Compromis précision et temps de calcul

Nous distinguerons trois familles de méthodes de modélisation : les méthodes numériques, les méthodes semi-numériques et les méthodes analytiques. La Figure 2.1 représente ces méthodes sur

un « front de Pareto » de la rapidité de calcul en fonction de l’erreur de modélisation. Ce front montre qu’une amélioration de la qualité des résultats va souvent de pair avec un allongement du temps de calcul. Ce constat n’est pas une vérité générale, certaines méthodes de résolution analytique peuvent donner des résultats très proches des modèles numériques [FALA15].

Figure 2.1 : Front de Pareto des méthodes de modélisation [TRAN09]

Les méthodes analytiques reposent sur une formulation explicite des grandeurs caractérisant le système. Des équations permettent de relier les grandeurs fonctionnelles de performance du système aux grandeurs descriptives géométriques. Même si les modèles analytiques peuvent retranscrire le comportement d’un système avec une certaine précision [EMEM03], ils impliquent souvent des hypothèses fortes : milieu linéaire, signaux temporels au sens du 1er harmonique, phénomènes négligés, etc. Pour un modèle analytique, le compromis dépend donc beaucoup des hypothèses effectuées. Par ailleurs, chaque changement important dans la structure du composant, par exemple la technologie de la machine ou la chimie de la batterie, nécessitera de repenser le modèle et d’en adapter les hypothèses. Un avantage important des modèles analytiques est la rapidité de résolution, qui permet de les exploiter facilement avec des algorithmes d’optimisation nécessitant de nombreuses évaluations. Les modèles technico économiques d’estimation des couts rentrent également dans la catégorie des modèles analytiques.

Les méthodes numériques regroupent plusieurs techniques, dont les éléments finis, différences finies ou intégrales aux frontières [BRUN90]. Ces méthodes consistent à discrétiser l’espace pour pouvoir approximer une solution à des équations différentielles aux dérivées partielles comme les équations de Laplace ou de Poisson par exemple. De nombreuses physiques peuvent être traitées au travers de systèmes d’équations comme les équations de Maxwell pour l’électromagnétique ou de Navier-Stokes pour les écoulements fluidiques. L’espace peut être par exemple divisé en tétraèdres pour une structure tridimensionnelle, dont chaque sommet est appelé nœud et constitue le nombre d’inconnus du système. La précision de ce maillage est donc directement liée aux nombres d’inconnus et par suite au temps de résolution. Ces approches ont été implémentées dans des logiciels

2.1 Complexité du choix des modèles 41

où le travail de l’utilisateur consiste à décrire la géométrie, renseigner les caractéristiques des matériaux, choisir des paramètres de maillage ainsi qu’à définir les conditions aux limites (de type Neumann ou Dirichlet par exemple). C’est le cas du logiciel Maxwell® qui sera utilisé ici. Après un temps de calcul qui peut devenir conséquent pour les modèles 3D, l’utilisateur peut réaliser des post- traitements pour extraire les performances du système, ou visualiser la distribution de certaines grandeurs dans la géométrie comme dans la Figure 2.2.

Figure 2.2 : Exemple d’un modèle numérique d’une machine électrique pour différentes physiques avec les outils Ansys® [ANSY14]

Pour l’application chaine de traction, les éléments finis peuvent être envisagés pour les différentes physiques de la machine électrique : électromagnétique, thermique, vibratoire ; ainsi que pour la thermique de l’onduleur ou la mécanique de la transmission. Les modèles numériques permettront ainsi de calculer des grandeurs auxquelles un modèle analytique n’aurait pas accès. Dans la phase de conception amont, ces modèles servent surtout à la validation des modèles analytiques. L’exploitation de ces modèles avec un algorithme d’optimisation sera en général trop couteuse en temps de calcul. Les résultats d’une optimisation analytiques seront systématiquement vérifiés par éléments finis. Si cette validation n’est pas concluante, il est possible de reprendre le modèle analytique pour rectifier ou compléter les éléments non validés. Ces itérations sur l’optimisation peuvent être automatisées au travers de stratégies d’optimisation qui seront développées au Chapitre 3.

Les méthodes semi-analytique ou semi-numérique sont des méthodes hybrides entre les deux précédentes. La formulation des éléments du réseau se fait de façon analytique, mais la résolution du système d’équations est numérique. On peut citer par exemple les modèles à constantes localisées comme un réseau de perméances pour un circuit magnétique ou un réseau nodal pour une modélisation thermique [HAMI93]. Comme pour les modèles numériques, la rapidité et la précision dépendront beaucoup de la granularité du réseau. Ces modèles nécessitent en général de bien connaitre le dispositif pour estimer correctement les coefficients thermiques d’un modèle nodal par exemple, ou les trajets du flux au sein d’une machine pour un modèle magnétique. La Figure 2.3 représente le schéma d’un réseau de perméances d’une machine à réluctance variable à flux axial [CGBR08]. Les différentes parties de la machine, culasses, dents, encoches, entrefer, sont modélisées

par une ou plusieurs réluctances. Les valeurs des réluctances dépendront de la géométrie et des matériaux. Les méthodes semi-analytiques n’ont pas été retenues pour ce travail, dans l’optique de conserver des temps de calcul faibles, l’objectif étant une optimisation du système dans sa globalité.

a) Vue en 3 dimensions b) Réseau de perméances

Figure 2.3 : Réseau de perméances d’une machine à Réluctance variable à flux axial [CGBR08]

Ces différentes « granularités » de modèles peuvent donc impliquer des temps calculs qui varient fortement. En plus de ce compromis nécessaire sur la granularité, l’association de plusieurs phénomènes physiques peut amener à manipuler des échelles temporelles très différentes.