Réseaux périodiques

Dans les sections V.3.3.1 et V.3.3.2 les calculs sont effectués sur notre machine (PC processeur intel avec une horloge de 2.80GHz). Le résidu admissible ¯tol pour chaque valeur propre équation (24.IV) est de 10−7. À chaque itération ¯k = 17 modes propres sont calculés. La valeur du coefficient multiplicatif du shift Kσ est égale à 1.

V.3.3.1 Cubes Métalliques 3 D

On considère des cubes parfaitement conducteurs en espace libre répartis de façon pé- riodique dans les trois directions. La cellule de dimension initiale est le cube de hauteur Dx=Dy=Dz=1m, la longueur du côté du cube est w= 0.5m. Les caractéristiques , µ sont celles de l’air soit 1 = µ1 = 1, ce cas est donc la périodisation selon les trois directions

Fig 9.V Cube métalliques dans l’air [36].

Pour nos simulations on applique des conditions Maître-esclave (cf section III.3.5) dans les 3 directions de l’espace. D’abord, on fait varier le déphasage dans la direction Ox de 0 à π et les déphasages dans les autres directions sont nuls. Ensuite, on fixe le déphasage dans la direction Ox à π, dans la direction Oz à 0 et on fait varier le déphasage de la direction Oy de 0 à π (intervalle [π, 2π] sur le schéma). Ensuite les déphasages Ox et Oy sont fixés à π et on fait varier le déphasage Oz de 0 à π(intervalle [2π, 3π] sur le schéma). Autrement dit DV = 3 et T B = 1. Les résultats sont exprimés en radian par mètre et le déphasage est en radian :

Fig 10.V Résultats issus de notre résolution. Nombre d’inconnues 9599. Le temps de calcul des 33 points(N D = 11, DV = 3 et T B = 1) est de 4 minutes et 33 secondes. Mémoire maximum utilisée

152.7 Mb. Le shift σ (22.IV) est égal à 5 rad/m .

Fig 11.V Résultats tirés de [36]. Nombre d’inconnues (arêtes totales-arêtes PEC)= 10344. Le temps de

calcul n’est pas précisé.

Les résultats obtenus par notre solveurFig 10.Vsont concordants avec ceux présentés dans [36]. On pourrait très bien remplacer les cubes métalliques par des sphères, des pyramides ou n’importe quelle structure 3 D que nous pouvons mailler.

V.3.3.2 Réseau de tiges diélectriques

On considère un réseau carré de tiges diélectriques infinies réparties[27] de façon périodique dans l’air selon l’axe Oz. L’écart a entre deux tiges est de 7mm et le diamètre des tiges est de 4mm. Les caractéristiques r, µr du diélectrique sont r = 9.4, µr = 1 :

Fig 12.V Réseau de tiges diélectriques, a = 7mm.

Dans nos simulations nous appliquons des conditions "Maître-esclave" dans toutes les directions de l’espace avec un déphasage variable selon les 2 axes Ox et Oy. Le déphasage dans la direction Oz est fixé à 0.

Remarque V.3. Comme cela est illustré Fig 13.V, l’épaisseur de la cellule de base dans la direction OZ peut être fine par rapport aux autres dimensions de la cellule puisque le dé- phasage dans cette direction est fixé à 0. En effet la géométrie du motif ne varie pas dans cette direction. On pourrait aussi directement faire ce calcul avec des éléments finis en 2 dimensions [36].

Fig 13.V Exemple de maillage de la cellule de base du réseau de tiges. Le longueur de la cellule de base a = 7mm et la hauteur h = 1mm.

Fig 14.V et Fig 15.V on fait varier le déphasage dans la direction Ox de 0 à π et les déphasages dans les autres directions sont nuls. Ensuite, on fixe le déphasage dans la direction Ox à π, dans la direction Oz à 0 et on fait varier le déphasage de la direction Oy de 0 à π (intervalle [X, M ] sur le schéma). Ensuite on fait varier les déphasages dans les directions Ox et Oy de π à 0 et on laisse le déphasage dans la direction Oz à 0 (intervalle [M, Γ] sur le schéma). Autrement dit DV = 3 et T B = 2. Les résultats sont exprimés en unité normalisée a/λ :

Fig 14.V Résultats issus de la méthode des ondes planes[50]. Les modes TE sont en rouge et les

modes TM en bleu.

Fig 15.V Résultats issus de notre résolution. Nombre d’inconnues= 7035, temps de calcul des 33 points (N D = 11, DV = 3 et T B = 2) est de 46 secondes. Mémoire maximum utili- sée 49 Mb. Le shift σ (22.IV) est égal à 20.89 GHz=0.488 a/λ.

Fig 15.V etFig 14.V les résultats sont identiques. Fig 15.V nous avons ajouté des infor- mations sur la bande interdite des modes TM qui existe pour des fréquences variants entre 11.361 GHz et 14.816 GHz . Ces résultats ont été validés expérimentalement dans notre laboratoire[106] et le diagramme de transmission Fig 16.V confirme bien l’existence d’une bande interdite autour de 13 GHz. Grâce au dispositif Fig 17.V, deux mesures ont été réa- lisées à l’aide de plusieurs cornets adaptés : la première en l’absence de tiges (le support étant déjà en place), et la seconde en présence du réseau. Le résultat, présenté sous forme de différence, permet de minimiser les erreurs liées aux instruments de mesure et à la présence du support.

Fig 16.V Diagramme de transmission du réseau de tiges représentéFig 17.V[106].

Fig 17.V Antenne cornet et et réseau fini de tiges sur le banc de mesure dans la chambre

anéchoïque de l’ONERA [106].

Sur la Fig 17.V les tiges ont les mêmes caractéristiques (diamètre, permittivité, pas de réseau) que celles du réseau infini étudié dans cette section.

V.3.4 Conclusion

Dans cette partie nous montrons que les résultats obtenus avec notre outil sont fiables par comparaisons successives avec d’autres méthodes. Nous reprenons aussi certains para- mètres de résolution, expliqués dans la section V.2, indispensables à la compréhension du déroulement d’un calcul. Dans la section V.3.3.2 une structure périodique dans 2 directions est abordée avec la méthode des ondes planes qui est très efficace dans ce cas puisque la géo- métrie est canonique et les modes se calculent sur une surface orthogonale aux tiges. Dans ce cas, notre résolution fonctionne mais nécessite plus de ressources que la méthode des ondes planes. Dans la section V.3.3.1une géométrie 3 D canonique comportant des matériaux PEC est abordée. On montre que nos résultats sont concordants avec une autre mise en œuvre de la méthode des éléments finis et qu’il est possible de traiter des géométries non cano- niques. Nous allons voir maintenant comment l’outil permet de résoudre des problèmes liés aux modes de surface.