Syntaxe de la logique DLP

Etant donn´e que chacun des arguments de chacun des pr´edicats de LDLP a un domaine d´enombrable, l’ensemble des atomes propositionnels repr´esent´es par ce langage de base est lui-mˆeme d´enombrable. D’un point de vue th´eorique, on peut consid´erer que l’on travaille sur un langage propositionnel.

Dans les formules DLP on rencontrera souvent des pr´edicats partiellement instanci´es, conte-nant des variables libres. Ces pr´edicats peuvent alors ˆetre compris comme des sch´emas proposi-tionnels (sur le mˆeme principe que les sch´emas axiomatiques), repr´esentant n’importe quel atome propositionnel correspondant. Ainsi, consent(agent1, agent2, TRANSACTION) repr´esente les atomes consent agent1 agent2 transaction1, consent agent1 agent2 transaction2, consent agent1 agent2 transaction3...

4.2.2 Syntaxe de la logique DLP

La logique DLP consiste en l’application d’un certain nombre de modalit´es, d´eontiques et temporelles, sur le langage LDLP. Il peut ˆetre int´eressant de d´efinir isol´ement un fragment d´eontique et un fragment temporel de la logique avant de sp´ecifier la syntaxe compl`ete de DLP, de mani`ere `a pouvoir par la suite raisonner de mani`ere simple sur des propri´et´es essentiellement non temporelles ou non d´eontiques du langage.

4.2.2.1 Fragment d´eontique

La syntaxe du fragment d´eontique de la logique DLP est caract´eris´ee par la grammaire (4.24). Elle consiste en l’application d’une classe de modalit´es d’obligation Obν

a, qui correspondent au sens de l’obligation en logique d´eontique standard.

L’exposant ν d´esigne l’autorit´e normative qui a ´edict´e la norme, il permet de ratta-cher les normes `a leur source pour permettre au raisonneur de mettre en place, s’il le juge n´ecessaire, un traitement diff´erenci´e par autorit´e normative. L’indice a, quant `a lui, constitue une diff´erenciation des modalit´es par agent : a est l’agent qui consid`ere ˆetre tenu par cette obligation. Dans le cas le plus simple, qui est ´egalement celui qui va nous concerner ici sauf

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indication contraire, a d´esigne l’agent local, le raisonneur. On pourra donc la plupart du temps ignorer l’indice des op´erateurs d´eontiques sans perte significative d’information.

dlp-deon= predicate | dlp-deon “ ∨ ” dlp-deon | “¬” dlp-deon | “Obν a” dlp-deon ; (4.24)

Nous d´efinissons de mani`ere classique, en tant qu’abr´eviations, la classe de modalit´es de permission P erν

a, chacune d’entre elles ´etant la modalit´e duale de la modalit´e d’obligation cor-respondante (4.25). Nous utiliserons ´egalement les modalit´es d’interdiction F orν

a (4.26). Des modalit´es abr´eg´ees d’option et de gratuit´e pourraient ˆetre d´efinies de la mˆeme mani`ere qu’en SDL, mais pour une meilleure lisibilit´e des formules nous n’en ferons pas usage dans nos travaux.

P er_a^ν ϕ^def= ¬Ob^ν_a ¬ϕ (4.25)

F or_a^ν ϕ^def= Ob^ν_a ¬ϕ (4.26)

4.2.2.2 Fragment temporel

Les modalit´es introduites dans le fragment temporel de DLP sont emprunt´ees `a la logique LTL. On utilise le until strict U, qui permet un raisonnement riche sur le futur, ainsi qu’un op´erateur X<sup>−1</sup>, permettant de raisonner sur la date imm´ediatement ant´erieure au pr´esent, et un op´erateur H permettant de travailler sur l’ensemble du pass´e. En effet, nous verrons par la suite que par la structure des r´eglementations en mati`ere de protection des donn´ees personnelles, notre besoin d’expressivit´e est moins grand dans le pass´e que dans le futur.

