Différentes échelles temporelles

En fonction de la physique étudiée, les constantes de temps des phénomènes qui interviennent au sein des composants peuvent varier fortement. Le Tableau 2.1 donne l’ordre de grandeur des constantes de temps pour les physiques de la chaine de traction étudiée.

Tableau 2.1 : Echelles de temps pour les phénomènes physiques

Domaine physique Ordre de grandeur de la constante de temps du système

Electronique ns / μs

Electrique / Magnétique ms

Mécanique s

Thermique h

Dans un contexte de modélisation multidynamique, pour réaliser un couplage avec une discrétisation temporelle unique, il faudrait sélectionner la plus petite constante de temps des physiques considérées, ce qui serait rédhibitoire en termes de temps de calcul. Des méthodes mathématiques comme la relaxation de formes d’onde [SGBW10] existent pour répondre à cette difficulté. Cependant une analyse préalable des phénomènes en jeu peut permettre d’utiliser des hypothèses simplificatrices permettant de réaliser l’étude à partir de grandeurs sinusoïdales, moyennées. Dans le cas de la chaine de traction, plusieurs phénomènes peuvent être simplifiés pour s’affranchir de certaines constantes de temps.

2.1 Complexité du choix des modèles 43

2.1.2.1 Echelle électronique

La plus petite échelle de temps du système est celle des commutations des interrupteurs de l’onduleur qui utilisent la modulation de largeur d’impulsion (MLI) pour recréer un signal proche d’une sinusoïde à partir d’un signal continu. L’ordre de grandeur des fréquences de découpage dans l’automobile est entre 5 et 20kHz, pour obtenir des signaux alternatifs de quelques centaines de Hertz. Plus la fréquence de découpage est élevée, plus le signal obtenu sera proche d’une sinusoïde. La Figure 2.4 illustre la différence dans les formes des signaux en appliquant l’hypothèse d’un signal parfaitement sinusoïdal (a) ou en prenant en compte la fréquence de commutation des interrupteurs (b) [JANI11]. Le cas (b) implique donc une constante de temps en ns alors que le cas (a) peut se résumer à des valeurs efficaces qui ne dépendent pas du temps.

a) Hypothèse sinusoïdale b) Prise en compte de commutations Figure 2.4 :Signaux en entrée et en sortie d’un onduleur en fonction de la modélisation liée

aux constantes de temps [JANI11]

L’hypothèse de signaux sinusoïdaux a deux conséquences au niveau de l’onduleur de tension : - Le calcul des pertes de l’onduleur est approximé par un calcul sur un courant moyen. La

Figure 2.5 est une étude de [CANT12] qui compare les pertes avec l’hypothèse d’une forme de courant parfaitement sinusoïdale (Pmoy) et les pertes instantanées d’un modèle à commutations (Pinst). L’erreur du modèle moyen est inférieure à 1 % sur le cas test d’un onduleur pour la traction ferroviaire avec des fréquences de découpages pourtant bien plus faibles que pour l’automobile, de l’ordre de 1 ou 2 kHz ;

Figure 2.5 : Forme du courant pour le calcul des pertes moyennes ou instantanées d’un onduleur [CANT12]

- Les tensions appliquées à la machine ou courants absorbés par la machine comprennent en réalité des harmoniques en plus du fondamental qui sont une source de pertes supplémentaires notamment dans le fer et dans les aimants. Ces harmoniques peuvent également engendrer des oscillations de couple qui peuvent être ressenties par le conducteur.

La modélisation fine de cette interaction entre onduleur et machine a été étudiée dans [REGN03] ou [JANN10]. Lorsque la fréquence de découpage est environ 20 fois supérieure à la fréquence des grandeurs alternatives, l’effet des harmoniques peut être négligé dans le cadre d’une étude amont.

