Chapitre 5 M´ ethode pour le lissage d’histogramme 105
5.3 Analyse de la sensibilit´e de la m´ethode ` a ses diff´erents param`etres
Il est particuli`erement difficile de juger de valider les lois de densit´e de probabilit´e obtenues et ce quelque soit l’approche utilis´ee. Il n’existe pas d’indicateur simple et quantifiable qui pourrait
(a) Donn´ees initiales (b) Diagramme de fr´equence liss´e
Fig.5.7 – Exemple de lissage de loi de densit´e bivari´ee de mesures de porosit´e et de perm´eabilit´e : (a) donn´ees initiales compos´ee de 720 points de calibration (b) r´esultat du lissage suivant la m´ethodologie propos´ee sans contrainte statistique globale sp´ecifique.
servir de base `a une comparaison. Dans ces travaux, les crit`eres envisag´es sont essentiellement qualitatifs et visuels. Dans le d´etail, nous nous sommes int´eress´es `a v´erifier que le r´esultat (1) font apparaˆıtre les structures d´ej`a pr´esentes dans les donn´es (en particulier l’existence de deux populations et la forme incurv´ee de la loi de densit´e), (2) est globalement lisse et (3) ne contient pas d’artefact ou de fluctuation erratique. En outre nous avons ´evaluer la robustesse du calcul ainsi que le temps d’ex´ecution.
Diff´erents facteurs interviennent dans la proc´edure de lissage et peuvent influer sur les r´esul-tats. On distingue, notamment :
– le nombre de points de donn´ees disponibles ;
– le nombre de diagrammes de fr´equence marginaux envisag´es comme contrainte lors de l’interpolation ;
– le nombre de classes ou de bins pour chacun de ces diagrammes ;
– la proc´edure de lissage des diagrammes univari´es interm´ediaires employ´es pour contraindre l’interpolation finale.
Afin d’´etudier leurs impacts respectifs sur la m´ethode de lissage, la proc´edure d´ecrite pr´ec´edem-ment est r´eemploy´ee avec diff´erentes valeurs pour le param`etre ´etudi´e :
– La figure (5.8) illustre les r´esultats obtenus `a partir de jeux de donn´ees de taille de plus en plus r´eduite (720, 200, 100 et 50 points de calibration) et g´en´er´es par ´echantillonnage al´eatoire des donn´ees initiales. Les diff´erents diagrammes de fr´equence liss´es font appa-raˆıtre globalement la mˆeme structure et les mˆemes deux sous populations pour d’une part des valeurs faibles de porosit´e/perm´eabilit´e et d’autre part des valeurs ´elev´ees. Ces r´esultats sont pleinement satisfaisants et semblent indiquer que l’approche propos´ee est suffisamment robuste pour prendre en compte des jeux de donn´ees de taille r´eduite.
(a) Donn´ees initiales (720 points)
(b) 200 points
(c) 100 points
(d) 50 points
Fig.5.8 – Influence du nombre de points de donn´ees disponibles sur la proc´edure de lissage. Les ensembles de 200, 100 et 50 points ont ´et´e obtenus par ´echantillonnage al´eatoire des donn´ees initiales.
(a) 48 diagrammes (b) 24 diagrammes
(c) 12 diagrammes (d) 6 diagrammes
Fig.5.9 – Influence du nombre de diagrammes marginaux consid´er´es comme contraintes lors de la proc´edure de lissage.
(a) 15 classes par diagramme (b) 60 classes par diagramme
(c) 100 classes par diagramme (d) 200 classes par diagramme
Fig. 5.10 – Influence du nombre de classes des diff´erents diagrammes marginaux consid´er´es comme contraintes lors de la proc´edure de lissage.
(a) Pas de lissage (b) Recuit simul´e
(c) Interpolation lisse discr`ete (d) Fonction noyau (Epanechnikov)
Fig. 5.11 – Influence d’une proc´edure de lissage interm´ediaire des diagrammes de fr´equence marginaux. Les m´ethode envisag´ees sont : le recuit simul´e [Deutsch, 1996], l’interpolation lisse discr`ete suivant la proc´edure pr´esent´ee pr´ec´edemment mais sur un diagramme univari´e et l’uti-lisation de la fonction noyau d’Epanechnikov telle que propos´ee dans Mallet et Sthuka [2000].
– La figure (5.9) montre l’impact du changement du nombre de diagrammes marginaux pris en compte comme contrainte lors de l’interpolation. L`a encore, les r´esultats sont coh´erents et montrent les principales structures pr´esentes dans les donn´ees. On note cependant une perte d’informations sur les variations de fr´equence de faible amplitude ainsi que l’appari-tion d’artefacts dus `a l’interpolation.
– La figure (5.10) s’int´eresse `a l’influence du nombre de classes envisag´ees lors de la construc-tion des diagrammes marginaux. Il apparaˆıt, comme attendu, que plus ce nombre est im-portant plus le r´esultat final est pr´ecis et repr´esentatif de la population ´etudi´ee. Cependant `a partir d’un certain niveau, ici 200 classes, celui-ci pr´esente un certains nombre d’artefacts. Deux explications sont possibles : (1) les donn´ees ne sont pas suffisantes pour construire des diagrammes marginaux repr´esentatifs de la population ´etudi´ee (ils pr´esentent alors un certain nombre de fluctuations erratiques) et, (2) lors de la mise en place des contraintes, certaines classes ne sont plus associ´ees `a des nœuds de la grille et ne sont simplement pas prises en compte lors le l’interpolation.
– La figure (5.11) expose les loi de densit´e obtenues avec diff´erentes proc´edures de lissage interm´ediaires de diagrammes marginaux. Ce choix de mod´elisation a un impact fort sur le r´esultat et doit ˆetre ´evalu´e avec soin. Dans le d´etail, on constate que (1) l’utilisation d’une ´etape de lissage permet d’´eliminer un certain nombre de fluctuations dans la solution
Fig. 5.12 – Champ de porosit´e obtenu `a partir d’une simulation gaussienne s´equentielle bas´ee sur un variogramme de type gaussien : (a) vue d’ensemble et (b) section k=24.
finale et (2) que parmi les m´ethodes employ´ees, la fonction noyau semble pr´esenter les plus mauvais r´esultats (en particulier on note la pr´esence d’artefacts non repr´esentatifs de la population ´etudi´ee dans le r´esultat final).