I.3 Contributions
II.1.2 Forme rationnelle
D ´efinition de la Transform´ee Fractionnaire Lin´eaire
Une forme d´esormais tr`es classique pour repr´esenter les incertitudes est de supposer qu’elles peuvent ˆetre isol´ees du mod`ele et mod´elis´ees comme un op´erateur agissant en r´etroaction sur un syst`eme nominal. Cette mod´elisation est plus g´en´erale que toute mod´elisation affine. Elle per- met de repr´esenter tout mod`ele pour lequel les param`etres incertains interviennent sous forme de fractions rationnelles. Syst`eme LTInominal u(t) z∆(t) y(t) w∆(t) ;∆ FIG. II.1 – Forme LFT D´efinition II.2
Un syst`eme est de forme LFT (Transform´ee Fractionnaire Lin´eaire) s’il est d´ecrit par un bouclage de l’incertitude sur le syst`eme nominal:
8 > > > > > < > > > > > : w∆(t) = ;∆z∆(t) ˙ x(t) = Ax(t) + B∆w∆(t) + Bu(t) z∆(t) = C∆x(t) + D∆∆w∆(t) + D∆uu(t) y(t) = Cx(t) + Dy∆w∆(t) (II.7)
o`u w∆et z∆sont des signaux exog`enes fictifs de dimension respective q∆ et p∆.
Soient les matrices incertaines suivantes:
∆C=∆(1+D∆∆∆) ;1
∆B=(1+∆D∆∆) ;1
∆ (II.8)
Ce sont des matrices dont les coefficients sont des fractions rationnelles en les coefficients de∆ et le syst`eme peut indiff´eremment s’´ecrire:
M(∆)= M; B∆ Dy∆ ∆C C∆ D∆u = M; B∆ Dy∆ ∆B C∆ D∆u (II.9)
M est le mod`ele nominal du syst`eme correspondant `a une incertitude nulle, M=M(0).
Remarque II.2
Les formes affines sont des cas particuliers d´eduits des formes LFT en posant D∆∆=0. Cela
34 CHAPITRE II. MOD `ELES LTI INCERTAINS La forme LFT est d´efinie par un bouclage exog`ene dont le transfert direct de w∆ `a z∆ n’est pas suppos´e nul. D`es lors se pose le probl`eme du bien pos´e de la boucle. Les relations (II.8) et (II.9) font apparaˆıtre que le mod`ele n’est d´efini que si:
det(1+D∆∆∆)6=0 8∆2 (II.10)
D´efinition II.3
Le mod`ele LFT est bien pos´e ssi les matrices1+D∆∆∆sont non singuli`eres pour l’ensemble
des matrices admissibles∆2 .
Cette d´efinition math´ematique du bien pos´e correspond `a:
– L’´equilibre du syst`eme x=0 est unique pour toutes les incertitudes admissibles.
– Les signaux exog`enes sont uniques `a la donn´ee de x, u et∆.
A l’issue de la mod´elisation d’un mod`ele, il est important de savoir si ce mod`ele est bien pos´e. Le chapitre II donne la solution de ce probl`eme.
Forme LFT polytopique
L’incertitude affectant un mod`ele avec une structure LFT, peut ˆetre vue comme une matrice d’incertitude ou comme un op´erateur qui transforme les signaux exog`enes. Cet op´erateur peut se d´efinir, en gardant les param`etres implicites, comme l’enveloppe convexe de sommets∆i]
: b =CO n ∆1] ∆2] ∆ n∆] o (II.11) Cette d´efinition tr`es g´en´erale repose en r´ealit´e dans la plupart des cas sur une mod´elisation param´etrique qui est d´etaill´ee en section II.2.
Forme LFTH-dissipative
Une autre fa¸con de mod´eliser un op´erateur incertain consiste `a fixer une relation entr´ee/sortie sur les signaux exog`enes z∆ et w∆. Cette mod´elisation est implicite car elle ne sp´ecifie en rien les param`etres incertains contenus dans l’op´erateur∆.
