R´esolution de l’´equation de pression

La r´esolution de l’´equation aux d´eriv´es partielles correspondant `a la pression est r´ealis´ee `a l’aide de la m´ethode des volumes finis. En effet, contrairement aux autres m´ethodes que sont les

Volume de contrôle Frontière du volume C1 C2 C0 nf Vecteur normal Centre d1 ^d2 (a) (b)

Fig. A.3 – (a) Repr´esentation g´eom´etrique (2D) d’un volume de contrˆole et (b) d´efinition des principaux termes intervenant dans le calcul de la transmissibilit´e entre deux volumes adjacents.

diff´erences finies et les ´el´ements finis, cette approche repose sur le strict respect de l’´equation de conservation de la masse sur un volume de contrˆole. Or ce respect est l’un des ´el´ements clefs lors d’une simulation d’´ecoulement. De plus, dans notre cas, les volumes de contrˆole sont les cellules mˆemes de la grille, il n’est donc pas n´ecessaire de les calculer.

Principe Consid´erons un volume de contrˆole donn´e Ω de fronti`ere ∂Ω. Tout d’abord, il est n´ecessaire de r´e´ecrire l’´equation de pression sur la fronti`ere du volume en appliquant le th´eor`eme de Gauss-Ostrogradsky (encore appel´e th´eor`eme de la divergence). L’´equation (A.1) devient

alors : _Z

∂Ω

u_t(ζ).n(ζ) dζ =−qs (A.9)

o`u, u<sub>t</sub>(ζ) repr´esente la vitesse de Darcy ´evalu´ee sur ∂Ω tandis que n est la normale sortante `a la fronti`ere, ∂Ω.

Discr´etisation Consid´erons maintenant un volume de contrˆole discret, sa fronti`ere est divis´ee en n<sub>f</sub> facettes dont l’aire et la normale sortante sont not´ees, respectivement, a<sub>f</sub> et n<sub>f</sub> (figure (A.3)). L’´equation (A.9) peut alors ˆetre approch´ee par la forme discr`ete suivante :

nf

X

i=1

(a_f u_t,f.n_f) =−qs (A.10)

L’estimation du terme u_t,f repr´esentant la vitesse de Darcy entre deux cellules s’effectue alors `a l’aide d’un sch´ema de type diff´erences finies sur deux points. Ainsi, soit deux cellules adjacentes, not´ees C₁ et C₂, il vient :

~u_t,C1→C2 = T_C1→C2 λ_t,C1→C2 (P₂− P1) + λ_g,C1→C2 (D₂− D1) (A.11) o`u, T_C1→C2 est la transmissibilit´e de C₁ vers C₂. Ce terme d´epend des perm´eabilit´es de chaque

cellule et le centre de l’interface. La transmissibilit´e T_C1→C2 est alors calcul´ee telle que :

T_C1→C2 = ^k1/d1× k2/d₂

k₁/d₁+ k₂/d₂ ^(A.12)

Pour finir, λ_t,C1→C2 et λ_g,C1→C2 repr´esentent les mobilit´es, respectivement, totales et gravitaires. Dans le cas g´en´eral, pour des raisons de stabilit´e num´erique, ces termes sont ´evalu´es dans la cellule en amont de l’´ecoulement (ou cellule “up-wind”). Cela n´ecessite de connaˆıtre le sens de l’´ecoulement ant´erieurement au calcul or dans notre cas ce n’est pas possible. Aussi un sch´ema centr´e a ´et´e pr´ef´er´e :

λ_t,C1→C2 = ^d1λt,C1+ d₂λ_t,C2

d₁+ d₂ ^{et λg,C}1→C2 = ^d1λg,C1+ d₂λ_g,C2

d₁+ d₂ ^(A.13)

Conditions aux limites

La r´esolution d’un probl`eme comprenant des ´equations aux d´eriv´ees partielles tel que le calcul du champ de pression, n´ecessite de connaˆıtre l’´equation `a r´esoudre elle-mˆeme, mais aussi les conditions appliqu´ees aux limites du domaine d’´etude. Dans notre cas, celles-ci sont d´efinies aux puits et sur le bord ext´erieur du mod`ele discret.

Mod`ele de puits L’approche envisag´ee pour repr´esenter les relations entre un puits et le milieu poreux est le mod`ele de Peaceman [Peaceman, 1983]. Celui-ci est relativement simple compar´e `a ceux propos´es par les simulateurs de type conventionnel et n’est applicable qu’aux puits verticaux. Toutefois, il est `a la fois facile `a mettre en place et `a contrˆoler. Consid´erons un puits vertical traversant nl cellules, le d´ebit total du puits, qs est ´egal `a :

q_s=

nl

X

k=1

T_k^w (P_k^w− Pk) (A.14)

o`u, P<sub>k</sub><sup>w</sup> est la pression fluide `a l’int´erieur du puits, P_k, la pression dans la cellule travers´ee et T_k^w la transmissibilit´e entre le puits et le milieu poreux d´efinie telle que :

T_k^w = ^2πh ln^ro,k

rw,k + s_k^{λt,k (A.15)}

o`u, s<sub>k</sub>est le facteur de “skin”, qui repr´esente l’´etat du r´eservoir `a proximit´e imm´ediate du puits, celui-ci pouvant ˆetre colmat´e ou fractur´e lors du forage, h, la hauteur de la cellule consid´er´ee, r_w,k le rayon du puits et, enfin, r_o,k le rayon de Peaceman [Peaceman, 1983] ´evalu´e en fonction de la forme de la cellule travers´ee.

