Krigeage dual avec terme de r´egularisation

2.3.1 Principe

Forme g´en´erale pour une variable scalaire Comme d´ecrit pr´ec´edemment, le krigeage est une technique d’interpolation dont l’objectif est de tenir compte de corr´elations spatiales entre donn´ees. Celles-ci sont mod´elis´ees par un corr´elogramme (ou son pendant, le variogramme) qui mesure la covariance, not´ee C(h), entre deux points en fonction de la distance h les s´eparant. Ici, par soucis de simplicit´e, le variogramme est suppos´e isotrope. D’un point de vue pratique,

(a) fonction estim´ee ˆz(x) (b) variance d’estimation σ2 z(x)

Fig.2.1 – Exemple de construction par krigeage simple d’une fonction de r´eponse. Le krigeage est effectu´e en consid´erant un variogramme de type puissance avec ω = 1.75. (a) fonction interpol´ee et (b) variance d’estimation. A noter, en particulier, la forme non-lin´eaire de la surface et le caract`ere exact du krigeage : la fonction interpol´ee passe par les points de donn´ees (en noir) o`u la variance d’estimation est alors nulle. Les donn´ees proviennent du mod`ele IC-Fault pr´esent´e dans la section (2.6.2).

le krigeage est un estimateur lin´eaire : l’estimation de la fonction de r´eponse en un point x est une combinaison lin´eaire des valeurs connues. La forme g´en´erale de l’estimateur est :

ˆ z(x)− mz(x) = nd X j=1 λ_j(x) z(p_j)− mz(p_j)
(2.1)

o`u les λj(x) sont les poids du krigeage associ´es `a la donn´ee z(p_j), tandis que mz(x) et mz(p_j) sont l’esp´erance de z en, respectivement, x et p_j. Diff´erentes variantes du krigeage existent suivant le mod`ele choisi pour m_z(x). La plus couramment utilis´ee pour la construction de sur-faces de r´eponse est celle du krigeage simple (“Simple Kriging”). Dans ce cas, l’esp´erance m(x) est suppos´ee connue, et le plus souvent, mais pas n´ecessairement, constante sur l’ensemble du domaine d’´etude. L’estimateur s’´ecrit alors sous la forme matricielle suivante :

ˆ

z(x) = λ^t(x) z_p (2.2)

o`u :

– λ(x) = [λ₁(x),· · · , λnd(x)]^trepr´esente le vecteur colonne des poids du krigeage ; – z_p= [z(p₁),· · · , z(pnd)]^t rassemble les valeurs connues de la fonction `a interpoler.

Syst`eme du krigeage Le calcul des λ_j(x) s’effectue en tenant compte de la corr´elation entre les donn´ees, tout en s’assurant que l’estimateur est sans biais et que la variance des erreurs

poids s’obtient en r´esolvant le syst`eme lin´eaire suivant [Matheron, 1970] :

C λ(x) = c(x) (2.3)

o`u C est la matrice de taille n<sub>d</sub>× nd des covariances spatiales entre les points de donn´ees, tandis que c(x) est le vecteur de taille n<sub>d</sub> des covariances spatiales entre les points de donn´ees et le point o`u la fonction doit ˆetre interpol´ee :

C=    C(kp1− p1k) · · · C(kp1− pndk) .. . .._. .._. C(kpnd− p1k) · · · C(kpnd− pndk)    et c(x) =    C(kp1− xk) .. . C(kpnd− xk)    (2.4)

Sachant que la matrice C est sym´etrique, l’estimation de la fonction en un point quelconque de l’espace est alors ´egale `a :

ˆ

z(x) = c^t(x) C⁻¹ z_u (2.5)

En compl´ement, il est possible de calculer la variance σ²(x) et tout point telle que :

σ²(x) = C(0) − λ^t(x)c(x) = C(0) − c^t(x) C⁻¹ c(x) (2.6) Cette valeur permet de mesurer la fiabilit´e de l’estimation et a ´et´e utilis´ee par exemple dans le cadre de plans d’exp´erience ´evolutifs [Scheidt et Zabalza-Mezghani, 2004]. La figure (2.1) montre un exemple simple d’interpolation par krigeage d’une fonction de r´eponse ainsi que la variance d’estimation correspondante.

Voisinage global Le calcul par la m´ethode du krigeage de ˆz(x) et σ2(x) en un point quel-conque x n´ecessite l’inversion de la matrice de covariance C dont la taille n_d× nd d´epend du nombre de points de donn´ees. Dans le cas g´en´eral, il est n´ecessaire de limiter les calculs `a un voisinage local autour du point o`u s’effectue l’interpolation. Les diff´erents coefficients changent donc `a chaque estimation ce qui conduit `a une tr`es grande r´ep´etition de calculs. Dans le cadre de la construction de surface de r´eponse, n_d reste relativement petit, il est alors possible de consi-d´erer un voisinage global, encore appel´e voisinage unique, pour lequel la matrice C reste fixe. Il n’est donc n´ecessaire de l’inverser qu’une seule fois et l’estimation en tout point se composera alors d’une simple multiplication matrice-vecteur.

