Prises en compte de contraintes physiques supplémentaires

supplémentaires

L’intégration de certaines contraintes nécessite l’utilisation de modèle plus lourd. C’est le cas par exemple des calculs de bruit et des à-coups de couples, provoqués principalement par la machine électrique à cause de forces magnétomotrices non sinusoïdales. On parle alors d’oscillations de couple pour la machine. Notre modèle magnétique limité au 1er harmonique ne permet pas de simuler ces phénomènes. Des modèles semi-analytiques ou numériques sont donc utilisés [BESN08][FAKA14]. La topologie des machines (nombres d’encoches et de pôles) a une grande influence sur ces contraintes. Même si un bon choix de topologie ne garantit pas que les contraintes de bruit ou d’oscillations seront respectées, il permet de limiter les risques. Dans le cas d’un pré dimensionnement rapide, la solution la plus courante consiste donc à repartir de topologies préalablement étudiées et reconnues pour être parmi les meilleurs [LISO04]. Pour ce travail, nous avons cherché à intégrer ces contraintes en libérant l’espace des possibilités, sans nous restreindre à quelques topologies. Le modèle éléments finis de la machine sera donc utilisé sans être intégré directement dans une boucle d’optimisation pour ne pas augmenter exagérément les temps de calcul. Il s’agira donc d’utiliser une technique multigranularitée qui apportera un complément au modèle analytique par des simulations éléments finis, et plus exactement de rajouter une contrainte (oscillation de couple ou de bruit), calculée par éléments finis, à l’optimisation analytique, tel que présenté sur la Figure 3.32.

3.6 Prises en compte de contraintes physiques supplémentaires 123

Bruits, oscillations

Stratégie pour intégrer des contraintes calculées uniquement par éléments finis

Optimisation sur modèle système Calculs éléments finis

Autonomie, coût

Figure 3.32 : Calculs d’éléments couteux en temps de calcul fait en dehors de l’optimisation système

3.6.1 Méthode avec une surface de réponse classique

Pour ajouter une contrainte calculée par éléments finis à l’optimisation analytique, l’idée naturelle est de faire une surface de réponse à partir de quelques simulations. Les surfaces de réponses sont obtenues à partir de modèles polynomiaux ou de Kriging qui reliront les points par une courbe continue comme dans la Figure 3.3 présentée dans l’état de l’art sur l’optimisation. Or l’influence de la topologie de la machine sur les contraintes étudiées est fortement discontinue.

Prenons comme exemple l’oscillation de couple calculée comme l’écart entre le maximum et le minimum de couple autour du couple moyen désiré, sur un point de fonctionnement considéré critique pour ce critère. La Figure 3.33 représente le ratio oscillation de couple sur le couple moyen en pourcentage en fonction du nombre d’encoches rotor Qr et de l’épaisseur d’entrefer 𝜀 normés entre 0 et 100 pour les 2 variables. Ces deux variables ont été choisies pour tester la méthode et fournir une représentation graphique. La figure a été obtenue en simulant une vingtaine de Qr et une dizaine de 𝜀.

Figure 3.33 : Variations de l’oscillation de couple en fonction des encoches rotor et de l’entrefer Cette figure confirme la difficulté de modéliser l’oscillation de couple par une surface, car elle est fortement discontinue. On peut remarquer que le pire cas est celui où Qr est égal au nombre d’encoches stator Qs. Même si cette configuration est connue comme étant absurde, elle montre bien l’interaction entre les grandeurs de la topologie des machines. En fixant une limite pour l’oscillation de couple, on obtient la Figure 3.34 (a) du respect de la contrainte en fonction de Qr et 𝜀. Si l’on essaye de reproduire cette cartographie par une interpolation sur un plan d’expérience de 25 points donné par une méthode de carré latin, l’erreur commise est très importante : 56 % d’erreur par rapport à la cartographie de référence (Figure 3.34 (b)).

a) Cartographie de référence b) Interpolation avec 25 points Figure 3.34 : Cartographies du respect de la contrainte d’oscillation de couple

