Les caract`eres du bloc principal

Afin d’utiliser les r´esultats de la section pr´ec´edente, on supposera, jusqu’`a la fin de ce chapitre, que G est un groupe semi-simple et que W est irr´eductible (on dit alors que G est quasi-simple). On fixe un nombre premier ℓ ´etranger `a l’ordre de WF, v´erifiant l’une des deux hypoth`eses suivantes, selon le type de (G, F ) :

• cas « non tordus » : ℓ divise Φh(q) ;

• cas « tordus » : ℓ divise l’ordre de Tcpour c un ´el´ement de Coxeter.

Pour (K , Λ, k) un syst`eme ℓ-modulaire assez gros pour G, ces hypoth`eses sur ℓ forcent l’ordre de q dans le groupe multiplicatif k× `a ˆetre exactement h. Le bloc principal de ΛG dans ce cas particulier sera l’objet d’´etude de ce chapitre.

Fixons un ´el´ement de Coxeter c de la paire (W , F ), ainsi qu’un tore rationnel maximal Tc de type c. D’apr`es la proposition 4.15, ce tore est le centralisateur

d’un Φh-tore Sh(avec Sh = Tc dans les cas tordus), et c’est donc, `a ce titre, un

sous-groupe de Levi h-d´eploy´e. Le th´eor`eme4.9assure alors que les caract`eres du ℓ-bloc principal correspondent `a la paire h-cuspidale (Tc, 1) : ce sont les com-

posants irr´eductibles des caract`eres virtuels RG

Tc(θ), pour θ un ℓ-caract`ere de Tc.

En utilisant les travaux de Lusztig, on va identifier et param´etrer les deux types de caract`eres qui apparaissent.

(i) Les caract`eres non-unipotents du bloc. La proposition4.15nous assure que les ℓ-caract`eres de Tc non triviaux sont en position g´en´erale, et que leurs in-

duits sont donc des caract`eres irr´eductibles de G . Ce r´esultat est le reflet d’une propri´et´e beaucoup plus profonde de la cohomologie de la vari´et´e de Deligne- Lusztig Y( ˙c) [29, corollaire 9.9] : si θ est un ℓ-caract`ere de TcF, alors la compo- sante θ-isotypique Hi

c(Y( ˙c), K )θ du i -`eme groupe de cohomologie est non nulle

pour i = ℓ(c) = r seulement.

Puisque l’endomorphisme de Frobenius Fδfixe c, il agit sur le groupe TcF, et on en d´eduit une action `a droite de TcF⋊ hFδ_i

monsur la vari´et´e Y( ˙c). Cette action

induit une action lin´eaire sur la cohomologie qui v´erifie Fδ Hr

c(Y( ˙c), K )θ
= Hrc(Y( ˙c), K )Fδ_(θ) = Hr_c(Y( ˙c), K )_v·θ

o `u v = cF (c)· · · Fδ−1_{(c) est le g´en´erateur (d’ordre h}

0 = h/δ) du groupe cy-

clique CW(cσ). Puisque F commute `a l’action de G , les modules associ´es `a deux

ℓ-caract`eres dans la mˆeme orbite sous CW(cσ) sont isomorphes.

Notations 4.16. Pour chaque ℓ-caract`ere θ de TcF supppos´e non trivial, la com- posante θ-isotypique de Hr

c(Y( ˙c), K ) est un KG -module que l’on notera Yθ. Sa

classe d’isomorphisme ne d´epend que de l’orbite de θ sous CW(cσ) et le caract`ere

associ´e sera not´e χθ.

Proposition 4.17. Lorsque θ parcourt [Irrℓ(TcF)/CW(cσ)] et qu’il est suppos´e non tri-

vial, les caract`eres χθsont des caract`eres cuspidaux, deux `a deux distincts ; ils poss`edent

n´eanmoins la mˆeme restriction `a l’ensemble Gℓ′ des ℓ′-´el´ements de G .

D´emonstration. L’´el´ement de Coxeter c n’´etant contenu dans aucun sous-groupe

parabolique de W stable par F , autre que W lui–mˆeme, le tore de Coxeter Tc ne

peut ˆetre contenu dans un sous-groupe parabolique rationnel propre de G. Par [63, Corollaire 2.19], on en d´eduit que les caract`eres χθsont cuspidaux.

Fixons deux ℓ-caract`eres θ et θ′de TcF. La formule de Mackey [33, th´eor`eme 11.13], appliqu´ee au tore (T, cF ) plut ˆot que (Tc, F ) s’´ecrit :

hχθ; χθ′i_G =

X

w∈WcF

hθ ; w · θ′iTcF.

