II.4.1 Principe de la méthode
C’est une méthode de calcul de différences finies, qui permet de résoudre les équations de Maxwell dans le domaine temporel. La formulation temporelle des équations de Maxwell peut s’écrire de la façon suivante[54] :
∇ × E(r, t) = −µ0 ∂(H) ∂t pour (r, t) ∈ R 3 × Rt ∇ × H(r, t) = ∂ ∂tD0(r, t) + Pd(r, t)
Où E(r, t), H(r, t) et µ0 dénotent le champ électrique, le champ magnétique la perméa-
bilité relative du vide et Pd(r, t) = Pδ(r − r0)e−iωt représente le moment dipolaire oscillant.
P et r0 sont l’amplitude et la position du moment dipolaire et δ la fonction de Dirac. D0(r, t)
représente le déplacement électrique causé par la structure diélectrique des éléments pério- diques. Le vecteur densité de courant J(r, t) est implicitement contenu dans l’expression de D0 puisqu’il peut s’écrire en fonction du champ E(r, t) grâce à la loi d’Ohm (cf annexeA.5).
Elle est généralement égale au produit de convolution entre le champ électrique et la fonction [Φ(r, t)] représentant la réponse temporelle du diélectrique de permittivité [(r, ω)] :
D0(r, t) = 0 Z +∞ −∞ Φ(r, t − t0)E(r, t0)dt0 , [Φ(r, t)] = 1 2π Z +∞ −∞ [(r, ω)]e−iωtdω
Pour plus de détails sur la représentation temporelle de la permittivité on peut se reporter à l’annexe A.2.3.
Remarque II.7. On peut facilement envisager de traiter les milieux dispersifs grâce aux mo- dèles explicites type Drude (cf sectionVI.2.1.3 et [55]) ou Debye (cf annexeA.2.5 et [56]) en transformant l’expression de la permittivité en fonction de la fréquence et en appliquant la transformée de Fourier[57]. De plus, nous pouvons faire face à d’autres cas dispersifs aussi longtemps que la présumée dépendance en fréquence de la constante diélectrique satisfait le principe causalité ou la relation de Kramers-Kronig [54] (cf annexe A.2.2).
De façon classique, on peut par exemple approcher les dérivées partielles figurant dans les équations de Maxwell par les différences finies centrées :
∂f (x, y, z, t) ∂x = f (x + δx/2, y, z, t) − f (x − δx/2, y, z, t) δx + o(δx 2 )
Où δx représente le pas de discrétisation suivant la direction x. Si on appelle δt le pas de temps, chaque composante spatiale du champ à l’instant t + δt est mise à jour à partir de la composante calculée à partir de l’instant t plus précisément nous utilisons le schéma de Yee [58].
Remarque II.8. Contrairement aux autres méthodes présentées et comme le schéma de Yee est explicite, il n’y a pas ici de processus d’inversions de matrices, mais une mise à jour des
valeurs des composantes en chaque nœuds et à chaque instant. Notons que les schémas aux différences finies implicites nécessitent en général une inversion [59].
Les composantes électriques se calculent aux points de la cellule de Yee que l’on appelle les nœuds électriques. Ces nœuds se situent au milieu des arêtes tandis que les composantes magnétiques se calculent aux centres des faces aussi appelés nœuds magnétiques.
Fig 17.II Cellule de YEE[58] .
Cette répartition des composantes permet au schéma de Yee de respecter la continuité des composantes tangentielles électriques et normales magnétiques à l’interface de deux cel- lules. La grille FDTD est définie par les champs en chaque point du domaine discrétisé sur l’ensemble des pas de temps réalisés. Voici un exemple de mise à jour d’une coordonnée d’un point de la grille FDTD [57, 58, 60] : Hyn+1/2(i, j, k) = Hyn−1/2(i, j, k)+δt µ0 Ezn(i + 1, j, k) − Ezn(i, j, k) δx − En x(i, j, k + 1) − Exn(i, j, k) δz
II.4.2 Stabilité numérique
Pour éviter les instabilités numériques, le schéma doit vérifier une condition du type [57,60] : δt ≤ 1 vmax. q 1 δx2 + 1 δy2 + 1 δz2
Où vmax est la vitesse maximum de propagation dans le milieu et δx, δy, δz représentent les
pas de discrétisation suivant les directions x, y et z. II.4.3 Les problèmes périodiques
L’adaptation de la FDTD aux structures périodiques a fait l’objet d’une étude approfondie dans la thèse de Belkhir Abderrahmane [60]. Tout d’abord, on applique les conditions de Floquet (cf section III.3.5) sur les interfaces du domaine de calcul dans le cas classique du réseau de tiges de pas a. Soit une onde plane incidente de vecteur d’onde ki = (kix, kiy, kiz),
E(x = a, y, z = 0, t) = E(x = 0, y, z = 0, t)ejkix.a
E(x, y = a, z = 0, t) = E(x, y = 0, z = 0, t)ejkiy.a
H(x = a, y, z = 0, t) = H(x = 0, y, z = 0, t)ejkix.a
H(x, y = a, z = 0, t) = H(x, y = 0, z = 0, t)ejkiy.a
Fig 18.II Cellule de base du réseau carré de tiges.
Ensuite on injecte une série de Floquet à l’instant t = 0 et on laisse le signal se propager pendant une durée suffisamment grande pour exciter les premières fréquences propres. La série est construite à partir des vecteurs du réseau réciproque du réseau de Bravais et peut s’écrire (cf section II.3.2) :
X
G∈R.R
ˆ
EGej (G−ki).r
Après avoir injecté le signal, on calcule l’évolution de la densité volumique d’énergie en fonction de la fréquence grâce la transformée de Fourier du signal temporel. Le spectre obtenu fait apparaitre des pics d’énergie qui correspondent aux fréquences propres de la structure étudiée.
Remarque II.9. Souvent pour que les pics soient stables, un grand nombre d’itérations tem- porelles sont nécessaires (»10000) [60] et ceci pour chaque valeur de ki et donc pour chaque
point du diagramme de bandes. On peut alors imaginer que sur des structures maillées fine- ment le temps de calcul pour réaliser un diagramme de bandes puisse devenir interminable. De plus, il faut pouvoir stocker toutes les valeurs des champs aux nœuds à chaque pas de temps ce qui peut nécessiter l’utilisation d’un espace mémoire considérable.
II.4.4 Intérêts
– Les structures sont faciles à mailler puisque le maillage est cubique et le codage de la méthode est relativement simple.
– La connaissance des propriétés temporelles des matériaux suffit au codage de la FDTD qui peut ainsi traiter des problèmes non linéaires et dispersifs (cf remarque II.7). – Il n’y a pas ici de processus d’inversion de matrice (cf remarqueII.8).
II.4.5 Limitations
– Le temps de calcul et l’espace mémoire qui sont utilisés par la grille FDTD peuvent de- venir très important notamment parce qu’ils sont liés par une condition CFL nécessaire pour assurer la stabilité du schéma (cf remarques II.9).
la stabilité du schéma [57]. La taille des cubes est donc calibrée par rapport aux zones ou le maillage doit être raffiné.
– À chaque pas de temps, la mise à jour des conditions aux limites périodiques intro- duisent des approximations, qui peuvent avoir une influence sur la précision du calcul.