Analyse H 2 robuste et mod´elisation incertaine

Comparaison en analyse de performance

H

2 robuste entre l’approche par la stabilit´e qua-

dratique et les m´ethodes par fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres.

Tests de diff´erents s´eparateurs quadratiques.

Discussion sur la pr´ecision de mod´elisation, pessimisme et temps de calcul.

Cet exemple est construit `a partir du syst`eme masse-ressort de la figure II.4. Des forces perturbatrices sont suppos´ees agir sur les deux masses et nous souhaitons mesurer leur effet sur les vitesses des deux masses. Le mod`ele incertain correspondant s’´ecrit:

 A(∆) B2(∆) C2(∆) D22(∆)  = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 0 _m 1 1o(1+δ1) 0 0 0 0 0 0 _m 1 2o(1+δ2) 0 0 ;(k1+k2) k2 ; co(1+δc) m1o(1+δ1) 0 1 0 k2 ;k2 0 ; co(1+δc) m2o(1+δ2) 0 1 0 0 _m 1 1o(1+δ1) 0 0 0 0 0 0 _m 1 2o(1+δ2) 0 0 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

Nous consid´erons le mod`ele nominal donn´e par k1=k2=1, m1o=1, m2o=0:5, co=1. Les

sp´ecifications sur les incertitudes sont d´efinies en page 45:

jδcj0:3 δ1¯r=0:4 δ 2 1+δ 2 2m¯ 2 =0:5 2

En suivant la d´emarche de la section II.4, ce mod`ele incertain se met sous forme LFT, sem- blable `a (II.35). S1, S2 et S3 sont trois mod´elisations de domaines incertains satisfaisant les sp´ecifications. Le calcul d’un coˆut garanti robuste peut se faire, soit par la stabilit´e quadratique du th´eor`eme V.3, soit par les fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres du th´eor`eme V.5. Dans les deux cas, la mod´elisation LFT du syst`eme suppose de faire appel `a des candidates `a la s´eparation quadratique. Les m´ethodes de choix des candidates sont d´ecrites en annexe B. Pour les mod´elisations S1, S2 et S3, les choix de candidates sont d´etaill´es en page 65.

Les six coˆuts garantis correspondants sont donn´es dans le tableau V.17. Ils sont accompagn´es des temps de calcul n´ecessaires `a la r´esolution des

_{LM I}

aff´erentes `a chaque cas. Le calcul est men´e sous MATLAB `a l’aide du logiciel de r´esolutionSDPSOL, [Wu 96], sur un ordinateur

SUN ultra 5.

Cet exemple permet de tirer les conclusions suivantes:

– L’emploi de fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres permet de r´eduire forte- ment le pessimisme en comparaison avec les m´ethodes bas´ees sur la stabilit´e quadratique. – Le lemme de cr´eation implique une augmentation non n´egligeable du nombre de va- riables. Sur cet exemple, cela se traduit par la multiplication par 100 des temps de calcul. Dans la mesure o`u les calculs reposent sur les algorithmes num´eriquement stables (m´e- thodes

_{LM I}

, programmation semi-d´efinie positive), la complexit´e des calculs demeure acceptable.

114 CHAPITRE V. CONDITIONS

_{LM I}

D’ANALYSE Mod`ele <sub>M´ethode[Th´eor`eme] S´eparateurs Coˆut garantis Temps de calcul</sub>

S1 Γquad:C 2
V:3] CSQ 6 5:22 3:5 S1 ΓMDP:C 2
V:5] CSQ 6 2:07 450 S2 Γquad:C 2
V:3] CSQ 8, 9 5:36 0:8 S2 ΓMDP:C 2
V:5] CSQ 8, 9 4:00 134 S3 Γquad:C 2
V:3] CSQ 6, 8, 9 5:34 1:2 S3 ΓMDP:C 2
V:5] CSQ 6, 8, 9 3:70 240 TAB. V.17 – Coˆuts garantis

H

2

– Les s´eparateurs quadratiques vis `a vis d’incertitudes H-dissipatives (CSQ 8) sont sou- vent plus pessimistes que des s´eparateurs vis `a vis d’incertitudes polytopiques (CSQ 6). L’´ecart est d’autant plus flagrant que l’incertitude est structur´ee et de grande taille. Ici, le th´eor`eme V.5 suppose de rechercher deux candidates `a la s´eparation quadratique pour des incertitudes structur´ees de la forme

diag(14δc 14  δ1 δ2  )

respectivement. Pour un choix de candidates telles que CSQ 6, le coˆut garanti (2:07)

am´eliore grandement le r´esultat obtenu avec CSQ 8 (4:00).

