALYSE DES UNITÉS THERMIQUES
3.3 Système de stockage
Deux types de stockage thermique sont pris en considération : par chaleur sensible (réservoir d’eau chaude) et par chaleur latente (stockage de glace). D’un point de vue énergétique, un désé- quilibre entre apport et retrait d’énergie conduit à une variation de la température du matériau de stockage pour le cas de la chaleur sensible. D’un autre côté, pour le stockage par chaleur latente, le déséquilibre conduit à une variation de la proportion d’une des deux phases du matériau de stockage (proportion massique de glace par rapport à la masse totale dans le stockage de glace par exemple). Ainsi, pour le cas d’un réservoir de glace par exemple, les bilans d’énergie pour le stockage par chaleur sensible et chaleur latente se traduisent respectivement par les équations suivantes : 𝑚𝑠𝑡𝑐𝑝 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = ∑ 𝑄̇𝑘 𝑘 (3.26) 𝑚𝑠𝑡𝐿𝐹 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = − ∑ 𝑄̇𝑘 𝑘 (3.27)
où 𝑚𝑠𝑡 est la masse totale du matériau de stockage, 𝑐𝑝 est la chaleur massique du matériau du stockage sensible et t le temps. Si le stockage s’effectue par chaleur latente, 𝐿𝐹 est la chaleur la- tente du matériau de stockage tandis que 𝑥 correspond à la proportion massique de la phase solide par rapport à la masse totale du matériau. Le terme de droite des deux équations, ∑𝑘𝑄̇𝑘, repré- sente les différents échanges thermiques qui se produisent durant la période de stockage (apport, retrait, pertes d’énergie) ; ce terme est positif si de la chaleur est transférée au système. Pour le scénario étudié par Tamasauskas et al. [51] et plus spécialement le réservoir de glace, lorsqu’il y a un mélange eau/glace, c’est l’Équation (3.27) qui régit son comportement et 𝐿𝐹 correspond à la chaleur latente de fusion de la glace (333.6 kJ/kg). Dans le cas contraire, soit en présence d’eau seule, 𝑐𝑝 est la chaleur massique de l’eau (4.183 kJ/kg-C) et l’Équation (3.26) est appliquée. Évidemment, il est clair que les échanges de chaleur (∑𝑘𝑄̇𝑘) dépendent généralement de la tem- pérature (ou de la proportion de glace) du système de stockage. Par conséquent, plusieurs mé- thodes explicites ont été appliquées pour résoudre ces deux équations : la méthode d’Euler, celle d’Euler corrigée et la méthode de Runge Kutta d’ordre 4. Pour une équation différentielle du type
𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) où y représente la température ou la proportion de glace, la variable au temps t+1, soit 𝑦𝑖+1, est déterminée pour les trois méthodes respectivement comme suit :
{ 𝑦𝑘1 = 𝛥𝑡𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) 𝑖+1= 𝑦𝑖 + 𝑘1+ 𝒪(𝛥𝑡) (3.28) { 𝑘1 = 𝛥𝑡𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) 𝑘2 = 𝛥𝑡𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖 + 𝑘1) 𝑦𝑖+1= 𝑦𝑖 +𝑘1+ 𝑘2 2 + 𝒪(𝛥𝑡3) (3.29) { 𝑘1 = 𝛥𝑡𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) 𝑘2 = 𝛥𝑡𝑓 (𝑡𝑖, 𝑦𝑖 +𝑘1 2) 𝑘3 = 𝛥𝑡𝑓 (𝑡𝑖, 𝑦𝑖 +𝑘2 2) 𝑘4 = 𝛥𝑡𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖+ 𝑘3) 𝑦𝑖+1= 𝑦𝑖 +𝑘1 6 + 𝑘2 3 + 𝑘3 3 + 𝑘4 6 + 𝒪(𝛥𝑡5) (3.30)
Ces expressions sont de type explicite et permettent, de la même manière que pour le modèle du panneau photovoltaïque, de limiter le temps de calcul et d’obtenir, pour des simulations horaires, des résultats jugés acceptables. Si le changement de phase se produit à l’intérieur du pas de temps, les quantités d’énergie échangées sont anticipées afin de passer d’un type de stockage à un autre. Par exemple, celle nécessaire pour faire fondre totalement la glace est calculée ; ainsi, si l’apport est plus que suffisant pour faire fondre la glace (énergie latente), la différence d’énergie sert simplement à augmenter la température du réservoir de stockage (énergie sensible).
