Construction et analyse des surfaces de r´eponse

La figure (4.5) montre diff´erentes surfaces de r´eponse `a 100, 400 et 1000 jours construites suivant l’approche propos´ee. L’algorithme de construction est l’interpolation lisse discr`ete sur une grille r´eguli`ere en deux dimensions de 25×25 nœuds. La rugosit´e est contrainte en imposant un gradient constant avec un fitting factor de 1. Ces r´esultats illustrent la capacit´e de la m´ethode propos´ee `a (1) prendre en compte les courbures pr´esentes dans le mod`ele de la production moyenne, mais aussi `a (2) capturer la dispersion dans la production due aux param`etres de type stochastique. En effet, les points repr´esentant les simulations sont bien compris dans l’intervalle d´efini par la production moyenne plus ou moins trois fois son ´ecart type.

Parall`element, il est d’´etudier de mani`ere qualitative l’influence des diff´erents param`etres incertains. Les plus influents sur la production sont la proportion et la perm´eabilit´e des chenaux. Cependant, ils ´evoluent au cours du temps : `a 100 jours la perm´eabilit´e est plus influente que la proportion des chenaux et inversement `a 1000 jours. De plus, l’impact du param`etre stochastique semble constant tandis que les interactions entre param`etres semblent n´egligeables.

Analyse de sensibilit´e

Une analyse de sensibilit´e de la production vis-`a-vis des param`etres incertains a ´et´e effectu´ee aux diff´erents pas de temps entre 100 et 1000 jours. Les r´esultats sont expos´es figure (4.6). La proc´edure d’´echantillonnage est bas´ee sur le g´en´erateur de nombres pseudo al´eatoires de Sobol’ et comprend 10⁵ points d’´evaluation.

Ces r´esultats sont coh´erents avec les constatations effectu´ees d’apr`es la forme globale des sur-faces de r´eponse. En particulier, les param`etres les plus influents sont effectivement la proportion et la perm´eabilit´e des chenaux. On v´erifie aussi que l’influence de la proportion de chenaux aug-mente au cours du temps, tandis que celle de la perm´eabilit´e diminue et s’annule `a partir de 600 jours. Cela peut ˆetre logiquement li´e avec le pourcentage de volume drain´e dans le r´eser-voir : `a 100 jours, le volume drain´e est faible c’est donc la perm´eabilit´e qui influe, `a l’oppos´e, `a 1000 jours, tout le r´eservoir est drain´e, c’est donc la proportion (et le volume) des chenaux qui importe. Pour finir, le param`etre stochastique a bien un effet constant d’environ 15-18% tandis que les interactions avec les param`etres continus sont n´egligeables.

Inversion bay´esienne d’historique de production

Afin d’illustrer la technique de l’inversion bay´esienne, un mod`ele correspondant `a une pro-portion de faci`es chenal de 27% et `a une perm´eabilit´e de chenal de 550 mD est s´electionn´e comme r´ef´erence. Ce mod`ele est ensuite simul´e sur 500 jours pour g´en´erer un historique de production. La r´ealisation de faci`es a ´et´e s´electionn´ee de telle sorte que sa production soit ´eloign´ee de la production moyenne telle que pr´edite par les surfaces de r´eponse. L’objectif est d’obtenir un mod`ele au comportement l´eg`erement atypique bien qu’aussi probable que n’importe quel autre.

Fig.4.5 – Points de donn´ees (`a gauche) et surfaces de r´eponse interpol´ees `a l’aide de l’algorithme DSI (`a droite) correspondant `a la production cumul´ee en huile du r´eservoir apr`es 100, 400 et 1000 jours. Sur les diff´erentes figures, les deux param`etres incertains ont ´et´e mis `a l’´echelle entre 0 et 1 et la surface bleue repr´esente la production moyenne tandis que les surfaces roses repr´esentent la valeur moyenne plus ou moins trois fois l’´ecart type de la production.

Fig.4.6 – ´Evolution dans le temps de la sensibilit´e de la production cumul´ee en huile vis-`a-vis des param`etres incertains du mod`ele : perm´eabilit´e des chenaux (Perm), proportion du faci`es chenal (NTG) et configuration des chenaux (stochastic).

Fig.4.7 – ´Echantillonnage des mod`eles jug´es vraisemblables apr`es inversion bay´esienne dans le cas (a) o`u aucun terme de dispersion n’est pris en compte et (b) suivant l’approche propos´ee. La boule rouge indique le mod`ele de r´ef´erence.

