Les paramètres privés des composants du système représentent généralement les attributs physiques des composants et sont donc totalement hétérogènes. La difficulté est d’établir une représentation du pronostic commune à chaque type de paramètre privé. Cette représentation doit être aussi flexible que possible afin de représenter les fonctions de densité de probabilité de faute de chaque paramètre privé du système. Le modèle probabiliste de Weibull est très souvent utilisé dans le domaine de la fiabilité et pour l’analyse des données de vie de systèmes [HUM 02; KIR 04; FER 08]. C’est pour
4.2. Représentation d’un pronostic fondé sur la fiabilité
cette raison que nous l’utilisons, la plupart des représentations de la loi de vieillissement pouvant être approximées par un modèle de Weibull en théorie.
4.2.1 Modèle de Weibull
Le modèle de Weibull est très souvent utilisé dans le domaine de la fiabilité pour représenter une fonction de densité de probabilité [VAC 06]. Ce modèle probabiliste est très flexible et dépend de caractéristiques lui permettant de reproduire le comportement d’autres lois de probabilité telles que la loi exponentielle ou la loi normale. La fonction de densité de probabilité de Weibull est la suivante :
W (t, β, η, θ) = β η t − θ η (β−1) e−(t−θη ) β (4.3) où t ≥ 0, β ≥ 0, η ≥ 0 et θ ≥ 0. La caractéristique β modifie la forme de la distribution, η définit l’échelle et θ détermine sa localisation sur l’axe temporel.
Le modèle de Weibull est utilisé pour représenter la densité de probabilité de faute
d’un paramètre privé d’un composant. Pour un paramètre privé ppi,k ∈ PPi et un
seuil de probabilité Pmax fixé a priori, le temps restant avant que le paramètre ppi,k ne devienne fautif est évalué par l’expression :
rtf (ppi,k) = tmax tel que
Z tmax
0
W (t, βppi,k, ηppi,k, θppi,k)dt = Pmax. (4.4)
Les caractéristiques βppi,k, ηppi,k et θppi,k définissent complètement la distribution
de probabilité de faute et modélisent par conséquent la manière dont vieillit le para- mètre privé ppi,k. La description des caractéristiques βppi,k, ηppi,k et θppi,k repose sur les
modèles de vieillissement qui sont associés au paramètre ppi,k. Dans le cas où les mo- dèles de vieillissement tiennent compte des conditions opérationnelles des composants, la connaissance disponible pour chaque paramètre privé ppi,k du système est caractéri- sée par des relations qui définissent les caractéristiques βppi,k, ηppi,k et θppi,k du modèle
de Weibull :
βppi,k = arβ(ipi,1, . . . , ipi,n, ppi,1, . . . , pp i,m
), θppi,k = arθ(ipi,1, . . . , ipi,n, ppi,1, . . . , pp
i,m
), ηppi,k = arη(ipi,1, . . . , ipi,n, ppi,1, . . . , pp
i,m
).
(4.5)
Les valeurs de βppi,k, ηppi,k et θppi,kdépendent des conditions opérationnelles du com-
posant Ci qui représentent les divers facteurs de stress interne ou externe agissant sur le composant (comme par exemple la température, la pression, l’humidité) qui peuvent être représentés par des paramètres d’entrée ou des paramètres privés du composant.
4.2.2 Caractéristiques du modèle
Les valeurs des caractéristiques βppi,k, ηppi,k, et θppi,k définissent complètement la
pdf de Weibull. Une modification des caractéristiques peut influer sur la forme et la localisation de la courbe.
Une variation de la caractéristique θppi,k déplace la fonction de Weibull le long de
l’axe temporel. Cette caractéristique définit la durée vie minimale d’une entité, par conséquent ici d’un paramètre ppi,k. Dans la plupart des cas, on suppose que θppi,k est
nul. L’échelle de temps de la courbe de Weibull commence à t = 0, ce qui signifie que la probabilité de faute d’un paramètre ppi,k à t = 0 + est non nulle. Les paramètres peuvent devenir fautifs dès t = 0 + . Cette hypothèse n’est pas restrictive, au contraire, si θppi,k = c, avec c représentant une constante positive, la probabilité de faute établie
par le modèle de Weibull serait nulle jusqu’à t = c.
La caractéristique ηppi,k est appelée le paramètre d’échelle de la fonction de proba-
bilité de Weibull. Elle définit la durée de vie caractéristique d’une entité et correspond à la durée de vie moyenne pour un échantillon de population étudié. Une modification de ηppi,k entraîne une modification de l’abscisse et de la forme de la pdf de Weibull qui
devient plus ou moins large comme le montre la figure 4.1. Comme pour toute densité de probabilité, l’aire sous la courbe de Weibull est toujours égale à 1. La valeur maximale de la courbe décroît forcément lorsque la caractéristique ηppi,k augmente, la courbe est
donc plus large.