Puisque θ et θ′ sont en position g´en´erale, cette somme est non nulle si et seule- ment si θ et θ′ sont dans la mˆeme orbite sous WcF _{= C}

W(cσ).

Finalement, un ℓ-caract`ere de TcF prend la valeur 1 sur les ´el´ements d’ordre premier `a ℓ ; la formule des caract`eres [33, proposition 12.2] assure donc que la restriction de χθ `a Gℓ′ est ind´ependante de θ.

(ii) Les caract`eres unipotents du bloc. Ce sont les composants irr´eductibles du caract`ere virtuel RGTc(1), construit `a partir de la vari´et´e de Deligne-Lusztig X(c).

Les trois th´eor`emes suivants, qui ´enoncent certaines propri´et´es fondamentales de la cohomologie de cette vari´et´e, nous permettre de d´eterminer simplement les caract`eres unipotents du ℓ-bloc principal :

Th´eor`eme 4.18 (Lusztig). L’endomorphisme de Frobenius Fδ_{agit de fa¸con semi-simple}

surLiHic(X(c), K ) et ses espaces propres sont des KG -modules simples.

De plus, Lusztig montre que les valeurs propres de Fδsont de la forme ζqmδ/2, o `u m est un entier positif et ζ une racine de l’unit´e, et les d´etermine mˆeme expli- citement pour chaque type. En utilisant [62, table 7.3], on peut v´erifier que : Fait 4.19. Les classes des valeurs propres de Fδ <sub>dans k sont deux `a deux dis-</sub>

jointes, et forment le groupe des racines h0-i`emes de l’unit´e, avec h0 = h/δ.

Remarque 4.20. Cette observation traduit un ph´enom`ene beaucoup plus pro- fond selon lequel l’action du morphisme Fδ, vu comme ´el´ement de l’alg`ebre End_Kb_{(kG )} RΓ_c(X(c), k)

, est d’ordre fini h0(voir corollaire4.80).

Par hypoth`ese sur ℓ, la classe de l’entier qδ est d’ordre h0dans k× et fournit

ainsi un g´en´erateur particulier du groupe des racines h0-i`emes de l’unit´e. On fait

d`es maintenant le choix d’une racine carr´ee de q dans K , de sorte que chaque valeur propre de Fδcorresponde, modulo ℓ, `a une unique puissance de qδ. Cette observation permet d’introduire la notation suivante :

Notations 4.21. On notera Yj (ou parfois Yj(ζ)) l’espace propre de Fδassoci´e `a

l’unique valeur propre ζqδm/2dont la classe dans k s’identifie `a celle de qjδ. Le caract`ere correspondant sera not´e χj.

Avec ces notations, l’ensemble{χj| j = 0, ... , h0− 1} constitue l’ensemble des

caract`eres unipotents du ℓ-bloc principal.

Il sera parfois important de garder la trace de la racine de l’unit´e ζ intervenant dans la valeur propre de Fδ, car elle rend compte de la s´erie de Harish-Chandra dans laquelle se trouve l’espace propre associ´e :

Th´eor`eme 4.22 (Lusztig). Deux modules Yi(ζ) et Yj(ξ) sont dans la mˆeme s´erie de

Harish-Chandra si et seulement si ζ = ξ.

Pour finir, le th´eor`eme suivant donne la r´epartition des espaces propres ap- partenant `a une s´erie de Harish-Chandra fix´ee :

Th´eor`eme 4.23 (Lusztig). L’ensemble des entiers j tels que Yj est dans la s´erie de

Harish-Chandra associ´ee `a une racine de l’unit´e ζ est un intervalle d’entiers de la forme

[[ mζ; Mζ]] et la r´epartition de ces espaces propres dans la cohomologie de X(c) est la

suivante : Hr c(X(c), K ) Hrc+1(X(c), K ) · · · H r+Mζ−mζ c (X(c), K ) Ymζ(ζ) Ymζ+1(ζ) · · · YMζ(ζ) De plus, Yj est cuspidal si et seulement si j = mζ = Mζ.

Exemple 4.24. Dans le cas o `u G = SL2(F) et c = s, la vari´et´e X(c) est isomorphe `aP1rP1(Fq) et on peut calculer sa cohomologie `a l’aide de la proposition1.21. Le G -ensembleP1(Fq) ´etant identifi´e `a G /B, on trouve :

• H1

c(X(c), K ) = K [G /B]/K avec la valeur propre 1. Le caract`ere associ´e est

le caract`ere de Steinberg StG;

• H2

c(X(c), K ) = K avec la valeur propre q, laquelle se r´eduit en −1 modulo ℓ.

Avec les notations pr´ec´edentes, χ0 = StG et χ1 = 1G sont exactement les ca-

ract`eres unipotents du bloc principal.