2.3 Application au calcul de la cohomologie de la pi`ece maximale
2.3.2 Sur certains quotients des vari´et´es de Deligne-Lusztig
Fixons un ´el´ement quelconque w de W et consid´erons la pi`ece maximale de la vari´et´e de Deligne-Lusztig Xw0(w ) donn´ee par :
Xw0(w ) =
g ∈ Bw0· B | g−1F(g ) ∈ BwB}.
Afin d’effectuer des calculs explicites, on utilisera plut ˆot la description suivante, donn´ee par l’isomorphisme u∈ U 7−→ uw0· B ∈ Bw0· B :
Xw0(w ) ≃
u∈ U | (u−1F(u))w0 ∈ BwB ∩ U−}.
On remarque alors que le morphisme u 7−→ (u−1F(u))w0induit un isomorphisme
du quotient U\Xw0(w ) sur Bw B∩U
−(la surjectivit´e ´etant donn´ee par le th´eor`eme
de Lang). Comme on l’a vu au cours de l’exemple pr´ec´edent, l’expression de u−1F(u) est en g´en´eral tr`es complexe par rapport `a celle de u et un param´etrage, mˆeme simple, du quotient U\Xw0(w ) donne des ´equations pour Xw0(w ) diffici-
lement exploitables . En revanche, on peut relier beaucoup plus facilement les classes de u et u−1F(u) dans U/D(U), ce qui sugg`ere de s’int´eresser plut ˆot au quotient de Xw0(w ) par D(U)
F. Le but de cette section est de d´ecrire ce type de
quotients tout en gardant la trace de l’´el´ement u−1F(u).
(i) Description des quotients VF\B. `A tout sous-groupe ferm´e V de U normalis´e
par T, on peut associer le sous-ensemble de racines ΦVd´efini par
ΦV = {α ∈ Φ | Uα⊂ V} ⊂ Φ+.
Si on suppose de plus que V est stable par F , alors ce sous-ensemble est stable par φ. Fixons un ordre total sur Φ+pour lequel les ´el´ements de ΦVsont inf´erieurs `a
tous les ´el´ements de Φ+rΦV. L’application produit associ´ee `a cet ordre d´etermine
alors un isomorphisme de vari´et´es
B ≃ Y α∈ΦV Uα | {z } V × Y α∈Φ+rΦV Uα × T
compatible avec l’action de F . Sous l’hypoth`ese suppl´ementaire o `u V est aussi distingu´e dans U, on obtient donc un isomorphisme de vari´et´es B ≃ V × V\B. Plus pr´ecis´ement, on dispose de :
• un morphisme de vari´et´es V -´equivariant f : B −→ V dont la restriction `a V est l’identit´e ;
• un morphisme de groupes alg´ebriques πV : B −→ V\B, compatible avec
l’action de F ;
• une section j : V\B −→ V de πV comme morphisme de vari´et´es, d´efinie
par la relation b = f (b) j(πV(b)).
Avec ces notations, le quotient V\B peut ˆetre construit de la mani`ere suivante : Proposition 2.29. Si V est un sous-groupe ferm´e de U, distingu´e dans B et stable par F ,
alors l’application ϕ : b∈ B 7−→ (b−1F(b), π
V(b)) ∈ B×(V\B) induit l’isomorphisme
B-´equivariant de vari´et´es suivant :
V\B ≃ (¯b, h) ∈ B × (V\B) πV(¯b) = h−1F(h)
o `u B agit sur le couple (¯b, h) par multiplication sur h seulement.
D´emonstration. Soit b un ´el´ement de B ; avec les notations pr´ec´edentes, b se d´e-
compose en b = f (b) j(πV(b)), et on peut calculer
b−1F(b) = f (b)−1F(f (b))j(πV(b))j(π
V(b))−1F(j(πV(b))).
Puisque V est distingu´e dans B, on en d´eduit que πV b−1F(b) = πV j(πV(b))−1F(j(πV(b))) = πV(b)−1F(πV(b)).
Par cons´equent, l’image de ϕ est form´e des couples (¯b, h) ∈ B × (V\B) tels que πV(¯b) = h−1F(h).
De plus, deux points b et b′ ont la mˆeme image par ϕ si et seulement si ils sont dans la mˆeme classe. En effet l’´egalit´e ϕ(b) = ϕ(b′) force f (b)−1F(f (b)) = f(b′)−1F(f (b′)) d’apr`es les calculs pr´ec´edents, et ainsi f (b) ∈ V f (b′). Le r´esultat
d´ecoule alors de l’´ecriture de b (resp. b′) en fonction de f (b) (resp. f (b′)) et πV(b).
