Stabilit´e robuste test´ee `a l’aide de FLDP

Comparaison avec des m´ethodes existantes d’analyse de stabilit´e robuste. Tests sur des syst`emes al´eatoires en tr`es grand nombre.

Discussion sur le pessimisme relatif et la complexit´e num´erique.

Les exp´erimentations suivantes, ont pour objectif de comparer les m´ethodes propos´ees dans cette th`ese avec des m´ethodes rencontr´ees dans la litt´erature. La d´emarche est de g´en´erer des syst`emes incertains al´eatoirement et de comparer, suivant les m´ethodes, les taux de convergence vers un point faisable. Les syst`emes g´en´er´es al´eatoirement ne sont pas tous robustement stables. Les taux ne refl`etent donc pas le pessimisme absolu des m´ethodes. La comparaison des taux indique le pessimisme relatif.

Dans un premier temps, nous consid´erons des mod`eles affines parall´elotopiques. Les mo- d`eles test´es ont tous no=2 param`etres incertains. Les parall´elotopes sont g´en´er´es `a partir d’une

matrice nominale A choisie al´eatoirement et stable qui est ensuite translat´ee suivant deux direc- tions al´eatoires Aj1j

et Aj2j

. Le mod`ele obtenu est un parall´elogramme de matrices (voir section II.2.1) dont le centre est stable. C’est aussi un polytope de matrices `a np=2

no

=4 sommets.

L’´etude est men´ee pour des syst`emes de diff´erents ordres (n=2 3 4 5).

Les m´ethodes test´ees sont dans l’ordre:

– La condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e quadratique du th´eor`eme V.2. – La condition suffisante de stabilit´e robuste par FLDP propos´ee dans [Gahinet 96]. – La condition suffisante de stabilit´e robuste par FLDP propos´ee dans [Feron 96].

– La condition suffisante de stabilit´e robuste par FLDP parall´elotopiques telles que (V.61) sous les conditions du th´eor`eme V.4.

– La condition suffisante de stabilit´e robuste par FLDP polytopiques telles que (V.47) sous les conditions du th´eor`eme V.4.

Le tableau V.11 donne les pourcentages de faisabilit´e des

LM I

de stabilit´e robuste pour les diff´erentes m´ethodes. Les tests ont ´et´e effectu´es sur pr`es de 5000 syst`emes avec l’interface

SDPSOL, [Wu 96], sousMATLAB.

Les m´ethodes construites `a partir du th´eor`eme V.4 sont moins pessimistes que les autres. Prendre une fonction de Lyapunov parall´elotopique ou bien polytopique ne semble pas modi- fier fortement les r´esultats. Le choix d’une fonction de Lyapunov de mˆeme forme que le mod`ele est donc judicieux. Pour autant, les quelques syst`emes al´eatoires pour lesquels une MDP paral- l´elotopique n’est pas trouv´ee alors qu’une MDP polytopique existe, refl`etent que ce choix n’est pas n´ecessaire et suffisant en vue de l’analyse en stabilit´e robuste.

Du point de vue du calcul num´erique, toutes les m´ethodes sauf [Feron 96], supposent de tester des

_{LM I}

sur l’ensemble des sommets du parall´elotope. La condition de [Feron 96] suppose la r´esolution d’une seule

_{LM I}

de grande taille. La complexit´e num´erique dˆue aux

106 CHAPITRE V. CONDITIONS

_{LM I}

D’ANALYSE n [V.2] [Gahinet 96] [Feron 96] V:4] (V:61) V:4] (V:47) 2 52.2 % 60.3 % 69.8 % 71.1 % 71.3 % 3 51.7 % 59.5 % 65.4 % 70.4 % 70.4 % 4 36.4 % 47.0 % 50.9 % 57.1 % 57.4 % 5 34.2 % 50.6 % 51.0 % 58.6 % 59.3 %

TAB. V.11 – Mod`eles affines parall´elotopiques `a deux param`etres incertains

contraintes

_{LM I}

est alors ´equivalente aux autres m´ethodes. La diff´erence entre les m´ethodes se fait principalement sur le nombre de variables. La stabilit´e quadratique est la moins deman- deuse en temps de calcul car elle suppose la recherche d’une matrice de Lyapunov unique. Les conditions [Gahinet 96], [Feron 96] et V:4]

(V:61) viennent ensuite avec la recherche de

no+1(=3) matrices. La condition la plus demandeuse en temps de calcul et la moins pessi-

miste, estV:4]

(V:47), pour laquelle le nombre de matrices de Lyapunov est ´egal au nombre de

sommets np(=4) et est exponentiel en le nombre de param`etres incertains np=2 no_.