Épaisseur d’entrefer normalisé

Nombre d’encoches rotor normalisé Oscillations de couple /

3.6 Prises en compte de contraintes physiques supplémentaires 125

3.6.2 Méthode avec de l’apprentissage automatique

Une solution est proposée avec les algorithmes d’apprentissage automatique [ARCG14]. Comme pour une surface de réponse, il s’agit de pouvoir estimer le comportement d’un modèle à partir d’un échantillon réduit de données. La différence principale est qu’en plus d’utiliser les points adjacents pour la prédiction, l’algorithme peut exploiter des relations complexes entre les paramètres par des méthodes de classement. Parmi les méthodes de classement existantes, celle des forêts aléatoires [GEGS07] a été retenue pour cette étude. Plutôt que de prédire une valeur d’oscillation de couple, la méthode cherchera à savoir si la contrainte est respectée en classant les points en deux catégories : contrainte respectée ou non. Pour chaque nouvelle géométrie testée, une probabilité de respecter la contrainte sera calculée à partir de l’apprentissage automatique et intégrée dans le modèle analytique. Une fois l’optimisation analytique terminée, la géométrie obtenue sera simulée par éléments finis et si la contrainte n’est pas respectée, car la fonction de probabilité n’était pas précise en ce point, ce dernier sera rajouté à la base des points utilisée par l’algorithme pour déterminer une nouvelle fonction de probabilité plus précise. Une passerelle entre le modèle analytique sous MATLAB® et le modèle éléments fini sous Maxwell® a été développée pour automatiser le processus [ARNO13]. La Figure 3.35 résume le déroulement des étapes pour intégrer l’apprentissage automatique.

Vérification du CdC Respect Cdc ? Non Oui Début du processus Fin du processus Détermination des

caractéristiques des points

Fonction de probabilité (Machine learning)

Optimisation sur modèle système

Calculs éléments finis Calculs éléments finis

Plan d’expérience

x1

x2

Figure 3.35 : Déroulement du processus d’intégration d’une contrainte par apprentissage automatique

L’algorithme des forêts aléatoires est basé sur la construction de plusieurs arbres de décisions. L’idée générale est de subdiviser les données initiales en sous-groupes à partir de critères prédéfinis

et d’établir la probabilité de respecter la contrainte pour chaque sous-groupe. Cette probabilité est calculée par le rapport entre le nombre de points qui respectent la contrainte sur le nombre de points total du sous-groupe. La notion d’entropie H en tant que mesure du désordre d’un échantillon est utilisée pour obtenir les meilleurs regroupements des données : si H = 0, l’ordre est maximum (tous les points du sous-groupe respectent ou ne respectent pas la contrainte) ; si H = 0.5, le désordre est maximum (la moitié des points respectent la contrainte). Le découpage en sous-groupes, aussi appelé populations, permet d’obtenir un arbre de décision tel que la Figure 3.36.

Figure 3.36 : Principe d’un arbre de décision

La méthode des forets aléatoires va générer plusieurs arbres de décision puis pondérer les différentes probabilités obtenues. À partir des calculs d’entropie, l’algorithme déterminera automatiquement dans quelle règle appliquer à quelle sous population. L’originalité réside dans le choix des règles qui permettront d’obtenir une bonne classification. En plus d’utiliser des règles simples de découpage de l’espace, l’algorithme pourra exploiter des règles que nous appellerons « règles expertes » qui vont intégrer les règles de conception des machines électriques. Il s’agit pour notre problème d’étudier par exemple la parité entre Qr et Qs, ou alors encore de calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) entre Qr et Qs.

Pour notre cas d’étude, les règles suivantes ont été intégrées :

Tableau 3.5 : Règles pour le classement des points

Catégorie Règle Variable

Expert Qr est-il divisible par 2,3,4,5,6,7 ? Qr Quel est le PGCD entre Qr et Qs ? Qr Divisions de

l’espace

Chaque valeur de Qr Qr

Diviser l’espace Qr < Constante Qr Diviser l’espace 𝜀 < Constante 𝜀

Lorsqu'un nouveau point est testé avec les arbres, si celui-ci arrive dans un sous-groupe avec une probabilité de respecter la contrainte supérieure à 50 %, il sera considéré comme respectant cette contrainte. La Figure 3.37 (b) représente le respect de la contrainte d’oscillation de couple obtenu avec l’apprentissage automatique sur le même échantillon de 25 points utilisés à la Figure 3.34 (b).

Population 0 Population 1.1 Population 1.2 Population 2.2 Population 2.3 Règle 0 Règle 1.2 0< H <1 0< H <1 H=0 H=0 0< H <1