Les différents schémas de calcul ont été évalués pour le scénario présenté par Tamasauskas et al. [51] : il est illustré sur la Figure 3.1 et, pour rappel, consiste en un réservoir de stockage de glace servant de source de chaleur à l’évaporateur d’une pompe à chaleur (formation de glace) et de puits à des capteurs solaires (fonte de la glace). La PàC est connectée de manière à garder la tem- pérature d’un réservoir d’eau chaude constante tandis que le mélange eau/glace circule directe- ment dans les capteurs solaires et dans l’échangeur de l’évaporateur de la pompe à chaleur. Les données de simulation (besoins énergétiques, température extérieure, ensoleillement) sont de type horaire. À titre de référence aux études horaires, une simulation sur un pas de temps de 3 minutes
effectuée avec la méthode d’Euler (« Euler – 3 min ») a été utilisée pour évaluer les schémas de calculs proposés. Les résultats ont été comparés et sont identiques à ceux obtenus avec la mé- thode de Runge Kutta d’ordre 4 (« RK 4 – 3 min »). Ensuite, les trois méthodes proposées aux Équations (3.28)-(3.30), soit les méthodes d’Euler (« Euler – 1 hr »), d’Euler corrigée (« Euler corrigée – 1 hr ») et de Runge Kutta d’ordre 4 (« RK 4 – 1 hr ») ont été appliquées sur des pas de temps d’une heure et une période d’une année (8760 heures). Les différents schémas de calcul ont été analysés pour un volume du stockage de glace de 25 m3 et une surface de capteurs de 31.8 m2 ; la proportion de glace dans le réservoir ne peut également pas dépasser 40% (contrainte technique) tandis que la température du réservoir est limitée à 12°C, par choix de conception. L’erreur sur la consommation totale du scénario des trois schémas a été résumée sur le Tableau 3.5. Même si les méthodes utilisées n’ont que peu d’influence sur le résultat global (erreur maxi- male de 0.41%), c’est la méthode d’Euler qui permet d’obtenir l’erreur la plus faible, soit 0.04%.
Tableau 3.5 : Comparaison des schémas de calculs du réservoir de stockage avec Vst,g=25 m3, Scol=31.8 m2 et Tstg,max=12°C sur la consomma-
tion électrique totale du scénario.
Schéma de calcul 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 annuel (kWh) Erreur relative (%)
Euler – 3 min 5710.9 0.00
Euler – 1 hr 5708.7 0.04
Euler corrigée – 1 hr 5734.5 0.41
RK 4 – 1 hr 5729.0 0.32
Le profil horaire de la température et de la proportion de glace dans le réservoir de stockage est illustré sur la Figure 3.27 tandis que la différence avec les valeurs obtenues pour le schéma « Eu- ler – 3 min » est montrée sur la Figure 3.28. La faible erreur obtenue avec la méthode d’Euler se traduit par des erreurs absolues inférieures respectivement à 0.07°C et 0.05% sur la température et de la proportion de glace du réservoir. Les variations sont plus importantes pour les deux autres méthodes et s’élèvent jusqu’à 0.39°C et 0.10% (voir Annexe 2). Ces valeurs sont à mettre en relation avec les faibles variations horaires de la température et de la proportion de glace, infé-
rieures à 0.80°C et 1.03%. A titre comparatif, les mêmes variations sur le pas de temps de 3 mi- nutes s’élèvent au maximum respectivement à 0.04°C et 0.01%.
(a) (b)
Figure 3.27 : Profil horaire de (a) la température et (b) la proportion de glace du réservoir de glace obtenues avec « Euler – 1 hr » (Vst,g=25 m3, Scol=31.8 m2 et Tstg,max=12°C).
(a) (b)
Figure 3.28 : Différences de (a) température et (b) proportion de glace du réservoir de glace entre « Euler – 1 hr » et « Euler – 3 min » (Vst,g=25 m3, Scol=31.8 m2 et Tstg,max=12°C).
