La structure de donn´ ee NdCube

La structure de type NdCube repr´esente une grille structur´ee r´eguli`ere plong´ee dans un espace de dimension quelconque. Cet objet sert de support de calcul pour l’interpolation lisse discr`ete et doit permettre le stockage et la repr´esentation du r´esultat. La contrainte principale de cet objet est la gestion de la m´emoire. En effet, il faut pouvoir repr´esenter la surface avec pr´ecision ce qui requiert un maillage fin et ce, dans un espace de grande dimension (n > 3). L’organisation des diff´erentes classes n´ecessaires est d´ecrite ci-dessous et est illustr´ee en d´etails sur le sch´ema B.2.

Structure de grille Comme expliqu´e pr´ec´edemment, l’objet NdCube est une grille de type structur´ee r´eguli`ere. “Structur´ee” signifie que que les connections entre les nœuds du maillage ob´eissent `a une r`egle unique et sont donc pr´evisibles, tandis que “r´eguli`ere” indique que la g´eom´etrie de l’ensemble des cellules du maillage est identique, c’est-`a-dire, ici, de forme “hyper-cubique”. L’avantage principal de ce choix est que la g´eom´etrie de la grille est enti`erement implicite et peut ˆetre d´ecrite `a partir des quelques ´el´ements clefs suivants :

– la dimension de l’espace dans lequel l’objet est plong´e ;

– les deux NdPoint (voir ci-dessus) correspondants, respectivement, aux points de la grille de coordonn´ees minimales et maximales dans toutes les directions de l’espace ;

– le nombre de nœuds pour chaque axe de la grille ;

– et, pour finir, un tableau de chaˆınes de caract`eres correspondants aux noms des diff´erents axes de la grille.

L’ensemble de ces informations sont regroup´ees dans les classes NdBox et NdCage qui forment donc la base g´eom´etrique du NdCube. Elle fournissent aussi un ensemble de fonctions qui effectuent les transformations n´ecessaires pour passer de l’index d’un point dans la grille (index ijk) aux indexes correspondant dans chacune des directions de la grille (indexes (i, j, k)) puis aux coordonn´ees dans l’espace (coordonn´ees (x, y, z)).

Manipulation des propri´et´es Dans le cas d’un NdCube, le stockage et la gestion des propri´et´es s’appuient aussi sur la structure de grille structur´ee r´eguli`ere. En effet, comme le nombre et la disposition des nœuds sont pr´evisibles, les propri´et´es peuvent ˆetre stock´ees de fa¸con contigu¨e en m´emoire sous forme d’un tableau unique. Il est donc possible de les s´eparer de la partie g´eom´etrique. D’autre part, au vue de la taille des tableaux `a manipuler, ceux-ci sont stock´es sous la forme d’une liste chaˆın´ee qui permet plus facilement d’en ajouter ou d’en retirer. Ainsi l’implantation s’organise de la fa¸con suivante :

– chaque propri´et´e correspond `a une classe de type NdPropertyCube. Celle-ci contient le tableau des donn´ees proprement dites, mais aussi, le nombre de champs de la propri´et´e, et par le biais d’un membre de type Property, le nom et diverses informations sur son graphisme ou ses statistiques (valeurs moyennes, minimales et maximales, par exemple). – l’architecture globale s’organise de fa¸con similaire `a celle du Voxet d´ej`a pr´esent dans le

g´eomodeleur GOcad. En effet, la classe NdPropertyCube est consid´er´ee comme ´etant un GObjet en d´erive. Cela permet alors de consid´erer le NdCube comme un GObjGroup de propri´et´es et donc de b´en´eficier des outils et fonctions d´ej`a implant´es pour la gestion d’un telle liste d’objets.

– enfin, d’une fa¸con similaire aux NdPointSet, la gestion globale des propri´et´es est laiss´ee `a une classe, NdPropertyCubeDB, qui d´erive de PropertyDB.

Les avantages de cette structure sont principalement :

– qu’elle reprend des ´el´ements d´ej`a pr´esent dans Gocad, ce qui favorise sont int´egration ; – que sa g´eom´etrie est implicite et donc ne n´ecessite que peu d’informations ;

– et que les propri´et´es sont d´ecoupl´ees de la g´eom´etrie et stock´ees de mani`ere compacte en m´emoire.

Le choix de cette architecture d’implantation permet de rendre cette structure de donn´ees la moins coˆuteuse en m´emoire tout en facilitant sa manipulation. En outre, le d´ecouplage permet une extension plus facile de l’objet. Par exemple, il a ´et´e possible de red´efinir une grille de

type “structur´ee irr´eguli`ere” en modifiant le NdCage sans avoir `a toucher aux propri´et´es et inversement, il est possible de red´efinir la notion de propri´et´e, sous la forme d’une fonction analytique par exemple, sans modifier la cage.