Reste `a prouver que ϕ : B−→ Im ϕ est un morphisme ´etale. Puisque les mor- phismes B−→ B\B et Im ϕ −→ B\Im ϕ sont ´etales, il suffit de montrer que l’ap- plication induite ϕ′ : B\B −→ B\Im ϕ est un isomorphisme. Pour cela, on peut remarquer que par la premi`ere projection B\Im ϕ −→ B, cette fonction s’identifie `a l’isomorphisme canonique Bb∈ B\B 7−→ b−1F(b) ∈ B.
Remarque 2.30. La proposition reste vraie en remplac¸ant B par U, et pourra ainsi s’appliquer indiff´eremment aux quotients des vari´et´es Yx( ˙w) ou Xx(w ).
(ii) Quotient par les points fixes du groupe d´eriv´e. Le sous-groupe d´eriv´e D(U) de U est un sous-groupe ferm´e, normalis´e par T, distingu´e et stable par F . Les conditions d’application de la proposition pr´ec´edente sont donc v´erifi´ees, et ϕ induit l’isomorphisme suivant :
D(U)F\U ≃ (¯u, h) ∈ U × (D(U)\U) π
D(¯u) = h−1F(h)
.
L’int´erˆet de cette description r´eside dans le fait que l’on obtient le quotient de la pi`ece maximale de X(w ) en restreignant la variable ¯u `a U∩w0(Bw B).
Ici, on peut mˆeme d´ecrire le groupe quotient D(U)\U et la projection πD =
πD(U)associ´ee en termes des racines simples de Φ. En effet, le groupe d´eriv´e est, d’apr`es [21], engendr´e par les sous-groupes `a un param`etre associ´es aux racines positives qui ne sont pas simples. Il est en fait isomorphe, en tant que vari´et´e, au produit de ces groupes :
D(U) ≃ Y
α∈Φ+r∆
Uα.
Puisque le groupe D(U)\U est ab´elien, on en d´eduit que pour toute racine simple α ∈ ∆, la composante d’un ´el´ement u ∈ U sur Uαne d´epend pas de l’ordre dans
lequel u se d´ecompose sur les sous-groupes `a un param`etre. En notant πα(u)
cette composante, le morphisme produit (πα)α∈∆ se factorise par πD en un iso-
morphisme de groupes alg´ebriques
U Y α∈∆ Uα D(U)\U (πα)α∈∆ πD ∼
compatible avec l’action de F . N´eanmoins, le morphisme πα, tout comme uα,
ne commute pas `a F dans le cas o `u G n’est pas d´eploy´e, mais v´erifie la relation F ◦ πα = πφ(α)◦ F .
Avec ces notations et celles de la section 2.1.1, l’image d’un ´el´ement h = uα(ζα)
α∈∆par l’application de Lang s’´ecrit
h−1F(h) = uφ(α)(ζq ◦ α α − ζφ(α)) α∈∆.
Ainsi, l’´el´ement (¯u, h) appartient `a D(U)F\U si et seulement si ∀ α ∈ ∆ πφ(α)(¯u) = uφ(α) ζq ◦ α α − ζφ(α) .
En particulier, le scalaire ζφ(α) est enti`erement d´etermin´e par ζαet πφ(α)(¯u). Plus
g´en´eralement, pour tout entier i = 1, ... , dαon a i−1 Y j=0 πφi(α) Fj(¯u) = uφi(α) ζ q◦ α···qφi −1(α)◦ α − ζφi(α)
ce qui, pour i < dα, d´etermine ζφi(α)en fonction de ζα et ¯u. De plus, dans le cas
o `u i = d, on obtient la relation suivante entre ζαet ¯u: dYα−1 j=0 πα Fj(¯u) = uα ζαqα − ζα .
Reste `a traduire l’action de D(U)F\U sur les variables ζα (rappelons que ce
groupe agit trivialement sur ¯u). Comme on l’a vu pr´ec´edemment, les morphismes (uα)α∈∆ ne commutent pas `a F en g´en´eral, mais en les regroupant selon une
vα: ξ ∈ Ga 7−→ dYα−1 j=0 Fj(uα(ξ)) = dYα−1 j=0 uφj(α)(ξ q◦ α···qφj −1(α)◦ ) ∈ Y α∈∆ Uα.
