Contraintes pour l’interpolation lisse discr`ete

Dans le cadre de l’interpolation lisse discr`ete, l’introduction d’une donn´ee secondaire passe par la d´efinition de contraintes sur les d´eriv´ees premi`eres (le gradient) et secondes de la fonction `a interpoler. Ces contraintes sont d´etaill´ees dans les sections suivantes, o`u la fonction `a interpoler sera not´ee classiquement ϕ, tandis que celle des donn´ees secondaires sera not´ee ψ.

Contraintes sur le gradient

D’une fa¸con g´en´erale, deux gradients sont consid´er´es similaires s’ils sont colin´eaires, orient´es dans la mˆeme direction et de normes identiques. Les deux premi`eres caract´eristiques reviennent `a sp´ecifier que les deux gradients en un nœud α donn´e, not´es gradϕ(α) et gradψ(α) ont, respectivement :

– un produit vectoriel nul :

gradϕ(α)× gradψ(α) = 0 (3.1)

– et un produit scalaire positif ou nul :

Ces ´equations peuvent ˆetre lin´earis´ees et traduites sous forme d’un ensemble de n contraintes d’´egalit´e et d’une contrainte d’in´egalit´e. Ces contraintes sont appel´ees respectivement contrainte de gradient parall`ele et contrainte de direction du gradient et sont d´ecrites en d´etails dans Labat [2004]; Fetel [2005] et Kedzierski et al. [2005]. `A l’oppos´e, l’´egalit´e des normes ne peut pas ˆetre lin´earis´ee, il n’est donc pas possible de l’´ecrire sous la forme d’une contrainte DSI.

Ainsi s’il est toujours possible d’utiliser le gradient pour contraindre la surface de r´eponse correspondant `a la variable primaire par celle de la variable secondaire, deux probl`emes se posent n´eanmoins : (1) l’utilisation de contrainte d’in´egalit´e qui r´eduit l’efficacit´e des calculs et surtout (2) l’impossibilit´e de sp´ecifier la norme du gradient qui empˆeche tout transfert d’information quantitative.

Contraintes sur la d´eriv´ee seconde

Le calcul et l’analyse de la d´eriv´ee seconde d’une fonction permet de d´ecrire globalement sa forme, c’est-`a-dire les zones concaves et convexes. Dans le cadre pr´esent, cette d´eriv´ee peut ˆetre consid´er´ee suivant deux approches possibles : il s’agit soit de sp´ecifier que les deux surfaces ont des d´eriv´ees secondes de mˆeme signe ce qui permet d’indiquer les mˆemes zones concaves et convexes, soit qu’elles sont ´egales, ce qui permet de contraindre l’amplitude de la d´eriv´ee en plus de son signe.

Notations Afin de simplifier l’estimation de la d´eriv´ee seconde d’une surface de r´eponse donn´ee par rapport aux param`etre incertains, nous avons choisi de consid´erer les n diff´erentes directions de l’espace ind´ependamment. En outre, consid´erant que le mod`ele discret support de l’interpola-tion est une grille structur´ee r´eguli`ere, il est possible d’approcher chacune des n d´eriv´ees par un sch´ema de discr´etisation de type centr´e. Ainsi, soit un nœud donn´e α, alors la d´eriv´ee seconde, not´ee sϕ,i(α), de la fonction ϕ (respectivement ψ) dans la direction xi,∀i ∈ [1, . . . , n], vaut :

∂²ϕ ∂x2 i = s_ϕ,i(α)≃ ¹ (∆u_i)² 2ϕ(α) − ϕ(α⁺_xi) + ϕ(α⁻_xi)
 (3.3)

o`u, pour la direction x_i consid´er´ee, ∆u_i repr´esente la taille du maillage tandis que α+ xi et α−

xi

sont respectivement les voisins `a droite et `a gauche du nœud α. Cette approximation peut ˆetre r´ealis´ee dans l’ensemble du mod`ele sauf au niveau des fronti`eres o`u aucune contrainte n’est alors consid´er´ee. Id´ealement, il serait aussi n´ecessaire d’utiliser les termes crois´es de la d´eriv´ee seconde, c’est-`a-dire de la forme :

∂²ϕ

∂x_i∂x_j ^(3.4)

o`u x<sub>i</sub>et x<sub>j</sub> sont deux directions distinctes de l’espace. Cependant, le nombre de termes de ce type croˆıt de fa¸con exponentielle avec la dimension de l’espace ce qui nuit `a l’efficacit´e des calculs.