Le premier cas étudié a fait intervenir un volume de stockage assez conséquent, soit 25 m3, ce qui rend les variations de température et proportion de glace assez faibles tout en limitant les erreurs
sur les performances globales du scénario. Les différents schémas ont été appliqués pour une autre configuration permettant de plus fortes variations en température et proportion de glace, c’est-à-dire un volume de stockage de 5 m3, une surface de capteurs de 47.8 m2 et une tempéra- ture maximale du stockage de glace de 20°C. Pour cette configuration, l’erreur sur les perfor- mances est fournie sur le Tableau 3.6 tandis que les profils horaires et les différences sur la tem- pérature et la proportion de glace sont respectivement illustrés sur les Figures 3.29 et 3.30. L’erreur sur la consommation électrique totale est légèrement plus élevée pour cet arrangement de systèmes (0.18% par rapport à 0.04% pour « Euler – 1 hr ») mais elle reste toutefois relative- ment faible (maximum de 0.85%).
Tableau 3.6 : Comparaison des schémas de calculs du réservoir de stockage avec Vst,g=5 m3, Scol=47.8 m2 et Tstg,max=20°C sur la consomma-
tion électrique totale du scénario.
Schéma de calcul 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 annuel (kWh) Erreur relative (%)
Euler – 3 min 5422.5 0.00
Euler – 1 hr 5413.0 0.18
Euler corrigée – 1 hr 5468.4 0.85
RK 4 – 1 hr 5455.3 0.60
Les variations en température et proportion de glace sont bien évidemment plus importantes et atteignent au maximum 5.51°C et 7% avec « Euler – 1 hr » (0.30°C et 0.36% avec « Euler – 3 min »), ce qui entraîne par conséquent de plus fortes erreurs, jusqu’à 0.48°C et 0.14%, respecti- vement. Comme pour la première configuration, les variations sont plus importantes pour les deux autres méthodes et s’élèvent jusqu’à 2.85°C et 0.61% (voir Annexe 2).
Le fait d’obtenir des meilleurs résultats avec la méthode de plus faible ordre s’explique par la nature du terme source de l’équation différentielle (Équation 3.26), soit la chaleur récupérée par les capteurs et celle fournie à l’évaporateur de la pompe à chaleur. Il a été illustré sur la Figure 3.31 pour les deux configurations étudiées précédemment sur une courte période de temps ; sur
un intervalle d’une heure (soit de tk à tk+1), le calcul du terme source a été effectué au début (k) et
à la fin (k+1) de l’intervalle avec les températures correspondantes (Tk et Tk+1).
(a) (b)
Figure 3.29 : Profil horaire de (a) la température et (b) la proportion de glace du réservoir de glace obtenues avec « Euler – 1 hr » (Vst,g=5 m3, Scol=47.8 m2 et Tstg,max=20°C).
(a) (b)
Figure 3.30 : Différences de (a) température et (b) proportion de glace du réservoir de glace entre « Euler – 1 hr » et « Euler – 3 min » (Vst,g=5 m3, Scol=47.8 m2 et Tstg,max=20°C).
Il apparaît clairement que, malgré la variation de la température du réservoir de stockage, le terme source reste quasiment constant. En effet, sur la période d’une heure, la demande énergé-
tique, la température extérieure et l’ensoleillement sont constants tandis que la variation de la température sur un pas de temps d’une heure (< 0.8°C dans le premier cas, < 5.5°C pour la deu- xième configuration) engendre de faibles variations sur la chaleur récupérée par les capteurs et celle transférée à l’évaporateur. Le terme source quasi constant induit une variation linéaire de la température (ou proportion de glace), ce qui est exactement traduit par le schéma d’Euler contrai- rement aux deux autres méthodes.
(a) (b)
Figure 3.31 : Terme source de l’équation différentielle sur une courte période de temps obtenu avec «Euler – 3 min » avec (a) Vst,g=25 m3, Scol=31.8 m2 et Tstg,max=12°C et (b) Vst,g=5 m3,
Scol=47.8 m2 et Tstg,max=20°C.
