Incertitudes structur´ees

La mod´elisation des incertitudes param´etriques sous forme LF T conduit d’apr`es le chapitre II `a consid´erer des matrices∆bloc-diagonales avec des blocs ´eventuellement r´ep´et´es. On parle alors d’incertitudes structur´ees. Certains des coefficients de∆sont nuls et d’autres peuvent ˆetre identiques. Ces contraintes fortes sur les incertitudes doivent ˆetre prises en compte dans l’´etape de recherche du s´eparateur afin de rendre cette recherche la moins pessimiste possible. Pour cela, les candidates CSQ 2 – 9 sont propos´ees en annexe B. L’examen de ces diff´erentes can- didates am`ene `a conclure que, plus les contraintes de structure sont prises en compte, moins pessimistes sont les candidates `a la s´eparation quadratique . De mˆeme, le nombre de variables d´efinissant augmente ainsi que le nombre de

_{LM I}

que doit v´erifier . La complexit´e de la r´esolution croit donc avec la structure de l’incertitude et avec la r´eduction du pessimisme de la condition propos´ee. Garantir une condition n´ecessaire et suffisante de s´eparation quadratique est num´eriquement impossible en temps polynˆomial. Les relaxations `a l’aide d’un nombre fini de

_{LM I}

propos´ees en annexe B sont plus ou moins pessimistes et le pessimisme est inver- sement reli´e `a la combinatoire du probl`eme induit. Les candidates les moins pessimistes sont d´efinies vis `a vis d’incertitudes polytopiques et parall´elotopiques. Le nombre de

_{LM I}

est alors exponentiel en le nombre de param`etres incertains et lin´eaire en le nombre de sommets du po- lytope. Afin de r´eduire cette combinatoire, il est propos´e de d´ecrire les mˆemes incertitudes sous forme H-dissipatives, permettant ainsi de simplifier les conditions

LM I

dont le nombre sera proportionnel au nombre de param`etres incertains.

III.3. CHOIX DES CANDIDATES ET PESSIMISME 65

Exemple de candidates

Pour illustrer cela, diff´erents choix de candidates `a la s´eparation quadratique de CSQ 1 `a CSQ 9 sont propos´es pour les mod`eles d’incertitudes de la section II.4.

S1 D’apr`es CSQ 6, des candidates `a la s´eparation quadratique peuvent ˆetre param`etr´ees par une matrice 2R

88

et contraintes par les 8

LM I

d´efinies sur chaque sommet du poly- tope.

S2 D’apr`es CSQ 8, un ensemble de candidates `a la s´eparation quadratique est param`etr´e par trois matrices 1, 2et 3telles que:

1 2R 22 2 2R 22 3 2R 22 (III.30) Les matrices sont contraintes par les

_{LM I}

suivantes:

1>0 2>0 3>0 (III.31)

et les candidates `a la s´eparation quadratique sont:

= 2 6 6 6 6 6 4 0:3 2 1 0 0 0 0 2¯r 2+m¯ 2 3 0 2
;1 0  0 0 ; 1 0 0 2  ;1 0  0 3  ;1 0 0 ;1  3 7 7 7 7 7 5 (III.32)

S3 D’apr`es CSQ 8 et CSQ 7, un ensemble de candidates `a la s´eparation quadratique est param`etr´e par trois matricesb,

2et 3telles que: 2 2R 22 3 2R 22 b =  b 11 b 12 b 0 12 b 22  2R 44 b 22= " b θθθ11₂₂ θθθb 12 22 b θθθ1222 θθθb 22 22 # 2R 22 (III.33) Les matrices sont contraintes par les

_{LM I}

suivantes:

2>0 3>0 b θθθ1122
0 b θθθ2222
0
12 0:312  b  12 0:312 
0
12 ;0:312  b  12 ;0:312 
0 (III.34)

et les candidates `a la s´eparation quadratique sont:

= 2 6 6 6 6 6 4 b 11 0 b 12 0 0 2¯r 2+m¯ 2 3 0 2
;1 0  b 0 12 0 b 22 0 0 2  ;1 0  0 3  ;1 0 0 ;1  3 7 7 7 7 7 5 (III.35)

Cet exemple fait clairement apparaˆıtre que les incertitudes mod´elis´ees sous forme polytopique accroissent le nombre de variables de d´ecision et le nombre de contraintes

_{LM I}

pour la re- cherche de s´eparateurs. Le pessimisme des s´eparateurs vis `a vis d’incertitudes mod´elis´ees par l’inclusion H-dissipative est illustr´e sur un probl`eme de minimisation de norme

_H

2 dans la section V.3.4.