2.3.2 Formalisme dual

Le formalisme dual est une r´e-´ecriture du syst`eme du krigeage particuli`erement utile dans le cadre d’un voisinage global. L’estimateur est alors exprim´e comme une combinaison des va-leurs de covariances au lieu des vava-leurs connues de la fonction `a estimer. L’id´ee principale est de constater que, dans le cas d’un voisinage global, le terme C<sup>−1</sup> z<sub>u</sub> est un vecteur, fixe et in-d´ependant de la position `a estimer. On peut donc r´e-´ecrire l’estimateur sous la forme suivante :

ˆ

(a) ρ = 0.01 (b) ρ = 0.1

(c) ρ = 1.0 (d) ρ = 10.0

Fig. 2.2 – Effet du terme de r´egularisation, ρ, sur la construction d’une surface de r´eponse `a l’aide de la m´ethode du krigeage. Les donn´ees proviennent du mod`ele IC-Fault pr´esent´e dans la section (2.6.2).

Ce formalisme, appel´e krigeage dual permet donc de r´eduire le probl`eme de l’estimation de la fonction par krigeage `a une multiplication vecteur-vecteur de taille n_d. En outre, pour calculer k, il n’est pas n´ecessaire de calculer explicitement C⁻¹, il suffit de r´esoudre le syst`eme lin´eaire suivant :

C k= z_u (2.8)

Ceci peut ˆetre r´ealis´e `a l’aide d’un solveur num´erique de syst`eme lin´eaire classique comme par exemple la biblioth`eque de calcul LASPACK-1.12.2 [Skalicky, 1996] utilis´ee dans cette ´etude. Cela permet donc une acc´el´eration notable des calculs. N´eanmoins, cette technique ne peut s’appliquer pour le calcul de la variance d’estimation. En effet, pour cela il est n´ecessaire soit de calculer explicitement C−1 soit de r´esoudre un syst`eme lin´eaire de la forme C b = c(x) `a chaque estimation (´equation (2.6)). Cependant, cette variance n’est pas n´ecessaire dans notre cas.

2.3.3 Terme de r´egularisation

(a) Variogramme gaussien (b) Variogramme exponentiel (c) Variogramme sph´erique

Fig. 2.3 – Comparaison de la construction d’une surface de r´eponse par krigeage avec un vario-gramme de type gaussien (a) exponentiel (b) ou sph´erique (c) mais de mˆeme port´ee. Les points noirs indiquent les points de donn´ees. Noter, en particulier, la forme non-lin´eaire de la surface, le respect strict des donn´ees et les changements dans la forme de la surface de r´eponse li´es aux variogrammes utilis´es. Les donn´ees proviennent du mod`ele IC-Fault pr´esent´e dans la section (2.6.2).

de relˆacher l’interpolation en introduisant un terme de r´egularisation qui consiste `a ajouter aux ´el´ements diagonaux de la matrice de covariance un poids constant positif ρ. Les poids du krigeage sont alors la solution du syst`eme suivant :

K λ(x) = c(x) avec K= C + ρ· Ind (2.9)

o`u I<sub>nd</sub> est une matrice identit´e de dimension (n<sub>d</sub>× nd). Il est ´evident que si ρ = 0, alors K = C, et on retrouve le syst`eme du krigeage pr´ec´edent, tandis que si ρ→ +∞, on obtient :

K≃ ρ · Ir d’o`u λ(x) = ¹

ρ ^{c(x) et z(x)ˆ} − mzx≃ 0 ≃ 0 (2.10) L’utilisation d’un terme de r´egularisation, ρ, provient de l’approche “splines de type plaque mince” et repr´esente une rigidit´e dans la plaque. Le r´esultat obtenu capture alors les tendances g´en´erales sans n´ecessairement passer par les points de donn´ees (figure 2.2) : il est donc possible par ce moyen de tenir compte de donn´ees bruit´ees. Cette approche est semblable sur certains points `a l’introduction d’un effet de p´epite dans le variogramme ou `a l’utilisation du krigeage filtrant [Ma et Royer, 1988]. Une comparaison de ces approches permettrait de juger leurs avan-tages et inconv´enients respectifs.

2.3.4 Remarques finales

En r´esum´e, l’approche bas´ee sur la forme duale du krigeage et l’introduction d’un terme de r´egularisation est adapt´ee `a la construction de surfaces de r´eponse non-lin´eaires dans un espace de grande dimension et en pr´esence de donn´ees bruit´ees. De plus, le r´esultat obtenu est une fonction analytique dont l’estimation en un point quelconque du domaine d’´etude ne n´ecessite que le calcul d’un produit scalaire. Cependant, comme soulign´e pr´ec´edemment, cette approche

reste limit´ee par le choix du variogamme exp´erimental qui a un impact majeur sur l’estimation de la surface de r´eponse (figure 2.3) et qui est largement sous-contraint au vu des donn´ees disponibles.