Dans la suite, deux ´etudes d’inversion bay´esienne ont ´et´e men´ees en parall`ele. La premi`ere consid`ere, suivant une approche classique d´eterministe, qu’il n’y a pas de dispersion dans la production et ne prend en compte que les surfaces de r´eponse correspondant `a la production moyenne. La seconde est l’approche propos´ee pour tenir compte de l’effet dˆu aux changements de r´ealisation de faci`es. Pour chaque cas, les analyses suivantes ont ´et´e r´ealis´ees :

– l’estimation de la fonction de vraisemblance `a partir des surfaces de r´eponse et de l’histo-rique de production ;

– l’´echantillonnage de cette fonction `a l’aide de l’algorithme de M´etropolis ;

– l’estimation des histogrammes marginaux a posteriori des param`etres incertains de type continu : proportion et perm´eabilit´e du faci`es chenal ;

(a) Proportion de faci`es chenal

(b) Perm´eabilit´e des chenaux

Fig. 4.8 – Histogrammes correspondant `a la perm´eabilit´e et `a la proportion du faci`es chenal dans le r´eservoir. Pour ces deux param`etres incertains on trouve, en haut, l’histogramme a priori ; en bas `a gauche, l’histogramme a posteriori obtenu suivant l’approche classique d´eterministe ; en bas `a droite, l’histogramme a posteriori obtenu suivant l’approche propos´ee. La fl`eche rouge indique le mod`ele de r´ef´erence.

Fig. 4.9 – Histogrammes de la production cumul´ee en huile apr`es 700 jours. En haut, histo-gramme de la production a priori avant inversion bay´esienne ; en bas `a gauche, histohisto-gramme a posteriori obtenu suivant une approche d´eterministe ; en bas `a droite, histogramme a posteriori obtenu suivant l’approche propos´ee. Sur l’ensemble des figures, la fl`eche rouge indique la valeur de production `a 700 jours obtenues `a partir du mod`ele de r´ef´erence.

– l’estimation de l’histogramme a posteriori de la production `a 700 jours.

Les r´esultats correspondant aux deux derniers points sont montr´es figures (4.7) `a (4.9). Celles-ci illustrent, en particulier :

– comment, si l’on compare les histogrammes a priori et a posteriori, l’incertitude sur les param`etres incertains et sur la production est r´eduite par l’utilisation de l’inversion bay´e-sienne pour la prise en compte de l’historique de production ;

– mais surtout, l’impact majeur du param`etre incertain de type stochastique. En effet, dans le cas o`u celui-ci n’est pas pris en compte, le mod`ele de r´ef´erence ne fait pas partie des mod`eles jug´es vraisemblables, et, en outre, la valeur effective de la production `a 700 jours n’est pas non plus dans l’intervalle P10-P90, tel que pr´edit apr`es l’inversion bay´esienne.

4.3.3 Remarques finales

D’une mani`ere plus g´en´erale, cet exemple montre l’impact important sur la production que peuvent avoir un ou plusieurs param`etres de type stochastique. Il montre aussi la n´ecessit´e de tenir compte de ce type de param`etre pour caract´eriser pr´ecis´ement le comportement dyna-mique d’un r´eservoir. En effet, si l’analyse ne s’´etait concentr´ee que sur les histogrammes de la production cumul´ee en huile `a 1000 jours, par exemple, comme ceux expos´es figure (4.10), le param`etre stochastique aurait ´et´e jug´e n´egligeable. En effet, les histogrammes obtenus suivant

(a) Approche d´eterministe (b) Approche propos´ee

Fig. 4.10 – Histogrammes de la production cumul´ee en huile `a 1000 jours obtenus suivant (a) une approche d´eterministe classique et (b) suivant l’approche propos´ee. A noter, que bien que le param`etre stochastique soit pris en compte, la forme g´en´erale de l’histogramme et l’intervalle P₁₀− P90 sont similaires.

l’approche d´eterministe classique et suivant l’approche propos´ee sont semblables. Or l’indice de sensibilit´e de ce param`etre est sensiblement constant `a environ 15-18 %, de plus, s’il n’est pas pris en compte, l’inversion bay´esienne est incapable d’identifier comme vraisemblable le mod`ele de r´ef´erence.