Le cas Coxeter

On supposera dans un premier temps que G ne contient pas de facteurs tordus du type 2B2, 2F4 ou 2G2. Les groupes de Ree et Suzuki seront trait´es

ind´ependamment, dans la section (iii).

(i) ´El´ements de Coxeter. Formons leC-espace vectoriel V = X

∨_{(T) ⊗}

Z

Cde di- mension m. Le groupe de Weyl W se plonge dans le groupe des automorphismes de cet espace vectoriel ; de plus, l’endomorphisme σ = q−1F est un automor- phisme de V d’ordre fini δ normalisant W (avec les hypoth`eses sur (G, F ), c’est exactement le prolongement lin´eaire de φ). D’apr`es [89], on peut donc choisir des vecteurs propres (f1, ... , fm) de σ dans S(V ) de degr´es (d1, ... , dm), invariants par

l’action de W et associ´es aux valeurs propres (ε1, ... , εm), tels que l’alg`ebre des

invariants S(V )W soit isomorphe `a l’alg`ebre de polyn ˆomes C[f1, ... , fm]. `A per- mutation pr`es, les couples (dj, εj) sont enti`erement d´etermin´es par σ. L’ordre du

groupe G est alors donn´e par la formule |G | = qN m Y j=1 (qdj _{− ε}−1 j ) = q N Y d Φd(q)a(d)

o `u a(d) est ´egal au nombre d’entiers j tels que εj = exp(2iπdj/d) [14]. Le plus

grand des entiers v´erifiant a(d)6= 0 sera not´e h ; on l’appelle le nombre de Coxeter de la paire (W , F ).

On supposera d´esormais G semi-simple et W irr´eductible. Dans ce cas, leC- espace vectoriel V = X∨(T) ⊗Z

Cs’identifie `a la repr´esentation de r´eflexion de W. On connaˆıt alors explicitement [20] les couples (dj, εj) donn´es par l’action de

σ sur V et on en d´eduit les valeurs des nombres de Coxeter pour chaque type : type An Bn Dn E6 E7 E8 F4 G2 2A2n 2A2n+1 2Dn 3D4 2E6

h n_{+ 1 2n 2n − 2 12 18 30 12} 6 4n + 2 4n + 2 2n 12 18 De plus, avec les mˆemes donn´ees num´eriques, on v´erifie facilement que a(h) = 1. En suivant [85, section 7], on peut d´efinir une notion d’´el´ements de Coxeter « tordus », qui g´en´eralise la notion usuelle pour les groupes d´eploy´es :

D´_{efinition 4.11. Pour tout syst`eme de repr´esentants [∆/φ] = {β}1, ... , βr} des orbites

de racines simples sous l’action de φ, le produit c = sβ1sβ2· · · sβr est appel´e ´el´ement de

Coxeter de la paire (W , F ).

L’´el´ement c a les mˆemes propri´et´es que les ´el´ements de Coxeter usuels, `a condi- tion de remplacer la conjugaison sur W par la F -conjugaison. La traduction de ces propri´et´es est alors plus ´evidente en consid´erant l’´el´ement cσ = q−1cF de GL(V ) :

Th´eor`eme 4.12 (Springer). Pour un ´el´ement de Coxeter c de (W , F ), avec W suppos´e

irr´eductible, on a :

(i) L’´el´ement cσ est d’ordre h et il est h-r´egulier.

(ii) Tous les ´el´ements de la forme c′σ qui poss`edent une valeur propre d’ordre h sont

r´eguliers, et il sont conjugu´es `a cσ. En particulier, tous les ´el´ement de Coxeter sont

F-conjugu´es.

(iii) Les valeurs propres de cσ sont de la forme ε−1j exp(2iπ(dj − 1)/h). De plus, les

valeurs propres d’ordre exactement h sont de multiplicit´e 1.

(iv) Le centralisateur CW(cσ) de cσ dans W est un groupe cyclique, engendr´e par

(cσ)δ _{= cF (c) · · · F}δ−1_(c).

En particulier, δ divise h et on notera h0 l’entier h/δ en accord avec la d´efini-

tion de Lusztig [62, section 1.13]. Les diff´erentes valeurs de cet entier sont donc donn´es par :

type An Bn Dn E6 E7 E8 F4 G2 2A2n 2A2n+1 2Dn 3D4 2E6

h0 n+ 1 2n 2n − 2 12 18 30 12 6 2n + 1 2n + 1 n 4 9

Remarque 4.13. Dans [85], Springer d´efinit l’entier h comme l’ordre maximal que peut prendre une valeur propre d’un ´el´ement de la forme w σ. En remarquant que le cardinal d’un tore de type w fait apparaˆıtre les polyn ˆomes cyclotomiques associ´es `a l’ordre de ces valeurs propres, on en d´eduit par le th´eor`eme4.5que ces deux d´efinitions sont ´equivalentes.