Dans le cas o`u un puits traverse plusieurs cellules, la pression P<sub>k</sub><sup>w</sup> dans une cellule donn´ee doit ˆetre reli´ee `a la pression de la premi`ere cellule de la zone de compl´etion, P<sub>k</sub><sup>w</sup>∗, en appliquant un gradient dˆu `a la gravit´e : P_k^w = P_k^w∗+¹ 2 k X i=k∗+1 (^λt,i−1 λ_g,i−1 ⁺ λt,i

Bord ext´erieur L’´ecoulement sur le bord ext´erieur du r´eservoir est suppos´e nul. Cette condi-tion est relativement simpliste car elle suppose que les bords du r´eservoir sont ´etanches ce qui est rarement le cas. Il eut ´et´e pr´ef´erable de consid´erer la pr´esence d’aquif`eres `a l’aide de mod`eles analytiques.

R´esolution num´erique du syst`eme lin´eaire

La m´ethode de discr´etisation transforme, en chaque nœud du maillage, l’EDP en une ´equation alg´ebrique (´equations (A.9) `a (A.13)) faisant intervenir la valeur, inconnue, de la pression au nœud et celle de certains de ses voisins. Exprim´e sur l’ensemble du maillage, ce processus conduit `a un syst`eme lin´eaire qu’il faut r´esoudre en fonction de l’´etat initial et des conditions aux limites (´equations (A.14) `a (A.16)). Ce syst`eme s’´ecrit sous la forme matricielle suivante :

T p= b (A.17)

o`u

1. T est une matrice contenant les transmissibilit´es, que ce soit entre cellules voisines ou entre les cellules travers´ees par un puits et celui-ci. Dans le cadre de la formulation IMPES, cette matrice est carr´e, sym´etrique, d´efinie positive et a pour taille le nombre de cellules de la grille plus le nombre de puits ouverts et contrˆol´es en d´ebit ;

2. p est un vecteur contenant les pressions inconnues, c’est-`a-dire celles dans toutes les cellules de la grille ainsi que celles des puits contrˆol´es en d´ebit ;

3. enfin, b est un vecteur contenant les termes dus `a la gravit´e et les conditions impos´ees aux puits (qu’ils soient contrˆol´es en d´ebit ou en pression) et aux fronti`eres du r´eservoir. L’´equation (A.17) repr´esente donc un syst`eme matriciel de tr`es grande taille. Le choix, le d´etail et l’implantation de la m´ethode de r´esolution de ce syst`eme est au del`a de la port´ee de ce travail. Dans ce manuscrit, les r´esultats pr´esent´es (par exemple, figure (A.9)) ont ´et´e obtenus `a l’aide d’un gradient conjugu´e avec un pr´econditionnement de type SSOR. Tous deux sont inclus dans la librairie d´edi´ee au calcul matriciel LASPACK-1.12.2 [Skalicky, 1996]. Pour plus de d´etails sur ces m´ethodes, le lecteur est invit´e `a consulter l’abondante litt´erature sur le sujet, en particulier Barret et al. [1994] et Press et al. [2002].

Calcul du champ de vitesse

Le calcul de la vitesse totale de Darcy pour chacune des faces de cellule est ensuite r´ealis´e explicitement `a partir des valeurs de pression et `a l’aide des ´equations (A.11) `a (A.13). Cette vitesse est alors divis´ee par la porosit´e pour obtenir la vitesse intersticielle des particules fluides n´ecessaire au calcul des lignes de courant.

Fig.A.4 – Mod`ele synth´etique de r´eservoir. En haut : champ de perm´eabilit´e (les valeurs varient de 0.005 mD `a 500 mD) et configuration des puits : un injecteur au centre et quatre producteurs aux extr´emit´es du mod`ele. En bas : champ de pression calcul´e avec la m´ethode des volumes finis. Les conditions aux limites sont : aucun flux aux fronti`eres du mod`ele et des puits contrˆol´es en pression `a 4000 psi pour l’injecteur et 10000 psi pour les producteurs.

Validit´e du champ de pression

L’une des id´ees fondamentales de la technique de simulation sur lignes de courant est de supposer que le champ de pression, et donc la g´eom´etrie des lignes de courant, reste constant et valide sur de grands pas de temps. Les conditions qui requi`erent une nouvelle estimation de la pression sont : (1) un changement du type de contrˆole des puits ou (2) une modification du profil de saturation affectant de fa¸con non-n´egligeable la pression. L’estimation de cette derni`ere condition se base sur un bilan global de la production du r´eservoir. Le pas de temps, ∆tp, de validit´e du champ de pression est calcul´e tel que :

∆t_p = ^{P V DP Vmax}

max(Q_inj, Q_prod) ^(A.18)

o`u, P V repr´esente le volume poreux total du r´eservoir, DP V_max est un facteur de contrˆole compris entre 0 et 1 repr´esentant le ratio entre la quantit´e maximale de fluides inject´ee ou produite et le volume poreux durant le pas de temps et Q_inj et Q_prod sont les d´ebits en fluide, respectivement, inject´es et produits sur l’ensemble du champ.