Les images (Vα)α∈∆ de ces morphismes sont des sous-groupes dont les classes
engendrent D(U)\U. Ils ne sont pas forc´ement stables par F mais permettent de d´ecomposer le groupe des points fixes de D(U)\U en
D(U)F\U ≃ (D(U)\U)F ≃ Y α∈[∆/φ]
vα(Fq
α).
En remarquant que pour ξ∈ Ga, on a vα(ξ)−1F(vα(ξ)) = uα(ξqα−ξ), on en d´eduit
que VαF ≃ F
+
qα et on pourra donc noter Vα = vα(Fq
α). Via cette identification,
chaque groupe Vαagit par translation sur la variable ζαcorrespondante. Si l’on
restreint cette description `a la pi`ece maximale Xw0(w ), on trouve finalement
Proposition 2.31. La vari´et´e quotient D(U)F\X
w0(w ) est isomorphe `a la sous-vari´et´e de U∩w0(Bw B)× (G
a)[∆/φ]d´efinie par les ´equations suivantes :
∀α ∈ [∆/φ] dYα−1 j=0 πα Fj(¯u) = uα ζαqα − ζα
avec les variables ¯u ∈ U ∩w0(Bw B) et (ζ
α)α∈[∆/φ] ∈ (Ga)[∆/φ]. De plus, l’action
de D(U)F\U se d´ecompose en une action par translation sur chaque variable ζ α via
l’isomorphisme de groupe D(U)F\U ≃Qα ∈[∆/φ]F
+ qα.
Exemple 2.32. Reprenons l’exemple donn´e `a la fin de la section2.2.2: si w est un ´el´ement de Coxeter, la vari´et´e Bw · B ∩ B−· B est r´eduite `a sa cellule maxi-
male. Plus pr´ecis´ement, si on fixe une d´ecomposition r´eduite w = t1· · · tmde w
correspondant `a un syst`eme de repr´esentants [∆/φ] ={β1, ... , βm}, la seule sous-
expression distingu´ee de w est γ = (1, 1, ... , 1) ; avec les notations2.15, on trouve ainsi Bw · B ∩ B−· B = u −β1(z1) · · · u−βm(zm) · B zi ∈ Gm .
Par cons´equent, tout ´el´ement ¯u ∈ U ∩w0(Bw B) s’´ecrit de fac¸on unique sous la
forme u = u−w0(β1)(z1) · · · u−w0(βm)(zm), ce qui permet de calculer directement
πα(¯u) en fonction des variables zi. En posant ζi = ζ−w0(βi) et qi = q−w0(βi), les
´equations de la proposition pr´ec´edente se simplifient pour donner : D(U)F\X w0(w ) ≃ m Y i=1 (zi, ζi) ∈ Gm× Ga| zi = ζiqi − ζi . La vari´et´e D(U)F\X
w0(w ) se d´ecompose donc en un produit de courbes dont on
peut calculer facilement la cohomologie, chacune ´etant isomorphe `aA1rA1(Fq
i).
Dans le cas g´en´eral, la strat´egie consistera `a d´ecomposer ce quotient selon les cellules de Curtis-Deodhar et `a donner une description similaire pour chaque sous-vari´et´e intervenant dans cette d´ecomposition.
2.3.3 Etude du quotient de la pi`´ ece maximale Xw0(w ) de X(w )
Rappelons que via l’isomorphisme u ∈ U 7−→ uw0 · B, la pi`ece maximale
Xw0(w ) s’´ecrit
Xw0(w ) =
gB ∈ Bw0· B g−1F(g ) ∈ BwB} ≃ u∈ U (u−1F(u))w0∈ BwB ∩ U− .
Fixons une d´ecomposition r´eduite w = s1... sr de w associ´ees aux racines simples
{α1, ... , αr} et consid´erons la d´ecomposition de Curtis-Deodhar de la cellule de
Schubert double Bw· B ∩ B−· B. Avec les notations donn´ees en2.15, cette d´ecom- position se rel`eve dans U−en :
Bw B ∩ U− = G
γ∈Γ1
Ωγ(w0).
Elle induit donc une d´ecomposition de la pi`ece maximale Xw0(w ) en des sous-
vari´et´es localement ferm´ees Xγd´efinies par
Xγ = u ∈ U
(u−1F(u))w0 ∈ Ω
γ(w0) .
Notons que par continuit´e de l’application de Lang, la propri´et´e de filtrabilit´e des cellules de Curtis-Deodhar (voir lemme2.20) se transmet `a la famille (Xγ)γ∈Γ1.