2 2.5 3 3.5 4
Effet de la caractéristique d échelle η sur la distribution de Weibull
D e n s it é d e p ro b a b ili té η = 0.5 η = 1 η = 2 η = 4 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 Temps D e n s it é d e p ro b a b ili té
Fig. 4.1 – Modification de la caractéristique η de la pdf de Weibull
La caractéristique de forme βppi,k change la nature de la pdf de Weibull et permet à
la courbe de modéliser les différentes phases de vie d’un composant représentées sur la courbe baignoire de la fiabilité illustrée sur la figure 1.11, page 33 [HUM 02][WIL 04].
4.2. Représentation d’un pronostic fondé sur la fiabilité
trois phases de la vie d’un composant : la période de jeunesse, la période de vie utile et la période de vieillissement (d’usure rapide). Cette courbe baignoire représente l’évolution du taux de défaillance dont l’expression dérivant du modèle de Weibull est la suivante :
H(t, βppi,k, ηppi,k, θppi,k) =
βppi,k ηppi,k t − θppi,k ηppi,k (βppi,k−1) . (4.6)
La valeur de la caractéristique βppi,kest déterminée par la région de vie du composant
que l’on considère. Durant la période de jeunesse du composant, le taux de défaillance H décroît. La fonction de Weibull modélise ces défaillances précoces par βppi,k < 1. Tout au
long de la vie utile d’un composant, le taux de défaillance H est constant : H(t) = η 1
ppi,k
. La fonction de Weibull modélise cette période de vie utile avec βppi,k = 1, elle est alors
similaire à la loi exponentielle. Lorsque βppi,k > 1, la fonction de Weibull modélise l’usure
rapide qui correspond à la dégradation physique des entités en fin de vie. Durant cette période, le taux de défaillance H augmente et la fonction de Weibull prend la forme approximative d’une gaussienne. Par exemple pour la valeur précise βppi,k = 3.4, la
pdf de Weibull reproduit la comportement de la distribution normale. L’impact d’une modification de la caractéristique βppi,k sur la pdf de Weibull est représenté sur la figure
4.2. 2 2.5 3 3.5 4
Effet de la caractéristique de forme β sur la distribution de Weibull
D e n s it é d e p ro b a b ili té β = 1 β = 3 β = 5 β = 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 Temps D e n s it é d e p ro b a b ili té
Fig. 4.2 – Modification de la caractéristique β de la pdf de Weibull
Tout comme pour les modes de faute définis dans le paragraphe 2.3.3 (page 58), si la connaissance sur les composants est disponible, il est donc aussi possible de distinguer différents modes de dégradation tels que la période de jeunesse, la période de vie utile et l’usure rapide. Ces modes de dégradation sont définis par un ensemble de relations qui permettent de déterminer les valeurs des caractéristiques βppi,k, θppi,k et ηppi,k.
La caractéristique θppi,k est supposée nulle pour les raisons expliquées précédemment.
Si on considère qu’une étape de déverminage des composants a été effectuée, seule la période de vie utile du composant et la période d’usure rapide sont à prendre en compte.
Lorsque le modèle de vieillissement d’un paramètre ppi,k contient assez d’informa- tions pour estimer son vieillissement en fonction des conditions opérationnelles du com- posant, on peut ne s’intéresser qu’à la durée de vie utile du composant. L’objectif étant de prévoir la faute avant que le composant ne se dégrade trop rapidement et doive être immédiatement remplacé. Dans ce cas, βppi,k = 1.
Lorsque le modèle de vieillissement d’un paramètre ppi,k ne donne qu’un MTTF, c’est-à-dire le temps moyen avant la prochaine faute, cette information peut être égale- ment représentée à l’aide d’un modèle de Weibull par βppi,k 1 et ηppi,k = MTTF.
Les caractéristiques βppi,k et ηppi,k dépendent de la connaissance représentée par le
modèle de vieillissement. Dans le cas d’un modèle physique qui permet de prendre en compte les conditions opérationnelles du composant, les facteurs de stress ne peuvent agir que sur ηppi,k, les deux autres caractéristiques étant fixées. Les relations définissant
les caractéristiques d’un modèle de Weibull pour un paramètre privé ppi,k ∈ PPi sont
les suivantes :
1. Cas d’un modèle physique (prise en compte des facteurs de stress) :
βppi,k = 1,
θppi,k = 0,
ηppi,k = arη(ipi,1, . . . , ipi,n, ppi,1, . . . , pp i,m
).
(4.7)
2. Cas d’un modèle donnant un MTTF : βppi,k > 1, θppi,k = 0, ηppi,k = MTTF. (4.8)
Le modèle probabiliste de Weibull est très utilisé dans le domaine de la fiabilité. Il permet ici de représenter de manière générique les fonctions de densité de probabilité de faute de chaque paramètre privé du système. La probabilité de faute d’un paramètre privé ppi,k à un instant t est alors donnée par l’intégrale suivante :
Z t
0
W (t, βppi,k, ηppi,k, θppi,k)dt =
Z t 0 βppi,k ηppi,k e − t η ppi,k β ppi,k dt. (4.9)