2.2 Modélisation générique d’un système complexe
2.2.1 Système et composants
Un paramètre pk ∈ P représente une variable (continue ou discrète) du modèle du système. Une relation ark ∈ A entre des paramètres de l’ensemble P est une équation algébrique, différentielle ou encore une équation logique qui lie des paramètres. Une relation ark ∈ A est une application de 2P (l’ensemble des parties de P) dans P, qui s’écrit de la manière suivante :
pj = ark(pi, . . . , pm). (2.1)
Par exemple, l’équation de l’énergie cinétique d’un système représente une relation algébrique entre les paramètres E, m et v :
E = 1
2mv
2,
où E est représente le paramètre d’énergie dont la valeur résulte de la relation algébrique, m est un paramètre de masse et v, le paramètre correspondant à la vitesse du système. L’équation différentielle donnant la tension d’induction d’une machine à courant continu est un autre exemple de relation entre des paramètres :
u(t) = Ri(t) + Ldi
2.2. Modélisation générique d’un système complexe
où u(t) est le paramètre de tension d’induit fixé par la relation différentielle, R est un paramètre de résistance, i(t) le paramètre d’intensité, L un paramètre d’inductance et Em, un paramètre représentant la force contre-électromotrice.
Notons R l’ensemble des rangs des paramètres du système. Le rang d’un paramètre pk représente l’ensemble des valeurs correctes ou admises pour ce paramètre et il est
noté r(pk). Par exemple, pour un paramètre continu, le rang correspond souvent à un intervalle r(pk) = [αk, βk] avec (αk, βk) ∈ R2 et αk ≤ βk. Pour un paramètre discret
représentant une variable booléenne, le rang est représenté par r(pk) = {0, 1}.
Un système à événements discrets peut être également modélisé par un ensemble de paramètres, de rangs et de relations entre les paramètres. Prenons l’exemple d’une alimentation que l’on commande à l’aide d’un interrupteur. L’alimentation doit déli- vrer un courant continu. Lorsque l’alimentation est "hors-service", elle est incapable de fournir un courant quelle que soit la position de l’interrupteur. Les paramètres du
Alimentation interrupteur hors-service sortie_alimentation interrupteur sortie_alimentation init eteint,faux,pas_courant allume,faux,courant al eteint,vrai,pas_courant hs et allume,vrai,pas_courant hs et al
Fig. 2.1 – Modèle à événements discrets d’une alimentation
système d’alimentation sont : P = {interrupteur, hors_service, sortie_alimentation}, où interrupteur est un paramètre d’entrée, hors_service est un paramètre privé et sor- tie_alimentation est un paramètre de sortie du système d’alimentation. Les valeurs possibles pour chaque paramètre sont définies par leur rang :
- r(interrupteur) = { allume, eteint}, - r(hors_service) = {vrai, faux},
Un courant est fourni par l’alimentation lorsque l’interrupteur est allumé et que l’ali- mentation n’est pas hors-service. On en déduit facilement la relation logique suivante :
∀ti, (sortie_alimentation(ti) = courant) ≡ (hors_service(ti) = faux
∧ interrupteur(ti) = allume), (2.2) où ti est un instant. Une relation de transition pour le paramètre interrupteur serait par exemple :
∀(interrupteur(ti+1) = allume) ≡ (interrupteur(ti) = eteint∧evenement(al, ti+1))
(2.3) Le comportement de l’alimentation est défini par un automate représenté sur la fi- gure 2.1 :
G = (X, E, T, x0). (2.4)
- L’ensemble des états de l’automate est noté X. Chaque état xi ∈ X est un tri-
plet (interrupteur,hors_service, sortie_alimentation) qui prend ses valeurs dans l’espace {allume, eteint} × {vrai, faux} × {courant,pas_courant}.
- L’ensemble des événements est E = {al, et, hs}. L’événement qui correspond à l’action "allumer l’interrupteur" est noté al, l’événement qui correspond à l’ac- tion "éteindre l’interrupteur" est noté et et l’événement qui traduit le fait que l’alimentation est hors service est noté hs.
- La fonction de transition T est définie par T : X × E → X. - L’état initial est x0 = (eteint,faux,pas_courant).
Les paramètres du système d’alimentation sont représentés dans les états de l’automate : P = {interrupteur, hors_service, sortie_alimentation}. Chaque état correspond à une affectation de valeurs aux paramètres du système.