– La r´eduction du pessimisme associ´ee au choix des candidates `a la s´eparation quadratique s’accompagne de l’augmentation du temps de calcul. Sur cet exemple, les candidates associ´ees `a la mod´elisation polytopique, S1, imposent des temps de calcul environ quatre fois sup´erieurs aux temps de calculs pour une mod´elisation H-dissipative, S2, et deux fois sup´erieurs aux temps de calcul pour une mod´elisation mixte (polytopique, H-dissipative), S3. Cette constatation est ind´ependante de la m´ethode de r´esolution choisie.

V.3. EXEMPLES ILLUSTRATIFS 115

Conclusion

L’analyse des performances robustes d’un syst`eme incertain est en g´en´eral de difficult´e

non polynˆomiale. Dans ce chapitre, quatre m´ethodes pessimistes mais sous forme

_{LM I}

ont ´et´e propos´ees.

 Les m´ethodes d’analyse sont, soit issues de la th´eorie de la stabilit´e quadratique, soit

font appel `a des matrices de Lyapunov d´ependant des param`etres. Le second cadre de travail est bien moins pessimiste que le premier, ceci au d´epend d’une augmentation du nombre de variables et de la taille des

_{LM I}

.

 Les m´ethodes propos´ees se diff´erencient ´egalement par la forme de la mod´elisation

incertaine: “affine polytopique” et “LFT mixte”. Suivant cet axe, quand il est possible d’envisager les deux mod´elisations, le pessimisme est moins grand dans le cas de mod´e- lisations “affines polytopiques” mais au d´epend d’une complexit´e du calcul accrue.

FLDP

Stabilit´e quadratique Thm V.2 Thm V.4

Affine polytopique LFTmixte Thm V.3 Thm V.5

M´ethode Mod`ele

complexit´e num´erique croissante

pessimissme croissant croissante complexit´e num´erique pessimissme croissant

SYNTHESE 117

Synth`ese

En Anglais, l’automatique se caract´erise essentiellement par l’id´ee de contrˆole (au- tomatic control, control theory) et mˆeme si le fran¸cais pr´ef`ere parler de correc- tion, de r´egulation ou de commande, le terme contrˆole reste significatif. D’apr`es [Rey 98], le mot “est form´e de contre et de rˆole au sens juridique de registre”. Viens la d´efinition, qui au regard de l’Automatique met en lumi`ere que l’organe de contrˆole est de la mˆeme nature que l’organe contrˆol´e (un syst`eme) et que c’est l’ac- tion de l’un sur l’autre (r´etroaction) qui fait le contrˆole: “le mot d´esigne proprement

un registre (rˆole) tenu en double, l’un servant `a v´erifier l’autre (d’o`u contre)”.

La partie de la th`ese qui suit, s’int´eresse `a l’op´eration de synth`ese qui consiste `a regrouper les connaissances sur la mod´elisation et l’analyse des syst`emes en vue d’assurer le contrˆole des processus.

Chapitre VI

Stabilisabilit ´e et Synth `ese Multi-Objectifs

Introduction

Ce chapitre a pour objet d’exposer la probl´ematique de synth`ese de correcteurs multi-objectifs robustes. Dans un premier temps, les familles de correcteurs sont pr´ecis´ees et la mise en ´equa- tions des probl`emes de synth`ese est illustr´ee sur la stabilisabilit´e des syst`emes LTI certains. Dans un second temps, les probl`emes de synth`ese robuste en stabilit´e et performance sont for- mul´es et l’accent est mis sur la d´efinition du contrˆole multi-objectifs.