En combinant le param´etrage des cellules Ωγ(w0) et la proposition2.31, on
peut alors d´ecrire explicitement le quotient de chaque sous-vari´et´e Xγpar D(U)F
`a l’aide de certaines donn´ees combinatoires associ´ees `a la sous-expression γ. Pour cela, on introduit les vari´et´es suivantes
Xq(n, m) = ζ, (µi), (λj) ∈ (Ga)n+1× (Gm)m ζq− ζ =P i µi +P j λj
o `u q est une puissance de la caract´eristique p et m et n sont des entiers posi- tifs. Ces vari´et´es sont de plus munies d’une action deF
+
q par translation sur la
premi`ere coordonn´ee.
Proposition 2.33. Soit γ une sous-expression distingu´ee de w . Pour toute racine simple α, on note Oαl’orbite de α sous φ, et on d´efinit les entiers suivants :
• nα(γ) = {i = 1, ... , r | − w0γi(αi) ∈ Oα et i ∈ Iγr Jγ(w0)} ; • mα(γ) = {i = 1, ... , r | − w0γi(αi) ∈ Oα et i /∈ Iγ} ; • ¯n(γ) = |Iγ| − |Jγ(w0)| −Pnα(γ) ; • ¯m(γ) = r − |Iγ| −Pmα(γ).
Alors il existe un morphisme de vari´et´es D(U)F\U-´equivariant, bijectif, fini et purement
ins´eparable : (Ga)¯n(γ)× (Gm)m(γ)¯ × Y α∈[∆/φ] Xqα(nα(γ), mα(γ)) −→ D(U) F \Xγ
o `u D(U)F\U ≃ Qα∈[∆/φ]Vα agit sur le produit
Q
α∈[∆/φ]Xqα(nα(γ), mα(γ)) via les identifications Vα ≃ F
+
qα. De plus, si (G, F ) est d´eploy´e, c’est un isomorphisme de vari´et´es. En g´en´eral, c’est une ´equivalence de sites ´etales.
D´emonstration. Il suffit de traduire les ´equations de la proposition2.31en fonc- tion du param´etrage de la cellule Ωγ(w0). Avec les notations2.15, tout ´el´ement ¯u
appartenant au conjugu´e de cette cellule par w0s’´ecrit de mani`ere unique
¯
u = Y
β∈Φγ(w0)
uw0(β)(zβ) ∈ U ∩
w0(Bw B)
avec, pour β =−γi(αi), la variable zβ dans Gaou Gmselon la valeur de γi. Pour
chaque racine α∈ [∆/φ], le calcul des ´el´ements πα(Fj(¯u)) se fait directement sur
cette ´ecriture et donne :
πα(Fj(¯u)) = Fj πφ−j(α)(¯u) = Y β∈Φγ(w0) w0(β)=φ−j(α) Fj uφ−j(α)(zβ) . En notant qi◦ = qφ◦−i(α), on a Fj uφ−j(α)(zβ) = uα(z q◦ j···q1◦ β ). Les ´equations de la
proposition2.31se simplifient donc en ζqα α − ζα = X w0(β)=α zβ + X w0(β)=φ−1(α) zq ◦ 1 β + · · · + X w0(β)=φ−dα+1(α) zq ◦ dα−1···q2◦q1◦ β .
Notons que certaines variables zβ n’apparaissent dans aucune ´equation. Elles
correspondent `a des racines β pour lesquelles w0(β) n’est pas une racine simple,
et contribuent au facteur (Ga)¯n(γ)× (Gm)m(γ)¯ donn´e dans l’´enonc´e de la proposi-
tion. Pour les autres racines, de la forme β = w0(φ−ii(α)), on pose qβ = qi◦· · · q1◦;
on obtient alors la description suivante du quotient D(U)F\X γ: D(U)F\Xγ ≃ (Ga)n(γ)¯ ×(Gm)m(γ)¯ × Y α∈[∆/φ] (ζα, (zβ)w0(β)∈Oα) ζqα α −ζα= X zqβ β .
En composant cet isomorphisme avec l’application (zβ) 7−→ (zβqβ), on obtient le
morphisme de vari´et´es d´esir´e. Si ce changement de variable permet de suppri- mer les puissances de p intervenant dans les ´equations, il n’induit un isomor- phisme que dans le cas o `u ces puissances sont triviales (c’est-`a-dire si (G, F ) est d´eploy´e). N´eanmoins, c’est un morphisme fini, bijectif et purement ins´eparable entre vari´et´es lisses. Par [44, Expos´e IX, 4.10], il induit donc une ´equivalence de sites ´etales.
2.3.4 Sur la cohomologie de D(U)F\Y