Localisation des pˆoles

IV.2.1

Caract´eristiques transitoires robustes

Le comportement dynamique des syst`emes LTI est principalement li´e `a la nature de ses pˆoles. La rapidit´e, les oscillations, les d´epassements... de la convergence des ´etats d’un syst`eme LTI certain se d´eterminent en calculant les valeurs propres de la matrice A. De mˆeme, pour les syst`emes LTI soumis `a des incertitudes param´etriques (invariants dans le temps), la position des pˆoles dans le plan complexe indiquent comment l’´etat du syst`eme converge vers l’´equilibre. Dans la mesure o`u le mod`ele est incertain, les pˆoles ne sont pas positionn´es pr´ecis´ement dans le plan complexe mais appartiennent `a des sous-r´egions du demi-plan gauche.. En analyse se pose donc le probl`eme de savoir si les pˆoles appartiennent ou non `a des domaines pr´e-d´efinis. Donner des bornes sur la rapidit´e (α), l’amortissement (ζ), la pulsation propre (ωr), d’un pˆole

p=x+jy revient donc `a le localiser dans une sous-r´egion du demi-plan complexe gauche telle

que celle de la figure IV.1 assurant des sp´ecifications transitoires satisfaisantes.

α2xα1 yωr j

y x

IV.2. LOCALISATION DES P ˆOLES 69 r α2 α1 ω Re Im ψ

FIG. IV.1 – Crit`eres de performance dynamique

IV.2.2

D´efinition des r´egions

_{EM I}

Avant d’envisager de donner des conditions de localisation des pˆoles d’un syst`eme LTI dans diff´erentes sous-r´egions du plan complexe, il est n´ecessaire de les caract´eriser analytiquement. Une premi`ere classe de r´egions dites polynˆomiales a ´et´e d´efinie dans [Gutman 81].

D ν P= ( p2C : k+l=ν

∑

0k lm ck lpkp l 0 ) o`u c_{k l} 2C, c k l =c 

k l et ν est l’ordre de la r´egion. Si Ck l2R pour tout couple (k l)alors la

r´egion est sym´etrique par rapport `a l’axe r´eel. Quoique cette formulation ait pu ˆetre utilis´ee afin de g´en´eraliser l’´equation de Lyapunov pour ces r´egions polynˆomiales dans [Gutman 81], [Mazco 80], elle est apparue assez rapidement peu utilisable en pratique. Une autre classe de r´egions utilisant le formalisme

_{LM I}

, a ainsi ´et´e propos´ee dans [Chilali 96b], [Chilali 96a].

DL=  p2C : R11+R12p+R 0 12p  0  o˜u R11 2R dd

est une matrice sym´etrique et R12 2R dd

. Les r´egions

_{LM I}

sont convexes, sym´etriques par rapport `a l’axe r´eel et invariantes par l’op´eration d’intersection. d est l’ordre de la r´egion. Cette formulation s’est av´er´ee particuli`erement f´econde pour le d´eveloppement de conditions d’analyse et de synth`ese avec localisation des pˆoles, [Chilali 96a], [Chilali 99]. Nous proposons dans cette th`ese, une formulation plus g´en´erale incluant les r´egions

LM I

mais conduisant `a une ´ecriture minimale.

Une r´egion

_{EM I}

du plan complexe est d´efinie comme l’ensemble des nombres complexes

DR, [Peaucelle 00b]: DR= p2C :
1 p  1  R  1 p1  <0  (IV.5) o`u R est une matrice r´eelle sym´etrique telle que:

R=  R11 R12 R0 12 R22  2R 2d2d R22
0 2R dd (IV.6)

70 CHAPITRE IV. STABILIT ´E ET PERFORMANCES ROBUSTES La condition d’appartenance d’un nombre complexe p `a la r´egionDR s’´ecrit ´egalement:

R11+pR12+p  R 12+pp  R22<0 (IV.7)

Un formulaire de r´egions

EM I

usuelles (pour la majorit´e d’entre elles, d=1 ou d=2), est

donn´e en annexe C. Les r´egions d’ordre sup´erieur `a 2 sont en g´en´eral des intersections de r´e- gions d’ordre plus faible et ne sont pas consid´er´ees dans cette th`ese. En effet, en ce qui concerne les probl`emes d’analyse, prouver l’appartenance des pˆoles `a une intersection de r´egions revient `a prouver la localisation des pˆoles dans chacune des r´egions s´epar´ement. Une approche alterna- tive est donn´ee dans [Chilali 96b].