Contrainte sur le signe de la d´eriv´ee seconde Comme d´ecrit pr´ec´edemment, le signe de la d´eriv´ee seconde permet de renseigner sur les zones concaves et convexes de la fonction `a prendre

en compte. Pour cela, il suffit de sp´ecifier une contrainte d’in´egalit´e indiquant que le produit des deux d´eriv´ees dans la direction xi,∀i ∈ [1, . . . , n] choisie, est positif ou nul. Il vient alors :

s_ϕ,i(α)· sψ,i(α)≥ 0 ⇔ ^X β∈Ω A_c(β)· ϕ(β) ≥ bc, ∀i ∈ [1, . . . , n] (3.5) avec          A_c(β) = s_ψ,i(α) si β = α A_c(β) = −¹₂s_ψ,i(α) si β = α+ xi or α− xi A_c(β) = 0 sinon b_c = 0 (3.6)

Contrainte de d´eriv´ee seconde Cette contrainte sp´ecifie l’´egalit´e des d´eriv´ees des surfaces de r´eponse primaire (que l’on cherche `a interpoler) et secondaire. Elle est plus g´en´erale que la pr´ec´edente : celle-ci cherche `a imposer non seulement le signe de la d´eriv´ee mais aussi son amplitude. Consid´erons une direction de l’espace donn´ee x_i,∀i ∈ [1, . . . , n], cette relation peut s’´ecrire suivant le formalisme des contraintes DSI comme :

s_ϕ,i(α)≃ sψ,i(α) ⇔ ^X β∈Ω A_c(β)ϕ(β)≃ bc, ∀i ∈ [1, . . . , n] (3.7) avec          A_c(β) = 1 si β = α A_c(β) = −¹₂ si β = α+ xi or α− xi Ac(β) = 0 sinon b_c = s_ψ,i(α) (3.8) ´

Egalement, il est important de noter que les r´esultats de simulations conventionnelles et alterna-tives sont rarement exprim´es dans les mˆemes unit´es. Cela peut biaiser l’estimation des d´eriv´ees secondes, ainsi il est pr´ef´erable de proc´eder `a une ´etape de normalisation avant l’imposition des contraintes soit en centrant et r´eduisant les diff´erentes variables, ou bien en les mettant `a l’´echelle entre 0 et 1.

Exemple analytique

Afin d’illustrer l’approche propos´ee, le mod`ele analytique `a deux param`etres (x et y) suivant est consid´er´e : F (x, y) = 4x⁴−²¹ 10^x 4+¹ 3^x 6+ xy + 4y²+ 4y⁴ (3.9)

Ce mod`ele propos´e dans Scheidt et Zabalza-Mezghani [2004] est d’int´erˆet ici pour sa forme hautement non lin´eaire qui est difficilement captur´ee par une planification d’exp´erience classique `a deux ou trois niveaux. Dans la suite :

– les donn´ees primaires sont issues d’une planification d’exp´erience de type composite central, soit un total de 9 points ;

(a) Fonction F(x, y) (´equation (3.9))

(b) Interpolation lisse discr`ete en ne prenant en compte que les points de donn´ee primaire

(c) Interpolation lisse discr`ete avec contrainte de d´e-riv´ee seconde

Fig. 3.3 – Exemple analytique d’application de l’interpolation lisse discr`ete en pr´esence de donn´ees secondaires.

Ainsi, le r´esultat de l’interpolation devrait ˆetre lui aussi, in fine, ´egal `a cette fonction.

La figure (3.3) montre les r´esultats obtenus par l’interpolation lisse discr`ete en tenant compte d’une contrainte sur la d´eriv´ee seconde, l’exp´erience ayant montr´e que les autres types de contraintes ne sont pas appropri´es. Ces r´esultats illustrent l’int´erˆet de l’apport d’une donn´ee secondaire dans la construction. Les surfaces obtenues respectent les donn´ees primaires, mais en plus poss`edent la forme de la surface de r´eponse correspondant `a la variable secondaire. On peut cependant noter que par endroit les r´esultats de l’interpolation ne sont pas enti`erement satisfaisants, en particulier loin des donn´ees primaires. Cela semblerait ˆetre dˆu `a la contrainte de gradient constant qui est impos´ee comme contrainte de rugosit´e.