De plus, la rapidité de la réponse du système au terme source est reliée au temps de relaxation du phénomène. La stabilité du schéma d’Euler et des schémas explicites en général, limite le pas de temps de l’étude par rapport à cette constante de temps . Un ordre de grandeur de cette valeur a été évalué pour les deux configurations du scénario étudié. Le terme source est maximum lors- qu’une des deux boucles (A ou B sur la Figure 3.1) est à l’arrêt et que l’autre fonctionne durant l’intervalle de temps au complet : si la boucle solaire ne fonctionne pas, la chaleur retirée à l’évaporateur est linéaire par rapport à la température du réservoir de stockage et une constante de temps peut être déterminée analytiquement. Pour la première configuration, elle est égale à 156 heures tandis que pour le deuxième arrangement, sa valeur chute à 31 heures. Ces valeurs, carac- téristiques de l’ordre de grandeur pour chaque situation, restent très élevées par rapport au pas de temps de l’étude (une heure) et rassurent quant à la stabilité des schémas explicites. Il est clair
que ce terme quasi constant ne reflète pas la réalité, la nature n’étant pas assimilable à une fonc- tion palier, et biaise les résultats obtenus avec le schéma d’Euler, le rendant plus précis que la méthode d’Euler corrigée ou de Runge Kutta d’ordre 4. Toutefois, elle est recommandée pour ce cas précis de simulation, c’est-à-dire des données horaires constantes avec une variation relati- vement faible de la température et/ou la proportion de glace du réservoir, cette dernière pouvant être aidée par des contraintes de fonctionnement (𝑥𝑠𝑡𝑔,𝑚𝑎𝑥 et 𝑇𝑠𝑡𝑔,𝑚𝑎𝑥) permettant de contenir leur variation.
Les pertes thermiques à travers l’enveloppe du réservoir peuvent également être considérées lors des simulations, ce qui nécessite la détermination du coefficient de transfert de chaleur du réser- voir vers l’environnement du réservoir de stockage. Il a été calculé avec la norme EN 15332 : 2007 (catégorie B), soit l’estimation des pertes thermiques pour une différence de températures de 45°C entre le réservoir et son environnement :
𝑄̇𝑠𝑡,𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒[𝑘𝑊ℎ
𝑗𝑜𝑢𝑟] = 0.875 × 0.0525 × (𝑣𝑜𝑙[𝐿])2/3 (3.31)
Par exemple, avec cette expression, un réservoir de 0.8 m3 perd 3.96 kWh en 24h avec une diffé- rence de 45°C. Le coefficient de transfert de chaleur (UA) peut alors être déterminé aisément à partir des pertes (calculées avec cette équation), de la différence de températures (45°C) et des dimensions du réservoir de stockage (surface totale A).
D’un point de vue exergétique, les bilans d’exergie pour le stockage par chaleur sensible et cha- leur latente pour le réservoir de glace s’écrivent respectivement comme suit :
𝑚𝑠𝑡,𝑔𝑐𝑝𝑑𝑇𝑠𝑡,𝑔 𝑑𝑡 𝜃𝑠𝑡,𝑔 = ∑ 𝑄̇𝑘 𝑘 𝜃𝑘+ 𝐷̇𝑠𝑡,𝑔 (3.32) 𝑚𝑠𝑡,𝑔𝐿𝐹𝑑𝑥𝑠𝑡,𝑔 𝑑𝑡 𝜃𝑠𝑡,𝑔 = ∑ 𝑄̇𝑘 𝑘 𝜃𝑘+ 𝐷̇𝑠𝑡,𝑔 (3.33)
où 𝜃𝑠𝑡,𝑔 est le facteur Carnot lié à la température du stockage et 𝐷̇𝑠𝑡,𝑔 représente les pertes exer- gétiques lié au stockage de l’énergie thermique, c’est-à-dire la dégradation de potentiel lors du
transfert de chaleur entre le fluide caloporteur et le matériau de stockage (apport, retrait) et les pertes de chaleur du réservoir.
Une fois les unités solaires, les pompes à chaleur et les systèmes de stockage modélisées, les ap- points électriques et les pompes de circulation sont les derniers éléments à modéliser pour décrire le scénario de la pompe à chaleur solaire avec stockage de glace et réservoir d’eau chaude (Figure 3.1) sans le circuit de distribution. Ces deux éléments sont abordés dans les sections suivantes.