V.2.1 Introduction
Avant d’énumérer les différents cas tests, nous allons montrer comment sont construits les fichiers de données afin d’avoir une représentation générale des paramètres manipulés et de faciliter la compréhension d’un utilisateur du code. Par convention nous nommons les fichiers exécutables avec l’extension .x, les fichiers d’entrée avec l’extension .don, les fichiers de sortie avec l’extension .dat et la cartographie des champs avec une extension .plt. Les exécutables se compilent avec les librairies PARDISO[38] et ARPACK[34] une explication de la compilation est donnée en annexe A.8. Les fichiers de sorties sont des fichiers .dat qui contiennent les caractéristiques des modes propres en fréquence ou en rad/m dans l’ordre croissant pour chaque valeur de la phase (correspondant à la norme et à la direction du vecteur d’onde incident). Ces fichiers se lisent avec le logiciel libre Gnuplot.
V.2.2 Les fichiers d’entrée
Les fichiers d’entrée regroupent toutes les données du solveur modes propres vues section IV.4, les données sur les conditions limites (cf section III.3) imposées sur les différentes faces du maillage, les propriétés volumiques des matériaux (permittivité perméabilité), les noms des fichiers de maillage et des options relatives au diagramme de bandes. Les fichiers de maillage devront aussi être présents dans le dossier où est lancée l’exécution. Les fichiers de maillage ont l’extension .bma qui est reconnue par notre solveur. Cette extension est obtenue à partir du post-traitement du maillage sous format .unv avec le logiciel maison PPTM[1]. En connaissant la structure d’un fichier .bma il est cependant possible de générer des fichiers de maillage lisible par notre solveur sans utiliser PPTM. Lors du maillage de la structure on devra numéroter les zones volumiques et surfaciques afin de les identifier pour faire varier les propriétés du milieu ou de pouvoir appliquer des conditions limites sur les interfaces. Nous
donnons ici une explication des principaux paramètres de résolution à renseigner dans les fichiers .don :
Paramètres Signification
DV Nombre de directions du vecteur incident. ¯
k Nombre de valeurs propres.
TB Type du diagramme de bandes (directions d’incidence).
ND Nombre de point par direction d’incidence (point tous les π/N D).
TPML Type de PML : 1 PMLZ, 2 PMLX, 3 PMLY
Kσ Facteur multiplicatif du shift σ (22.IV).
Fim Fréquence minimum d’absorption de la PML en Gigahertz.
¯
tol Critère de convergence ||AX − M X||/|λ| ≤ ¯tol
dc Distance caractéristique d’un élément de la structure.
Fig 1.V Paramètres principaux du solveur.
– TB permet de choisir parmi plusieurs chemins du vecteur d’onde incident. Soit les points du repère cartésien G(0, 0, 0) ; X(1, 0, 0) ;M(1, 1, 0) ; P(1, 1, 1) ; Y(0, 1, 0). Si TB = 1 le chemin est GXMP, 2→ GXMG. Des exemples seront détaillés dans les sectionsV.3.3 et V.4.2. Si TB =3 alors le vecteur incident varie dans la direction GY pour plusieurs valeurs de phases dans la direction GX. Autrement dit, c’est le diagramme de bandes projeté (cf section V.4.2) dans la direction GY.
– ND représente le pas du changement de phase φ = ki.T où ki est le vecteur d’onde inci-
dent et T le vecteur de translation entre les différentes faces Master-Slave. La variation de la phase φ correspond au "découpage" des abscisses du diagramme de bandes. Par exemple si N D = 10, on calcule les solutions tous les π/10 jusqu’à π ensuite on change la direction du vecteur incident DV fois selon les directions données par le paramètre TB.
bante. Si il n’y a pas de PML alors la valeur renseignée n’est pas utilisée. Le fichier .don contient les codes des zones qui correspondent aux conditions limites que l’on souhaite imposer.
– Kσ le facteur multiplicatif du shift σ défini par la relation (22.IV).
– Fimest la fréquence minimum d’absorption définie à la sectionIII.3.3 et par la relation
(17.III).
– ¯tol le facteur permettant à la fois de contrôler la convergence des modes propres (13.IV) et d’éliminer les solutions parasites (24.IV).
– dc est la distance caractéristique d’un élément de la structure permettant de calculer le
shift σ défini par la relation (23.IV). Elle est exprimée en mètre.
Remarque V.1. Soit λim la longueur d’onde correspondant à la fréquence Fim. Pour une
absorption suffisante, la hauteur de la PML doit avoir une longueur minimum égale à λim/4
(cf relation (18.III)). La direction d’absorption réglée par le paramètre TPML, doit être confondue avec l’axe de la hauteur de la PML, telle que définie en (18.III).
Remarque V.2. Pour configurer le shift σ l’utilisateur a le choix entre les deux paramètres dc et Kσ. Après multiplication par le facteur Kσ le nouveau shift σnew sera lié avec dc par la
relation (23.IV) :
σnew= Kσσ = (
2π dc
)2
Si on choisit d’utiliser le paramètre Kσ, le shift est déjà calculé et il suffit de laisser Kσ = 1
dans la plupart des cas simples qui contiennent un seul élément à périodiser comme dans la section V.3.3. Si on choisit dc il faut connaître au préalable les distances caractéristiques des
éléments périodisés. Dans les deux cas il arrive que l’on fasse plusieurs réajustement avant de trouver une valeur qui limite le nombre d’itérations dans l’algorithme de tri (cf section IV.4.5).
V.2.3 Calcul et représentation des champs
Dans chaque tétraèdre le champ s’écrit comme combinaison linéaire des fonctions de base de Nedelec d’ordre 0[69]. Ces fonctions de base sont définies sur chacune des 6 arêtes du tétraèdre. Autrement dit, si on se place dans le tétraèdre TK le champs local solution
ETk(r) = 6
X
p=1
epWp(r).
Une fois le problème résolu, les valeurs de ep sont connues en chaque point du tétraèdre et
aussi en chaque point de l’espace. Pour représenter le champ sur un maillage d’un plan qui coupe le domaine périodique infini, il suffit de reporter la valeur du champ en chaque point du maillage surfacique en reproduisant par périodicité le champ de la cellule de base grâce aux relations de déphasage de Floquet (cf section II.1). Pour pouvoir facilement appliquer les relations de déphasage il est préférable que le maillage surfacique soit régulier.
Fig 2.V Exemple du module du champ électrique d’un mode propre pour un réseau de tiges diélectriques (une coupe transverse).
Sur le dessin Fig 2. V, la cellule de base est la cellule encadrée en bas à gauche. Chaque point du maillage correspond à un point de la cellule de base après translations successives. Comme dans la relation (7.II) les champs des points images par translation sont déphasés d’un facteur e−j m×T1+n×T2
.ki où T
1 et T2 représentent les vecteurs translation selon 2
directions de périodicité et ki le vecteur d’onde incident. Sur les points choisis de la figure
de droite n = m = 2. Les fichiers champs ont l’extension .plt et sont lisibles par le logiciel commercial de visualisation graphique Tecplot.
V.2.3.1 Conclusion
Dans cette partie nous avons présenté comment sont organisés les fichiers de données ainsi que les paramètres nécessaires pour la résolution de nos problèmes des modes propres. Dans la sections V.3 etV.4 les paramètres définis section V.2.2 sont utilisés.