Stratégies d’optimisation

Les stratégies d’optimisation ont généralement pour but l’accélération du temps de calcul. Pour atteindre ce but, certaines stratégies utilisent la possibilité d’exploiter 2 modèles d’un même dispositif. Un modèle fin, précis, mais long en temps de calcul, est remplacé par un modèle grossier rapide, mais moins précis. On parle alors de multi-granularité. Le modèle rapide peut être un modèle physique ou un modèle type surface de réponse. D’autres stratégies interviennent au niveau de l’expression du modèle notamment dans les modèles multi disciplinaires où des boucles algébriques entre les modèles peuvent pénaliser les temps de résolution.

3.1.3.1 Surfaces de réponses

Un modèle de substitution est construit à partir d’un plan d’expérience réalisé sur le modèle fin et avec un modèle d’interpolation. Le plan d’expériences permet de définir un nombre fini d’échantillons qui serviront de point support au modèle d’interpolation. Le modèle fin sera sollicité pour évaluer la fonction pour chaque échantillon. Le nombre d’échantillons et leur position influent sur la précision de la surface de réponses. Lorsque la dimension du problème est importante, une technique de screening peut être utilisée pour rechercher les facteurs les plus influents parmi un nombre important de facteurs [VIVI02]. D’autres techniques existent pour connaitre l’influence des facteurs comme les indices de sensibilité de Sobol ou le coefficient de corrélations de Pearson [MAGM07]. Les modèles de surfaces de réponses sont fréquemment des modèles polynomiaux du premier ou second ordre. Mais d’autres modèles existent comme les fonctions radiales de base (Radial Basis Function ou RBF en anglais) ou les modèles de Krigeage qui sont connus pour être très performants [JICS01].

La Figure 3.3 présente les trois types d’interpolation cités sur un exemple avec les mêmes points supports. On observe que la forme de la fonction interpolée varie fortement en fonction du modèle d’interpolation, avec une erreur qui augmente rapidement aux extrémités du domaine. Toutes ces méthodes d’interpolation sont bien adaptées pour gérer les variables continues, mais permettent difficilement de gérer les variables combinatoires.

Figure 3.3 : Trois interpolations différentes avec la même fonction et les mêmes points supports [GILL09]

Grâce à ces modèles de substitution, il devient possible de résoudre des problèmes d’optimisation de dispositifs nécessitant des modèles lourds en temps de calcul en remplacent le modèle lourd par le modèle de substitution sur lequel l’algorithme d’optimisation pourra être exécuté, on effectue ainsi les actions de la Figure 3.4:

Figure 3.4 : Schéma générique d’une stratégie d’optimisation sur surface de réponse [BERB12] Par ailleurs, des stratégies permettent de se limiter à de petits plans d’expérience pour commencer, puis d’ajouter des points autour de la position supposée de l’optimum afin d’améliorer la qualité de la surface de réponse. On peut citer par exemple des stratégies de glissement, de zoom,

3.1 Méthodes et stratégies d’optimisation 97

ou encore la stratégie Efficient Global Optimisation (EGO) qui mixte la recherche d’un optimum précis et l’exploration du domaine dans la sélection des nouveaux points à rajouter [SCWJ98].

Dans le cadre de ce travail, nous utiliserons l’apprentissage automatique (machine learning) afin de former l’équivalent d’une surface de réponses, pour pouvoir gérer à la fois les variables continues et discrètes. C’est une stratégie très utilisée dans des domaines comme la robotique ou la reconnaissance d’image qui vise à apprendre les caractéristiques d’une population pour en reconnaitre certains schémas [SEBA01]. La stratégie sera détaillée à la section 3.6.2.

3.1.3.2 Stratégies multigranularités

Lorsque le concepteur dispose de plusieurs granularités différentes d’un même modèle, il est possible d’exploiter des stratégies multigranularités pour accélérer les temps de calcul. Les niveaux de granularité peuvent être par exemple des modèles numériques et analytiques, ou encore différents niveaux de finesse dans le maillage d’un modèle numérique [AGBG12]. Ces modèles seront exploités avec des stratégies de space mapping [BABA01] qui permettront de corriger le modèle grossier par quelques appels au modèle fin. L’algorithme d’optimisation est systématiquement lancé sur le modèle grossier. La façon d’appliquer la correction donne lieu à différentes méthodes, par exemple le manifold mapping (MM) ou le Output Space Mapping (OSM). Le principe de cette méthode est représenté sur la Figure 3.5 où le bloc « S » représente la fonction de correction :

Figure 3.5 : Schéma de principe de l’OSM [PIER14]

Dans le cadre de ce travail, nous disposons pour la machine électrique d’un modèle analytique et éléments finis. Ces deux modèles nous permettront d’exploiter une stratégie multigranularité. Nous avons choisi la stratégie OSM pour corriger notre modèle analytique. Ce travail est développé au paragraphe 3.7.