B.4 Remarques finales

Les structures de donn´ees NdPointSet et NdCube permettent donc de repr´esenter dans le g´eomodeleur Gocad, respectivement, un ensemble de points et une grille structur´ee r´eguli`ere, tous deux plong´es dans un espace de dimension quelconque. D’une fa¸con g´en´erale, durant l’im-plantation de ces structures de donn´ees, l’attention a ´et´e port´ee principalement sur la distinction et le d´ecouplage entre la g´eom´etrie et les propri´et´es. En effet comme soulign´e dans la section (2.1.1), dans le cadre de l’interpolation de surfaces de r´eponse, la g´eom´etrie est constitu´ee des coordonn´ees des points de donn´ees ou des nœuds du maillage dans l’espace des param`etres incer-tains tandis que les propri´et´es repr´esentent les r´esultats de simulation ou d’autres informations n´ecessaires `a l’interpolation. Ainsi une fois le probl`eme pos´e, c’est-`a-dire les param`etres incer-tains d´efinis, la g´eom´etrie est consid´er´ee fixe tandis le nombre des propri´et´es doit pouvoir ´evoluer facilement. En outre, ces structures s’appuient largement sur les objets Gocad pr´e-existants et en sont en quelque sorte l’extension dans un espace de dimension quelconque. Cette int´egration a permis d’utiliser de nombreuses fonctions dont le d´eveloppement n’´etait pas essentiel, mais utiles, pour ces travaux de th`ese.

Quantification des incertitudes li´ees aux simulations d’´ecoulement dans un r´eservoir p´etrolier `a l’aide de surfaces de r´eponse non lin´eaires

La quantification des incertitudes constitue une ´etape cl´e de la mod´elisation du sous-sol. Les donn´ees dispo-nibles sont limit´ees, ´eparses et h´et´erog`enes par cons´equent le mod`ele obtenu reste une approximation de la r´ealit´e. Pour mener une ´etude de r´eservoir compl`ete, il est n´ecessaire de disposer d’outils pour appr´ehender des incertitudes pour un coˆut minimal (temps, m´emoire, etc.). Dans ce cadre, les simulations d’´ecoulement posent des probl`emes sp´ecifiques : elles sont coˆuteuse en temps et l’exploitation des r´esultats est difficile dˆu `a la nature complexe de la relation entre les variables de production et les param`etres du mod`ele.

Le cœur des travaux pr´esent´es dans cette th`ese concerne le d´eveloppement de m´ethodologies bas´ees sur l’utilisation de surfaces de r´eponse pour analyser cette relation :

– le d´eveloppement et l’´evaluation de l’interpolation lisse discr`ete et du krigeage dual pour la construction de surface de r´eponse. En compl´ement, ont ´et´e d´evelopp´ees une m´ethode d’analyse de sensibilit´e bas´ee sur la variance de la production vis-`a-vis des param`etres incertains ainsi qu’une technique d’inversion bay´esienne de donn´ees historiques de production.

– la combinaison de r´esultats de simulations d’´ecoulement conventionnelles avec ceux de simulations rapides alternatives afin d’am´eliorer la pr´edictivit´e des surfaces de r´eponse.

– la prise en compte de param`etres incertains de type stochastique caract´eris´es par un effet al´eatoire sur la production et ne pouvant ˆetre inclus dans une approche d´eterministe classique.

Le choix des techniques implant´ees s’est concentr´e sur les trois aspects suivants : (1) le nombre important de param`etres incertains qui doivent ˆetre pris en compte, (2) l’existence de bruit dans les donn´ees provenant le plus souvent de param`etres jug´es peu influents et (3) la forme complexe de la relation entre les param`etres incertains et la production du r´eservoir.

Mots-cl´es:Surface de r´eponse, analyse de sensibilit´e, inversion bay´esienne, simulations secondaires, param`etres stochastiques, simulation sur lignes de courant.

Abstract

Uncertainty Quantification on Reservoir Flow Simulation using Non-Linear Response Surfaces

Uncertainty Quantification is a key step in any subsurface modeling pipeline. Available data are limited, sparse and heterogeneous, therefore the geomodel itself is an approximation of the reality. This requires to provide tools to assess these uncertainties at a minimal cost (memory, time, etc.). In this context, flow simulation adds its own burden : it is time and memory consuming and the results are difficult to interpret due to the complex relationship between reservoir uncertain parameters and production variables.

This work develops several methodologies based on response surfaces to analyze this relationship : – construction of response surfaces using the discrete smooth interpolation and the dual kriging approach ; – analysis of non-linear response surfaces using variance based sensitivity analysis and bayesian inversion

of production history ;

– integration of fast flow simulation results within the response surface construction step ;

– handling of stochastic uncertain parameters characterized by a random effect on reservoir production and which cannot be included in a classic deterministic framework.

The selection of these methodologies is based on the following considerations : (1) the number of uncertain parameters to handle is usually large, (2) data may be noisy, especially if some parameters has been estimated unimportant and neglected and (3) the complex relationship between uncertain parameters and reservoir production.

Keywords: Response surface, sensitivity analysis, bayesian inversion, fast alternative simulation, stochastic parameters, streamline simulation