Cet exemple permet en outre de remarquer que la r´eduction du pessimisme apport´e par les m´ethodes du th´eor`eme V.4, en comparaison de la stabilit´e quadratique, augmente `a mesure que l’ordre des syst`emes augmente. L’´ecart entre stabilit´e quadratique et la nouvelle m´ethode passe de 20% `a 30% tandis que l’ordre du syst`eme augmente de 2 `a 5. Cette remarque est encourageante d`es lors que les syst`emes industriels sont souvent d’ordre ´elev´e.

Apr`es avoir consid´er´e des mod`eles affines parall´elotopiques, nous abordons dans un second temps l’´etude des m´ethodes pour des mod`eles affines polytopiques. Pour ce type de mod´e- lisation incertaine et dans le cas de syst`eme `a temps discret, [de Oliveira 99a] propose une m´ethode d’analyse de stabilit´e robuste par fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres. De mani`ere `a comparer cette m´ethode avec celles d´ecrites dans ce m´emoire, nous faisons appel `a la remarque V.2 qui indique que la stabilit´e des syst`emes `a temps discrets est ´equivalente `a la DR-stabilit´e dans le cercle unit´e. A ce point, il est n´ecessaire de remarquer que pour cette

r´egion particuli`ere, la notion de stabilit´e “autour de No=;(R ;1

22R12)1” issue du corollaire

V.1, co¨ıncide exactement avec la m´ethode de [de Oliveira 99a]. Les m´ethodes test´ees sont dans l’ordre:

– La condition n´ecessaire et suffisante deDR-stabilit´e quadratique dans le disque unit´e du

th´eor`eme V.2.

– La condition suffisante deDR-stabilit´e robuste dans le disque unit´e donn´ee dans [de Oliveira 99a].

– La condition suffisante de stabilit´e robuste du th´eor`eme V.4.

La comparaison entre les m´ethodes se fait sur des syst`emes g´en´er´es al´eatoirement de fa¸con `a ce que chaque sommet du polytope ait une valeur propre de module ´egal `a 0:9 et que toutes les

autres soient dans le disque centr´e `a l’origine de rayon 0:9. Les r´esultats des tests sont donn´es

V.3. EXEMPLES ILLUSTRATIFS 107 polytope. Pour chaque couple (n np), les pourcentages sont calcul´es `a partir de tests sur 500

syst`emes diff´erents.

n np [V.2] [de Oliveira 99a] [V.4]

3 8.8 % 68.6 % 91.0 % 4 4 1.0 % 44.0 % 75.4 % 5 0.2 % 27.4 % 63.0 % 3 7.6 % 68.6 % 91.4 % 5 4 0.8 % 46.4 % 82.8 % 5 0.2 % 28.2 % 71.2 %

TAB. V.12 – Mod`eles affines polytopiques

Le tableau V.12 montre clairement la r´eduction du pessimisme que permettent les nouvelles conditions. Les r´esultats sont d’autant plus encourageants que le taux de r´eussite des nouvelles m´ethodes est tr`es peu fonction de l’ordre des syst`emes et d´ecroˆıt tr`es peu quand le nombre de sommets augmente.

La r´eduction du pessimisme se fait n´ecessairement au d´epend d’une augmentation du temps de calcul. Le th´eor`eme V.4 implique 2d2n2+np

n(n+1)

2 variables additionnelles en comparaison avec laDR-stabilit´e quadratique du th´eor`eme V.2 et d

2_n2_{variables additionnelles en comparai-} son avec la m´ethode de [de Oliveira 99a]. Cependant, l’augmentation des temps de calcul ne remet pas en cause l’apport des nouvelles m´ethodes en termes de pessimisme. Des exemples comparatifs de temps de calcul mesur´es sur un ordinateurSUN Ultra 5, sont donn´es dans le tableau V.13.

Dans le document Formulation générique de problèmes en analyse et commande robuste par les fonctions de Lyapunov dependant des paramètres (Page 110-112)