66 CHAPITRE III. S ´EPARATION TOPOLOGIQUE ET STABILIT´E ROBUSTE

Conclusion

 Toute contrainte quadratique robuste de la forme (III.20) ou (III.21) peut se mettre

sous la forme de la recherche d’un s´eparateur quadratique sous contraintes

_{LM I}

. Cette op´eration est appel´ee s´eparation quadratique en r´ef´erence `a la s´eparation topologique des graphes d’un syst`eme interconnect´e.

La s´eparation quadratique se fait sans pessimisme en th´eorie, mais en pratique les can-

didates `a la s´eparation quadratique doivent ˆetre recherch´ees dans les ensembles CSQ 6–8.

Le choix de l’ensemble de candidates induit un compromis `a adopter entre r´eduction du

Chapitre IV

Stabilit ´e et Performances Robustes -

In ´egalit ´es de Lyapunov

Introduction

Dans ce chapitre, nous exposons comment ´ecrire en termes d’in´egalit´es de Lyapunov, les sp´ecifications de stabilit´e, de localisation des pˆoles et de rejet de perturbation. Pour chaque per- formance, le crit`ere est tout d’abord pr´esent´e dans sa forme math´ematique vis `a vis du probl`eme le plus simple d’analyse sans incertitudes. Par la suite, il est ´etendu aux mod`eles incertains.

Le chapitre ne donne pas de solution de calcul mais expose le formalisme unifi´e choisi pour d´ecrire les probl`emes de performance robuste.

IV.1

Stabilit´e robuste

Dans le cadre de la th´eorie de Lyapunov, la stabilit´e d’un syst`emes LTI donn´e par sa matrice dynamique A, est ´equivalente `a l’existence d’une matrice sym´etrique d´efinie positive P, dite de Lyapunov, telle que:

A0

P+PA<0 (IV.1)

La th´eorie de Lyapunov qui conduit `a ce r´esultat a ´et´e comment´ee dans le chapitre de pr´elimi- naires de cette th`ese. La stabilit´e de la matrice A peut de mani`ere ´equivalente ˆetre test´ee `a l’aide de l’in´egalit´e duale sur X=P

;1

:

AX+XA 0

<0 (IV.2)

X est la matrice de Lyapunov prouvant la stabilit´e du syst`eme LTI dual de matrice dynamique

A0

. Les deux ´ecritures sont ´equivalentes du point de vue de la stabilit´e. Pour chaque crit`ere de performance expos´e dans la suite, il existe une formulation directe, fonction d’une matrice de

68 CHAPITRE IV. STABILIT ´E ET PERFORMANCES ROBUSTES Lyapunov P et une formualtion duale en X. Nous avons choisi de privil´egier, dans la r´edaction, la forme directe en P. Les in´egalit´es en X sont aussi donn´ees pour information. Elles sont utilis´ees par la suite en synth`ese.

Th´eor`eme IV.1

Un syst`eme M(∆),∆2 est robustement stable ssi

– Il existe une MDP, P(∆), telle que (IV.3) et P(∆)>0pour tout∆2 .

IR 1 In´egalit´es de stabilit´e robuste:

A0

(∆)P(∆)+P(∆)A(∆)<0 (IV.3)

A(∆)X(∆)+X(∆)A 0

(∆)<0 (IV.4)

Dans le chapitre III, il a ´et´e not´e qu’il n’est pas n´ecessaire de rechercher des matrices de Lyapu- nov d´efinies positives sur tout le domaine incertain d`es lors que le syst`eme nominal est stable. Une variante de cette remarque s’´ecrit:

Lemme IV.1

Les conditions suivantes sont ´equivalentes:

i) Il existe une MDP, P(∆), telle que (IV.3) et P(∆)>0pour tout∆2 .

ii) Il existe une MDP, P(∆), telle que (IV.3) pour tout∆2 et P(0)>0.

Dans la suite, les crit`eres de performance consid´er´es garantissent ´egalement la stabilit´e ro- buste. Aussi, par analogie avec le lemme IV.1, P(∆)>0est remplac´e par P(0) >0 qui n’est

rien d’autre que la condition de stabilit´e du syst`eme nominal (voir aussi le lemme III.2).

Dans le document Formulation générique de problèmes en analyse et commande robuste par les fonctions de Lyapunov dependant des paramètres (Page 69-73)