2.1.2.2 Echelle magnétique

Une hypothèse courante des modèles analytiques des machines électriques est de considérer comme sinusoïdales les grandeurs et de travailler avec les valeurs efficaces ou maximales. On parle également de l’hypothèse du « 1er harmonique ». Cependant le type de machine (synchrone, asynchrone, à réluctance…), sa topologie (nombres d’encoches), ou encore son bobinage peuvent être source d’harmoniques sur le flux magnétique et engendrer des pertes supplémentaires ainsi que des oscillations de couple, qui viennent s’ajouter à celles de l’alimentation non parfaitement sinusoïdale de la machine. La Figure 2.6 illustre les oscillations de couple (TEF, obtenu par éléments finis) autour du couple moyen (Tfund, obtenu par un modèle analytique au 1er harmonique) dans le cas d’une machine synchrone à aimants alimentée par une tension sinusoïdale [JANN10].

Figure 2.6 : Oscillations de couple autour du couple moyen [JANN10]

Certaines configurations de machine peuvent être très défavorables vis-à-vis de ces critères et une solution est souvent de sélectionner à partir de la littérature quelques configurations étant connues pour limiter les harmoniques [BOOL97]. Les méthodes pour prendre en compte ce phénomène par un modèle éléments finis au cours de l’optimisation seront étudiées au Chapitre 3.

2.1.2.3 Echelle électrique

Les modèles de batteries lithium-ion utilisés pour des calculs énergétiques sur cycle de roulage sont généralement des modèles « quasi-statiques » avec un circuit électrique équivalent comprenant une source de tension et une résistance, éventuellement dépendantes de l’état de charge et de la température. En l’absence de capacité dans le schéma électrique, les effets capacitifs dynamiques sont

2.1 Complexité du choix des modèles 45

négligés. La Figure 2.7 représente un exemple de réponse en tension à un échelon de courant pour les modèles quasi-statique et dynamique.

Figure 2.7 : Réponse à un échelon de courant d’une batterie en fonction du modèle

Dans [JOPS00], un modèle quasi statique nommé « ADV » et un modèle dynamique nommé « RC » avec résistances et capacités sont comparé sur un cycle de roulage d’un véhicule électrique. Le résultat est un écart de l’ordre du pourcent sur les courants et l’état de charge de la batterie. Cette approximation est donc acceptable pour notre étude de pré dimensionnement.

Figure 2.8 : Comparaison d’un modèle de batterie quasi statique « ADV » et d’un modèle dynamique « RC » sur un cycle de roulage [JOPS00]

Cour ant / Tensio n Temps

Réponse à un échelon de courant

Tension avec modèle quasi statique

Tension avec modèle dynamique Echelon de courant

2.1.2.4 Echelle mécanique

A l’échelle du véhicule, les phases d’accélération ou de freinage peuvent être simulées avec un modèle dynamique pour évaluer la qualité du temps de réponse de la commande de la chaine de traction. Cette finesse de simulation n’est cependant pas nécessaire pour des estimations énergétiques ou le cycle peut être discrétisé par une succession de régimes permanents que l’on nommera « points de fonctionnement ». En effet, la Figure 2.9 extraite de l’étude de [LBLD10] montre que les phénomènes transitoires du modèle dynamique (Dynamic model) sont de l’ordre de la milliseconde et sont négligeables face à la constante de temps mécanique du véhicule de l’ordre de la seconde (Static model).

a) Comparaison de la vitesse véhicule b) Comparaison des pertes du moteur Figure 2.9 : Comparaison de simulations dynamique et quasi-statique [LBLD10] La comparaison des pertes (b) montre que pour une étude énergétique, l’hypothèse d’un modèle statique entraine une erreur négligeable. Il est usuel de considérer un point toutes les secondes pour discrétiser le cycle (Figure 2.10). Dans le cadre d’une optimisation, il est possible d’envisager un nombre de points très inférieur ou de sélectionner un nombre restreint de points représentatifs [CHWL14].

2.1 Complexité du choix des modèles 47

Dans la suite du travail, il sera donc question de points de fonctionnement en régime permanent. Cette hypothèse de simuler un enchainement de régimes permanents sera vérifiée sur banc d’essai dans le Chapitre 4.