Lorsqu’il est question de gestion (et de protection) des donn´ees personnelles, des actions situ´ees dans le pr´esent ou dans un futur proche peuvent ˆetre conditionn´ees par des ´ev´enements ayant eu lieu dans un pass´e arbitrairement lointain (fonction des diverses dur´ees et dates ex-prim´ees dans les r´eglementations). C’est pourquoi nous choisirons un flot de temps isomorphe `a (Z, <) plutˆot qu’`a (N, <) afin de nous assurer la latitude temporelle n´ecessaire.

dlp-temp= predicate | dlp-temp “ ∨ ” dlp-temp | “¬” dlp-temp | dlp-temp “ U ” dlp-temp | “H” dlp-temp | “X−1” dlp-temp; (4.27)

Abr´eviations temporelles

Dans l’optique d’une meilleure lisibilit´e, il sera utile d’utiliser un certain nombre des abr´eviations temporelles courantes, `a la s´emantique parfois plus intuitive que celle de com-binaisons des op´erateurs fondamentaux U, H et X⁻¹. Ainsi, nous nous autorisons l’usage des op´erateurs suivants :

ϕ U⁻ ψ^def= ψ ∨ (ϕ ∧ ϕ U ψ) (4.28)

F ϕ^def= ⊤ U ϕ (4.29)

Gϕ^def= ¬F ¬ϕ (4.30)

P ϕ^def= ¬H¬ϕ (4.31)

Pour m´emoire, l’abr´eviation ✭✭ until faible ✮✮ U⁻ (4.28) est similaire `a sa contrepartie stricte, `

a ceci pr`es qu’il est satisfait si la formule cible est d´ej`a vraie `a l’instant pr´esent, ou dans le cas contraire que la formule `a maintenir est d´ej`a vraie `a l’instant pr´esent. La figure4.3pr´esente trois mod`eles LTL. Dans le premier et le troisi`eme de ces exemples, l’op´erateur affaibli et sa version stricte ne sont pas interchangeables.

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ϕU ψ ϕ ϕ ψ

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_{ϕ ϕ} ψ

Fig.4.3 – Sp´ecificit´e de la modalit´e U⁻

La modalit´e H et les abr´eviations G, F et P ont leur sens usuel5. On s’autorisera ´egalement l’utilisation de leurs variantes affaiblies G⁻, F⁻, H⁻ et P⁻ incluant le pr´esent.

Op´erateurs neXt index´es

On utilise ´egalement un op´erateur neXt unaire X permettant de d´esigner l’instant suivant, contrepartie de l’op´erateur X⁻¹ d´esignant l’instant pr´ec´edent (4.32). Par combinaison de ces deux modalit´es, on d´efinit un ensemble d’op´erateurs neXt index´es par des entiers relatifs, per-mettant d’atteindre tout instant dont on connaˆıt la ✭✭ distance ✮✮ au pr´esent (4.33). Par exemple,

5<sub>A savoir, G ϕ signifie que ϕ sera vraie `</sub>` <sub>a tout instant du futur, F ϕ que ϕ sera vraie `a un instant du futur,</sub> H ϕque ϕ a ´et´e vraie `a tout instant du pass´e et P ϕ que ϕ a ´et´e vraie `a un instant du pass´e.

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X5ϕ signifiera que ϕ sera vraie dans cinq pas de temps, et X⁻²ψ que ψ a ´et´e vraie il y a deux pas de temps. Xϕ^def= ⊥ U ϕ (4.32)        X0ϕ^def= ϕ ∀n ∈ Z^∗+, Xnϕ^def= XXn−1ϕ ∀n ∈ Z^∗−, Xnϕ^def= X⁻¹Xn+1ϕ (4.33)

4.2.2.3 Syntaxe compl`ete de DLP

Nous pouvons maintenant donner la grammaire du langage DLP final, dans laquelle les op´erateurs d´eontiques et temporels sont librement mˆel´es.

dlp= predicate | dlp “ ∨ ” dlp | “¬” dlp | “Obν a” dlp | dlp “ U ” dlp | “H” dlp | “X−1” dlp ; (4.34)