Le modèle d’un système complexe Σ est défini par le triplet suivant :
Σ = hP, R, Ai (2.5)
dans lequel
- P = {pk} est l’ensemble des paramètres du modèle,
- R = {r(pk)} est l’ensemble des rangs de valeur des paramètres,
- A = {ark} est l’ensemble des relations entre les paramètres.
Un système complexe Σ est composé d’équipements interconnectés qui commu- niquent entre eux. Cet ensemble d’équipements apparaît à un utilisateur comme une entité unique et cohérente. Dû à sa complexité, il est cependant pratiquement impossible de modéliser un tel système de manière monolithique, c’est-à-dire de manière globale. Une approche possible est de décomposer le système complexe Σ en un ensemble de composants.
2.2. Modélisation générique d’un système complexe
Définition 18 (Composant). Un composant est une entité élémentaire qui peut être remplacée en ligne par un opérateur de maintenance.
Un équipement est constitué d’un ou plusieurs composants qui communiquent entre eux. Il s’agit donc d’un sous-système de l’entité globale complexe Σ. Notons Comps = {C1, . . . , CN}, l’ensemble des N composants communiquants du système Σ. Un com-
posant Ci peut être modélisé à partir d’un sous-ensemble des paramètres P du système et d’un sous-ensemble des relations A entre ces paramètres. En réutilisant les nota- tions introduites précédemment, un composant Ci ∈ Comps est modélisé par le triplet suivant :
Ci= hPi, Ri, Aii, (2.6)
dans lequel Pi = {pi,k} ⊆ P, Ri= {ri,k} ⊆ R, et Ai= {ari,k} ⊆ A.
La définition de composant que l’on vient d’introduire et la modélisation générique à partir de paramètres et de relations nous permet de représenter un système complexe Σ par un ensemble donné de N composants tel que
Σ = hP, R, Ai = h N [ i=1 Pi, N [ i=1 Ri, N [ i=1 Aii. (2.7)
Les composants du système communiquent à travers les paramètres partagés (voir la section 2.2.2) dans le but de réaliser un ensemble d’applications, de fonctions spécifiques. Le niveau de description du système doit être raffiné pour prendre en compte cette connaissance sur les interactions entre composants et sur les fonctions implémentées par le système.
Une approche multi-modèles est proposée dans [CHI 93] pour représenter un système physique. Les divers modèles utilisés se fondent sur différents niveaux d’agrégation de la connaissance. Quatre niveaux de connaissance sont identifiés.
- La connaissance structurelle porte sur la topologie du système. Elle décrit l’ensemble des composants du système, leurs connexions ainsi que leurs interactions au moyen de ports.
- La connaissance comportementale décrit le fonctionnement des composants ainsi que la manière dont ils interagissent entre eux par des relations (équations) établies entre des quantités physiques. Les quantités physiques sont des entités permettant de capturer la nature, l’état et le comportement d’un système. Il en existe trois types : les constantes, les paramètres et les variables d’état.
- La connaissance fonctionnelle décrit le comportement individuel des compo- sants en terme de rôle et de processus qui contribuent à la réalisation de la fonction but (ou objectif) du système. Un composant est associé à un ou plusieurs rôles fonctionnels.
- La connaissance téléologique décrit l’ensemble des fonctions que le système doit réaliser en terme de but, d’objectif.
La notion de paramètre que l’on vient de définir dans cette thèse regroupe toutes les quantités physiques considérées dans [CHI 93] (les constantes et les variables sont des paramètres). Cette approche multi-modèles permet de représenter l’ensemble des connaissances fondamentales relatives à la structure d’un système complexe et aux fonctions qu’il réalise. Le travail de [CHI 93] montre qu’il est intéressant de réaliser une étude fonctionnelle au niveau des différents composants ainsi qu’une étude fonc- tionnelle au niveau du système global qui prendra en compte les objectifs du système.
Afin de définir de manière précise les concepts liés aux problèmes de diagnostic et de pronostic, il est nécessaire de raffiner le niveau de description d’un système en intro- duisant un modèle structurel et un modèle fonctionnel fondés sur le comportement des composants du système complexe. Ces deux modèles reposent sur les notions de paramètres et de relations entre paramètres que l’on vient de définir.