Super-cellules et diagrammes de bandes projetés

On appelle super cellule une cellule qui contient plusieurs motifs de base. Dans le cas classique [8, 27] les motifs de base sont les tiges infinies :

Fig 18.V Coupe transversale d’une superstructure obtenue par répétition de la super-cellule ([27] page 202), la super-cellule est encadrée en bleu.

Par exemple on peut construire une super-cellule avec un défaut linéaire qui est un trou et qui agit comme un guide à certaines fréquences [27] :

Fig 19.V Super cellule avec un défaut linéaire. La distance entre chaque élément est a = 14mm et la longueur du trou d’air au milieu est égale à a. Les rayons des tiges sont tous égaux à 0.018a = 0.252mm. La

permittivité relative des tige est r= 11.56.

On peut aussi utiliser un défaut de surface pour fixer des ondes de surface [27] :

Fig 20.V Super-cellule avec un défaut de surface. La distance entre chaque élément est a = 14mm et le trou d’air est égal à 2 ∗ a. Les rayons des 2 premières tiges sont 0.018a et le rayon de la tige de surface est

0.009a. La permittivité relative de la tige est r= 11.56.

Dans l’exempleFig 20.V, on considère la structure périodique du réseau de tiges avec un défaut de surface. La cellule de base est constituée de 2 tiges diélectriques de tailles différentes de la tige de surface. En effet comme constaté en [27],[8] et [26], la modification de la tige de surface permet de faire apparaître des modes de surface (cf section I.2.4).

On considère une excitation parallèle à l’interface k||=Oy . Si on appelle C la vitesse

de la lumière dans le vide et ω la pulsation à laquelle on étudie du milieu, la région du diagramme de bande qui vérifie ω > Ck|| est appelée "cône de lumière". Toutes les solutions

qui se situent en dessous du cône de lumière (ω ≤ Ck|| ) sont soit des modes de surface soit

des solutions qui se propagent dans le milieu périodique [8]. On peut rajouter que les modes qui se propagent dans l’air, et pas dans la structure, vérifient ω > Ck|| et peuvent être des

périodique, toutes les solutions peuvent être considérées comme des ondes planes. La valeur de la dernière composante du vecteur d’onde incident kiz est fixée à 0. La structure est infinie

dans la direction Oz et donc les super-cellules Fig 19.V et Fig 20.V peuvent être très fines dans cette direction (cf remarqueV.3). Par définition le diagramme de bandes projeté dans la direction Oy est la superposition de plusieurs courbes kiy ∈ [0, π/dy] pour toutes les valeurs

de kix ∈ [0, π/dx] où dy et dx désignent respectivement la largeur et la longueur de la super-

cellule étudiée. Les diagrammes de bandes projetés s’obtiennent avec le paramètre T B = 3. Pour localiser les modes de surfaces on doit d’abord calculer le diagramme de bandes projeté dans la direction k|| =Oy du réseau infini de tiges Fig 21.V et ensuite comparer les résultats

obtenus avec les diagrammes de bandes projeté des super-cellulesFig 22.VetFig 25.V. Dans un premier temps, on identifie un certain nombre de zones au-dessus et en dessous de la ligne de lumière ω = Ck|| en rouge sur le diagramme Fig 21.V:

Fig 21.V Diagramme de bandes projeté du réseau de tiges infinies (Modes TM).

(φx, φy) = (kixdx, kiydy) ∈ [0, π, π/2, 3 ∗ π/4, π/4] × [0, π/12, . . . , π]. N D = 12, DV = 5 et T B = 3.

Fig 21.V la région verte et la région jaune assemblées correspondent à la bande interdite du B.I.E. La zone bleue représente les solutions propagatives dans le B.I.E. Les modes guidés dans un défaut de la structure se propagent dans l’air mais sont évanescents dans le B.I.E. Ils sont donc situés dans la région verte, tandis que les modes de surface sont évanescents dans l’air et dans le B.I.E, ils sont donc localisés dans la région jaune. La cellule de base ne comporte qu’une seule tige (cf Fig 21. V). Dans toute cette partie Les calculs sont effectués sur notre machine (PC processeur intel avec une horloge de 2.80GHz). Le résidu admissible pour chaque valeur propre(24.IV) est de 10−7. A chaque itération 17 modes propres sont calculés. Observons maintenant les diagrammes de bandes projetés des super cellules dans la direction Oy. Commençons par la super-cellule définie Fig 20.V :

Fig 22.V Diagramme de bandes projeté de la super cellule Fig 19.Vavec φx= kixdx =∈ [0, π, π/2, 3 ∗ π/4].

N D = 20, DV = 4 et T B = 3. Le shift initial σ est égale à 8.61 Ghz ce qui correspond à Kσ= 10 et

dc' 35mm .

Sur la Fig 22.V le diagramme de bandes projeté dans la direction Oy de la cellule avec le défaut linéaire représenté Fig 19.V avec kx ∈ [0, π, π/2, 3 ∗ π/4]. Le nombre d’arêtes totale

est 12683. Le nombre d’arêtes esclave est de 3844. Le temps de calcul total pour 4*20 points du diagramme de Bandes est de 2 minutes et 48 secondes. La mémoire maximum utilisée est de 62 Mb. Les modes guidés apparaissent en vert dans la bande interdite.

Pour illustrer les résultats, on peut observer les champs résultants Re( ˜Ez) et | ˜Ez| d’un

Fig 23.V

| ˜Ez| pour kix= π/dx , kiy = 0.6π/dy.

Fig 24.V

Re( ˜Ez) pour kix= π/dx , kiy = 0.6π/dy.

Sur les Fig 23.V et Fig 24.V les variations des champs sont indiquées sans donner leurs valeurs. Sur laFig 23.Vle champ est localisé dans l’espace laissé par les tiges "manquantes". Sur laFig 24.Vla propagation du mode guidé se traduit par un déroulement de la phase selon la direction Oy, avec une évanescence de part et d’autre du trou selon Ox. Sur la Fig 25.V le diagramme de bandes de la cellule dans la direction Oy avec le défaut de surfaceFig 20.V avec φx = kixdx ∈ [0, π, π/2, 3 ∗ π/4]. Le nombre total d’arêtes est 10471. Le nombre d’arêtes

esclaves est de 4042. Le temps de calcul total 4*16 points du diagramme de bandes est de 1 minute 38 secondes. La mémoire maximum utilisée est de 60 Mb. Les modes de surface sont en jaune.

Fig 25.V Diagramme de bandes projeté de la super cellule Fig 20.Vavec φx= kixdx ∈ [0, π, π/2, 3 ∗ π/4].

N D = 16, DV = 4 et T B = 3. Le shift initial σ est égal à 8.1 Ghz ce qui correspond à Kσ= 7 et

dc' 37mm .

Pour confirmer les résultats, on peut observer les champs résultants Re( ˜Ez) and | ˜Ez| d’un

mode de surface dans le plan z=0.0005. La fréquence du mode observé est 8.51 Giga Hertz :

Fig 26.V | ˜Ez| pour kix= 0 , kiy = 7π/8dy. Fig 27.V Re( ˜Ez) pour kix= 0 , kiy = 7π/8dy.

Sur les Fig 26.V et Fig 27.V, d’une part le mode se propage le long de la surface en "s’accrochant" aux défauts et d’autre part le champ est évanescent de par et d’autre de la surface.