VI.1

Les correcteurs

correcteur

système

système corrigé

Un correcteur se d´efinit comme un syst`eme dont les entr´ees sont les sorties de mesure du sys- t`eme `a corriger, et dont les sorties sont des commandes appropri´ees aux performances d´esir´ees pour le syst`eme corrig´e. L’automaticien, pour concevoir ce correcteur proc`ede par ´etapes. Pre- mi`erement, il mod´elise le syst`eme. Cette mod´elisation impose en g´en´eral de faire la recherche de correcteurs du mˆeme type. Par exemple, dans cette th`ese les mod`eles des correcteurs sont

120 CHAPITRE VI. STABILISABILIT ´E ET SYNTH `ESE MULTI-OBJECTIFS lin´eaires invariants dans le temps sous forme d’espace d’´etat. Ce choix est guid´e par les m´e- thodes d’analyse de la boucle ferm´ee. Nous avons expos´e des m´ethodes d’analyse de syst`emes LTI incertains. Ce sont donc ces m´ethodes qui servent de base `a la synth`ese. A cette ´etape, le probl`eme de synth`ese est donc formul´e comme un probl`eme d’analyse dont une partie des donn´ees sp´ecifiques au mod`ele en boucle ferm´ee, sont `a rechercher.

Remarque VI.1

Dans cette th`ese, les correcteurs sont mod´elis´es sous forme LTI certaine. Sachant que des al´eas peuvent survenir lors de la r´ealisation en pratique du correcteur, il est envisageable de consid´e- rer des mod`eles incertains pour le correcteur ´egalement. Cette remarque est `a mettre en rapport avec la r´eflexion [Keel 97] sur la robustesse de la boucle ferm´ee vis `a vis des incertitudes sur le correcteur: la fragilit´e. Cependant, nous posons l’hypoth`ese que la r´ealisation du correcteur `a partir du mod`ele calcul´e sera aussi pr´ecise que n´ecessaire. Le cas contraire peut ˆetre une piste pour de futurs travaux.

Remarque VI.2

Les m´ethodes d’analyse propos´ees dans la th`ese sont applicables `a l’analyse de syst`emes li- n´eaires `a param`etres variant lentement dans le temps. Ces syst`emes se d´ecrivent math´ema- tiquement sous une forme proche de celle des mod`eles incertains dont les incertitudes va- rient lentement dans le temps. Cependant, en synth`ese la probl´ematique diff`ere puisque dans le cas des syst`emes LPV, les param`etres sont connus et peuvent ˆetre utilis´es dans la loi de com- mande. Concernant les syst`emes LPV, le lecteur peut se r´ef´erer `a [Packard 94], [Apkarian 97], [Apkarian 95], [Courties 99] par exemple.

Ces deux remarques insistent sur le fait que les correcteurs recherch´es en commande ro- buste, sont ind´ependants de l’incertitude et sont ind´ependants des param`etres. Le probl`eme de commande robuste est donc la recherche d’un correcteur unique qui assure les performances robustes pour toutes les boucles ferm´ees calcul´ees pour chaque incertitude admissible.

La principale caract´eristique attendue pour les correcteurs est qu’ils assurent la stabilit´e de la boucle ferm´ee. Pour un type de correcteur donn´e, la stabilit´e de la boucle ferm´ee n’est pas forc´ement atteignable. Aussi, la stabilisabilit´e est-elle d´efinie relativement `a une classe de cor- recteurs:

D´efinition VI.1

Un syst`eme est stabilisable (robustement) par une loi de commande K s’il existe une telle loi de commande qui, boucl´ee sur le syst`eme, rend la boucle ferm´ee (robustement) stable.

A partir de cette d´efinition se pose la question de la minimalit´e de la commande: trouver le correcteur d’ordre le plus faible qui stabilise robustement le syst`eme. Certains r´esultats dans ce sens sont donn´es dans [El Ghaoui 97], [Syrmos 94], [Grigoriadis 96], [Mesbahi 98]. Pour notre part, les correcteurs sont d’ordre fix´e. Ce sont soit des correcteurs statiques (ordre nul) dans le cas du retour d’´etat, soit du mˆeme ordre que le syst`eme (n) dans le cas du retour se sortie.

VI.1. LES CORRECTEURS 121 Les correcteurs par retour d’´etat et par retour de sortie sont maintenant d´etaill´es et les tech- niques de changement de variables qui lin´earisent le probl`eme de synth`ese dans le cas de sys- t`emes certains sont rappel´ees. Pour les syst`emes incertains, des changements de variables ana- logues sont mis en oeuvre. Ces changements de variables d´ependent des m´ethodes d’analyse `a partir desquelles se construit le r´esultat de synth`ese. Comme les techniques de lin´earisation sont toujours similaires, les mˆemes notations sont employ´ees tout au long de ce chapitre.

Dans le document Formulation générique de problèmes en analyse et commande robuste par les fonctions de Lyapunov dependant des paramètres (Page 118-126)