Remarque 4.14. Des deux assertions (ii) et (iii) on peut d´eduire que les Φh-

sous-groupes de Sylow sont d’ordre exactement Φh(q), ce qui force a(h) = 1

d’apr`es le th´eor`eme4.5. On notera cependant que dans le cas non d´eploy´e, la d´emonstration de ce dernier th´eor`eme s’effectue uniquement au cas par cas. (ii) Tore de Coxeter. Un tore rationnel Tcdont le type est un ´el´ement de Coxeter

c de (W , σ) est appel´e tore de Coxeter. Rappelons que (Tc, F ) est isomorphe `a

(T, cF ) et que l’ordre du groupe fini associ´e se calcule par : |Tc| = |TcF| = |d´et(qcσ − 1 | X∨(T) ⊗Z

C)|.

Puisque a(h) = 1, on en d´eduit que Tc contient un unique Φh-sous-groupe de

Sylow Shde G. On donne dans la proposition suivante quelques propri´et´es de ce

sous-groupe que l’on utilisera par la suite :

Proposition 4.15. Soit ℓ un nombre premier diff´erent de p. On suppose que ℓ ne divise

pas|WF_{| mais divise Φ}

h(q). Alors :

(i) L’ensemble des ℓ-´el´ements de Sh forme un ℓ-sous-groupe de Sylow cyclique de G

que l’on notera Tℓ.

(ii) NG(Tℓ)/CG(Tℓ) ≃ NG(Tc)/Tc ≃ CW(cσ).

(iii) Si θ est un ℓ-caract`ere non trivial de Tc, alors θ est en position g´en´erale. Autrement

dit, CW(θ) = {1}.

D´emonstration. Ces propri´et´es sont des traductions du th´eor`eme4.12; on va tout de mˆeme d´etailler une partie de leur d´emonstration car elle met en lumi`ere les principales constructions de [14], et leur lien avec la th´eorie de Springer.

Consid´erons le sous-tore S de T, stable par cF , d´efini par son groupe de coca- ract`eres X∨(S) = Ker Φh(cσ). Puisque cσ a au moins une valeur propre d’ordre

h, ce noyau n’est pas trivial ; de plus a(h) = 1 et ainsi le groupe ScF _{est cyclique}

d’ordre Φh(q) (voir [14, proposition 3.3]). La conjugaison permet alors de trans-

former ce tore en un Φh-sous groupe de Sylow de G : on choisit un ´el´ement g ∈ G

v´erifiant Tc =gT, et le Φh-tore cherch´e s’obtient par Sh=gS. L’assertion (i) s’en

d´eduit.

Pour s un ´el´ement de Tℓ non trivial, on va montrer que CG(s) = Tc. Les hy-

poth`eses sur ℓ forcent CG(s) `a ˆetre un sous-groupe de Levi. Son centre connexe

Z(CG(s))◦ est un sous-tore rationnel de Tc qui contient le ℓ-´el´ement s. En ef-

fet, s appartient `a Z (CG(s)) et par hypoth`ese, ℓ ne divise pas l’ordre du groupe

Z(CG(s))/Z (CG(s))◦. Puisque ℓ ne divise aucun entier Φd(q) pour d 6= h, on en

d´eduit que Z (CG(s))◦ contient l’unique Φh-Sylow de Tc, `a savoir Sh, et qu’ainsi

CG(s) = CG(Sh). On est donc ramen´e `a montrer que CG(Sh) = Tc. Pour cela, on

peut remarquer que les racines du groupe de Levi CG(S) sont exactement les ra-

cines α∈ Φ orthogonales `a X∨_{(S). Or, si l’on traduit le fait que cσ est h-r´egulier,}

il existe un ´el´ement de X∨(S) ⊗Z

Cqui n’est orthogonal `a aucune racine, ce qui prouve que CG(S) est en fait un tore, ´egal `a T.

De l’´etude pr´ec´edente on d´eduit CG(Tℓ) = Tc. Les inclusions NG(Tc) ⊂

(ii) en passant aux points fixes sous F . Pour finir, l’assertion (iii) est la traduction, aux niveaux des caract`eres, de l’´egalit´e CG(s) = Tc, v´erifi´ee pour tout ´el´ement s

de Tℓdistinct de l’´el´ement neutre.

(iii) Le cas des groupes de Ree et Suzuki. La proposition pr´ec´edente reste tout de mˆeme vraie lorsque G est de type 2B2, 2F4 ou 2G2. La notion d’´el´ement de

Coxeter se g´en´eralise directement aux cas tordus, en prenant garde au fait que σ = q−1_{F ne stabilise pas X}∨_{(T) mais seulement X}∨_{(T) ⊗}

Z Z[√p

−1_{] pour p = 2}

ou 3 selon le type consid´er´e. On peut alors compl´eter le tableau pr´ec´edent grˆace aux ordres des ´el´ements cσ :

type 2B2 2F4 2G2

h 8 24 12

Dans chacun de ces cas, le groupe des points fixes Tc du tore de Coxeter est un

groupe cyclique, dont l’ordre est donn´e par :

type 2B2 2F4 2G2

|Tc| 1 − q

√

2 + q2 _{1 − q}√2 + q2_{− q}3√2 + q4 _{1 − q}√3 + q2

On peut alors v´erifier, au cas par cas (voir par exemple [40, section 4.6]), que lorsque ℓ divise l’un de ces nombres sans diviser l’ordre du groupe de Weyl as- soci´e, l’ensemble des ℓ-´el´ements de Tcest un ℓ-Sylow de G v´erifiant les assertions

(ii) et (iii) de la proposition4.15.