3.1.3.3 Optimisations multidisciplinaires

L’optimisation multi disciplinaires, Multidisciplinary design optimization (MDO) est une stratégie de décomposition des modèles en fonction des disciplines, des physiques ou des composants. On parlera de stratégie mono-niveau lorsqu’il n’y a qu’une boucle d’optimisation pour gérer les disciplines et leurs connexions. On parlera de stratégie multiniveau lorsqu’il y a plusieurs boucles d’optimisation qui échangent des variables ou contraintes entre elles.

 Stratégies mononiveau

Dans la littérature, on distingue trois stratégies en fonction des choix de couplages entre les disciplines : MultiDisciplinary Feasible (MDF), Individual Discipline Feasible (IDF), et All-At-Once (AAO) [BERB12].

La stratégie MDF est la façon de faire classique. Pour chaque itération de l’optimisation, la compatibilité entre les disciplines est vérifiée par le modèle, par exemple avec une méthode de points fixes.

La formulation IDF peut permettre de réduire le temps de calcul du modèle avec un couplage entre les différentes disciplines gérées par le processus d’optimisation. C’est donc simplement à la fin de l’optimisation que la consistance du modèle est obtenue à condition que l’algorithme ait bien convergé. Pour ce faire, la stratégie rajoute des variables et contraintes de couplage entre disciplines. Cela permet également de paralléliser le calcul de chaque discipline puisqu’elles ne dépendent plus les unes des autres.

La formulation AAO est très proche d’IDF. Une variable de contrôle et une sortie sous forme de résidu doivent être ajoutées aux disciplines ce qui nécessite de pouvoir modifier ces modèles, ce qui n’est pas toujours possible lorsque les modèles sont sous forme de boite noire.

a) Stratégie MDF b) Stratégie IDF Figure 3.6 : Structure de deux stratégies mononiveau [GILL09]

Pour MDF, la Figure 3.6 montre le bouclage entre les sous modèles A1 et A2, alors que pour IDF la consistance du modèle est assurée par l’ajout des variables (y*) et contraintes (y*-y=0) à l’optimisation. Dans le cadre de ce travail, la stratégie IDF sera testée sur l’intégration du modèle thermique de la machine électrique au paragraphe 3.4.

3.1 Méthodes et stratégies d’optimisation 99

 Stratégies multiniveaux

Pour la conception d’un dispositif complexe, il peut être intéressant de décomposer le problème d’optimisation pour obtenir un problème plus abordable. Mais cette décomposition ne doit pas faire perdre les interactions entre les éléments qui sont rarement indépendantes les unes des autres. Des stratégies de conception multiniveaux ont été développées dans ce but comme le Collaborative Optimization (CO) [BRKR95], le Bi-Level Integrated System Synthesis (BLISS) [SOAS98], ou le Analytical Target Cascading (ATC) [MIKP99]. La stratégie ATC consiste à optimiser chaque système ou sous-système séparément en y ajoutant des variables et contraintes qui permettront la cohérence globale de la stratégie d’optimisation.

Figure 3.7 : Décomposition hiérarchique liée à une méthode ATC [GILL09]

La Figure 3.7 représente un schéma général d’une stratégie ATC à 3 niveaux de décompositions faisant apparaitre les variables d’échanges entre les processus d’optimisation. Séparer l’optimisation de chaque sous-système est intéressant lorsque leurs résolutions simultanées sont impossibles :

- La résolution complète est impossible parce que les algorithmes utilisés pour l’optimisation de chaque sous-système sont différents par exemple ;

- Les sous-systèmes sont développés par différentes entités qui ne souhaitent pas partager leurs modèles ou leurs méthodes d’optimisation.

Pour le cas de notre chaine de traction, le modèle système analytique rapide ne justifie pas d’effectuer une décomposition de type ATC qui risquerait de dégrader les temps de calcul en rallongeant la convergence de chaque sous-système. Par contre, l’intégration du contrôle a fait l’objet d’une étude mono et bi-niveau. Il s’agira de comparer des stratégies avec une boucle d’optimisation imbriquée ou non. Ce travail est présenté au paragraphe 3.3.4.