Outre que la formulation

_{EM I}

permet de consid´erer des r´egions plus g´en´erales en levant l’hypoth`ese R22
0, il est ais´e de montrer que cette description est g´en´eralement moins coˆu-

teuse en calculs. Ceci d´ecoule du fait que l’in´egalit´e (IV.7) de dimension dd se r´e´ecrit pour

les r´egions

_{LM I}

en une in´egalit´e de dimension 2d2d:  R11 0 0 ;1  +p  R12 L 0 0  +p   R0 12 0 L0 0  <0 R22=LL 0 (IV.8)

IV.2.3

DR

-stabilit´e robuste

Le cas certain

Etant donn´ee une r´egionDR du plan complexe, polynˆomiale ou

LM I

et une matrice carr´ee

A2R nn

, des conditions n´ecessaires et suffisantes pour que les valeurs propres de A appar- tiennent `a DR ont ´et´e donn´ees en termes de solutions d’´equations de Lyapunov g´en´eralis´ees

dans [Gutman 81], [Mazco 80], [Chilali 96b]. D´efinition IV.1

Etant donn´ee une r´egion

_{EM I}

,DR, la matrice A est diteDR-stable si toutes les valeurs propres

de A sont dans la r´egionDR.

Une caract´erisation du type in´egalit´es de Lyapunov de laDR-stabilit´e d’une matrice A peut

ˆetre facilement extrapol´ee des travaux de [Chilali 96a]: Th´eor`eme IV.2

A2R nn

estDR-stable ssi il existe une matrice d´efinie positive P2R nn telle que:
1 1dA 0  (RP)  1 1dA  <0 (IV.9)

Cela est ´egalement ´equivalent `a l’existence d’une matrice d´efinie positive X2R nn telle que:
1 1dA  (RX)  1 1 dA 0  <0 (IV.10)

IV.2. LOCALISATION DES P ˆOLES 71 La matrice P est une matrice de Lyapunov qui prouve la stabilit´e de A d`es lors queDR est

une sous-r´egion du demi plan complexe gauche. La localisation des pˆoles dans une r´egion stable est une extension de la stabilit´e au sens de Lyapunov. Dans la suite, les r´egions de localisation envisag´ees sont toutes des sous-r´egions du demi-plan complexe gauche. Un cas particulier in- t´eressant de r´egion est z+z



<0 (le demi plan gauche). L’in´egalit´e deDR-stabilit´e se confond

alors avec l’in´egalit´e de Lyapunov classique. L’in´egalit´e (IV.9) se d´eveloppe en,

R11P+R12(PA)+R 0 12(A 0 P)+R22(A 0 PA)<0 (IV.11)

qui est une formulation plus usuelle qui fait apparaˆıtre les diff´erents termes, constant, lin´eaires et quadratique en la matrice A.

Remarque IV.1

Dans cette th`ese n’est abord´ee que l’´etude des syst`emes `a temps continu. Cependant, les r´esul- tats sont transposables pour les syst`emes LTI incertains `a temps discret(x

k+1 =Ax

k). En effet,

la stabilit´e des syst`emes `a temps discret correspond `a laDR-stabilit´e dans le disque unit´e, soit

un choix R= 

;1 0

0 1



. La condition de Lyapunov devient A0

PA;P<0.

Le lecteur attentif peut transposer `a l’´etude des syst`emes discrets, l’ensemble des remarques qui suivent concernant laDR-stabilit´e dans des disques.

Le cas incertain

De mˆeme que pour la stabilit´e robuste, laDR-stabilit´e robuste est d´efinie par:

D´efinition IV.2

A(∆) ∆2 est robustementDR-stable ssi pour toute valeur admissible de l’incertitude,8∆2 ,

les valeurs propres de A(∆)sont dansDR.

Ce qui conduit au th´eor`eme suivant: Th´eor`eme IV.3

Un syst`eme ˙x=A(∆)x, ∆2 est robustementDR-stable ssi

– Il existe une MDP, P(∆), telle que (IV.12) pour tout∆2 et P(0)>0.

IR 2 In´egalit´es deDR-stabilit´e robuste:

1 1dA 0 (∆)  RP(∆)  1 1dA(∆)  <0 (IV.12)
1 1dA(∆)  RX(∆)  1 1dA 0 (∆)  <0 (IV.13)

72 CHAPITRE IV. STABILIT ´E ET PERFORMANCES ROBUSTES L’´etude de la localisation des pˆoles dans l’intersection de deux r´egions

_{EM I}

peut se faire de deux fa¸cons. Premi`erement, en remarquant que l’intersection des r´egions DR

1 et DR

2 est

une r´egion DR avec R=struc(R1 R2) (voir d´efinition page xi). Deuxi`emement, en prouvant

successivement laDR

1-stabilit´e robuste puis le DR

2-stabilit´e robuste. La seconde m´ethode est

toujours `a pr´ef´erer `a la premi`ere car elle revient `a r´esoudre deux probl`emes ind´ependants de petite taille au lieu d’un seul de dimension ´egale `a la somme des deux autres. Par recurrence sur le nombre de r´egions, la localisation robuste des pˆoles dans l’intersection d’un nombre fini de r´egions

_{EM I}

se fait par la r´esolution d’autant de probl`emes ind´ependants.

Dans le document Formulation générique de problèmes en analyse et commande robuste par les fonctions de Lyapunov dependant des paramètres (Page 73-77)