Supposons par exemple que le syst`eme est d´efini par 10% de variations autour d’un mod`ele nominal. Il est alors possible de mettre le mod`ele sous la forme LFT (II.7) et de caract´eriser les ´ecarts possible autour du nominal en sp´ecifiant:
w
∆w∆0:1
2
z
∆z∆
Par changement d’´echelle, cela revient `a consid´erer que l’op´erateur est born´e (z
∆∆0∆
z∆z
∆z∆).
Ce cas correspond au cadre de la th´eorie du faible gain.
Un autre exemple th´eorique est celui des incertitudes positives r´eelles. Pour mod´eliser des ´el´ements inconnus passifs, il suffit d’´ecrire que le produit scalaire de z∆ avec w∆ est n´egatif:
II.1. INCERTITUDES IMPLICITES 35 Ces deux exemples peuvent se regrouper sous la formulation g´en´erique des op´erateurs dissi- patifs.
D´efinition II.4
L’op´erateur∆est dit HC-dissipatif si les relations entr´ees/sorties v´erifient:
8w∆2R q∆ z0 ∆ ;w 0 ∆ HC z∆ ;w∆ 0 (II.12)
J.C. Willems fut le premier `a d´efinir un cadre th´eorique unifi´e dans l’espace d’´etat incluant comme cas particuliers, les propri´et´es du faible gain et de la passivit´e, et fond´e sur la pro- pri´et´e abstraite de dissipativit´e, [Willems 72]. Cette propri´et´e interne d’un syst`eme dans l’es- pace d’´etat s’exprime `a travers l’existence de fonctions de type ´energie attestant qu’il y a “dis- sipation” de l’´energie fournie. Il n’est pas ´etonnant, sous ce formalisme, de retrouver des liens ´etroits avec la stabilit´e au sens de Lyapunov et de fait le concept a ´et´e particuli`erement uti- lis´e pour l’´etude de la stabilit´e des syst`emes interconnect´es non lin´eaires. Un cadre unifi´e re- groupant repr´esentations entr´ees/sorties et interne a ´et´e par la suite propos´e dans [Hill 76], [Hill 77], [Hill 80a], [Hill 80b]. Ce cadre de travail tr`es formalis´e n’est pas utilis´e dans ce m´emoire pour des raisons de simplification d’expos´e et puisque nous travaillons essentielle- ment dans le cadre plus simple des syst`emes LTI. Il est `a noter que parall`element `a notre travail [Peaucelle 98b], [Peaucelle 98a], [Peaucelle 98c] et [Arzelier 98a], le concept d’incertitudes g´en´eralisant les cas des incertitudes passives et de faible gain sont ´egalement apparues dans [Folcher 97], [Xie 98].
Les op´erateurs HC-dissipatif sont des cas particuliers d’op´erateurs v´erifiant des Contraintes Quadratiques Int´egrales (IQC):
Z +∞ ;∞ z ∆(jω) ;w ∆(jω) Π(jω) z∆(jω) ;w∆(jω) dω0 (II.13)
La diff´erence entre les deux d´efinitions tient au choix Π(jω) =H
C constante. Ce choix se
justifie quand les incertitudes sont param´etriques r´eelles.
Les IQC ont r´ecemment ´et´e introduites afin de construire une approche de la th´eorie des multiplieurs pour le probl`eme d’analyse de la stabilit´e robuste, [Megretski 93]. Les IQC sont ainsi utilis´ees afin de d´ecrire des ´el´ements (incertitudes, param`etres variants dans le temps, caract´eristiques fr´equentielles sur les signaux, saturations, retards, dynamiques, nonlin´earit´es diverses. . . ) d’un syst`eme complexe dans un cadre unifi´e pour lequel existent des m´ethodes efficaces de calcul syst´ematique, essentiellement fond´ees sur la r´esolution de
LM I
. Pour une repr´esentation d´etaill´ee de la th´eorie des IQC ainsi que pour disposer d’une liste des IQC les plus remarquables, on peut se reporter `a [Megretski 93] et [Megreski 97].Les cas particuliers d’IQC d´efinies par:
Π(jω)= 1 0 0 ;1 Π(jω)= 0 1 1 0 (II.14) aboutissent aux r´esultats donn´es dans le cadre de la th´eorie du faible gain et de la passivit´e.
36 CHAPITRE II. MOD `ELES LTI INCERTAINS