A.2.1 Permittivité et polarisation d’un diélectrique
Un matériau est qualifié de diélectrique s’il ne contient pas de charges électriques pouvant se déplacer de façon macroscopique. Autrement dit, c’est un milieu dans lequel ne se propage pas de courant électrique. Parmi ces milieux on compte : le verre, le vide et de nombreux plastiques. Bien qu’ils soient non conducteurs, les diélectriques peuvent interagir avec un champ électrique. En effet on peut considérer que les atomes du matériau présente des dipôles électrostatiques susceptibles de s’aligner selon les lignes de champs électriques. La densité de présence de ces dipôles s’appelle la polarisation. Les causes de la présence d’effets de polarisation peuvent être diverses :
* Le déplacement et la déformation des nuages électroniques des atomes. * Les déplacements d’atomes ou bien d’ions au sein du matériau.
La grandeur la plus utilisée pour caractériser un diélectrique est la permittivité relative notée r. On peut la définir comme étant le rapport entre la capacité Cx de deux électrodes
plongées dans le diélectrique et la capacité Cv des mêmes électrodes dans le vide :
r =
Cx
Cv
(4.A) r est donc un nombre réel sans dimension contrairement à la permittivité absolue qui
est le produit de la constante diélectrique du vide 0 par la permittivité relative :
= 0r
avec :
0 = 8, 854187.10−12 F.m−1
On a mesuré que la permittivité relative des gaz est très légèrement supérieure 1 (1,00053 pour l’air) tandis que certains diélectriques pour condensateurs peuvent avoir une permittivité relative supérieure à 1000. En général les diélectriques ont une permittivité relative n’excédant pas la dizaine.
A.2.2 Causalité de la polarisation
Dans une modélisation réaliste, le temps intervient dans les mécanismes de polarisation. En effet un matériau ne peut pas réagir instantanément sous l’effet d’un champ électrique. Si on note P(t) la polarisation d’un matériau à l’instant t on a :
P(t) = 0
Z t
−∞
Autrement dit, la polarisation à l’instant t est le produit de convolution entre le champ électrique aux instants passés et la susceptibilité électrique dépendante du temps χ(∆t). Le principe de causalité nous dit que la polarisation ne peut que dépendre du champ électrique passé. Une conséquence du principe de causalité est que la limite supérieure de cette intégrale peut être étendue à l’infini à moins que χ(∆t) = 0 si ∆t < 0. Pour une réponse instantanée on écrit la susceptibilité électrique avec la fonction de Dirac :
χ(∆t) = χ ∗ δ(∆t)
D’autre part la transformée de Fourier d’un produit de convolution est le produit des transformées de Fourier des fonctions respectives. On peut donc exprimer la polarisation en fonction de la pulsation :
P(ω) = 0χ(ω)E(ω). (6.A)
La courbe de la susceptibilité en fonction de la pulsation caractérise les propriétés de dispersion du matériau. De plus, le fait que la polarisation ne puisse que dépendre du champ électrique à moment antérieur (i.e χ(∆t) = 0 si ∆t < 0), impose les contraintes de Kramers- Kronig sur la susceptibilité χ(0) [110].
A.2.3 Permittivité électrique et champ d’induction
Le champ d’induction électrique noté D représente l’influence du champ électrique E sur l’organisation des charges électriques d’un matériau. Soit P la polarisation et χ la suscepti- bilité électrique. Le champ d’induction électrique est par définition :
D = 0E + P = 0E + χ0E = E (7.A)
L’effet d’induction vient donc de la polarisation du vide et du matériau étudié. Ainsi, pour une pulsation donnée, d’après l’équation (6.A), la susceptibilité électrique est reliée à la permittivité électrique d’un matériaux par la relation :
(ω) = 1 + χ(ω)0 = r(ω)0
* Si le matériau est anisotrope, la permittivité est une matrice (). Dans ce cas, le champ de vecteur D n’est pas colinéaire E.
* Si le matériau est in-homogène, la valeur de () n’est pas constante dans le matériau. * Si le matériau est non linéaire, la relation D = .E n’est plus valable. Cependant,
d’après l’équation (5.A) on peut écrire la relation (7.A) sous une forme plus générale :
D(r, t) = 0E(r, t) +
Z t
−∞
A.2.4 Permittivité complexe
Dans une modélisation réaliste en régime harmonique, la permittivité est complexe. En effet, la partie imaginaire permet de modéliser un phénomène d’absorption ou d’émission du champ électromagnétique. Par opposition à la réponse du vide, la réponse d’un matériau normal à un champ électrique extérieur dépend généralement de la fréquence de ce champ. Cette dépendance en fréquence reflète le fait que la polarisation d’un matériau ne répond pas de manière instantanée à un champ appliqué. La réponse peut arriver après que le champ a été appliqué ce qui peut être représenté par un déphasage. Pour cette raison la permittivité contient une partie imaginaire non nulle.
La contribution de la partie réelle de la permittivité est liée à l’énergie stockée dans le matériau.
ε(ω) = ε0(ω) − iε00(ω)
Fig 2.A Réponse du diélectrique en fonction de la fréquence ω/2π[111].
Fig 2.A ε0 et ε00 représentent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de la permittivité, en fonction de la fréquence. Plusieurs phénomènes sont représentés Fig 2.A:
Réponse ionique et dipolaire pour les fréquences basses.
Réponse atomique et électronique pour les fréquences plus fortes.
ε00représente ce qu’on appelle les pertes diélectriques. Ces pertes sont souvent très faibles. La partie imaginaire est donc très petite devant la partie réelle. On parle alors parfois d’angle de perte, exprimé en pourcentage et défini par :
δe≈ tan δe =
ε00 ε0
Cette appellation s’explique par le fait que cet angle δe est l’angle formé par les vecteurs
champ électrique et déplacement électrique dans le plan complexe. Les parties réelles et imaginaires de la permittivité ne sont pas complètement indépendantes. Elles sont reliées par les relations de Kramers-Kronig [110].
A.2.5 Relaxation de Debye
La relaxation de Debye [56] est une réponse de la relaxation d’un ensemble de dipôles idéaux qui n’interagissent pas entre eux, à un champ électrique alternatif extérieur. Elle s’exprime comme une fonction de la fréquence ω du champ extérieur à travers la permittivité complexe ˆε(ω) d’un matériau :
ˆ
ε(ω) = ε∞+
∆ε 1 + iωτ,
Où ε∞est la permittivité limite à quand la fréquence tend vers l’infinie, ∆ε = εs− ε∞ où
εsest la permittivité statique à basse fréquence et τ est la constante de temps caractéristique
de relaxation du diélectrique (délai entre le champ extérieur et l’établissement d’un état d’équilibre dans le milieu).