Algorithme K-A o it´eratif

Comparaison en minimisation du coˆut

H

2par retour d’´etat, entre l’approche par la stabili-

sabilit´e quadratique et l’algorithme K-Noit´eratif.

Etude de l’´ecart entre les coˆut obtenus en synth`ese et ceux garantis en analyse de la boucle´

ferm´ee.

Tests pour diff´erentes initialisations de l’algorithme.

Discussion sur le pessimisme relatif et la complexit´e de calcul.

Cet exemple est inspir´e du syst`eme masse-ressort de la figure II.4. On d´esire `a l’aide d’une force u, contrˆoler la position (x2), la vitesse (_mx4₂) et l’acc´el´eration (_mx˙4₂) de la masse m2. En particulier, l’objectif est de r´eduire la puissance transmise vers ces sorties z2, d’une force per- turbatrice w2 agissant sur la masse m1. La norme

H

2 du transfert de w2 `a z2 doit donc ˆetre minimis´ee sachant que le mod`ele des interactions entre les masses ainsi qu’avec le milieu ext´e- rieur sont incertaines (k1, k2 et c sont des param`etres incertains). On suppose que les positions et les vitesses des masses sont connues exactement. L’objectif est atteint `a l’aide d’un retour d’´etat.

Le syst`eme se mod´elise par:

 A(∆) B2(∆) B(∆) C2(∆) D22(∆) D2u(∆)  = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 0 _m1 1 0 0 0 0 0 0 _m1 2 0 0 ;(k1+k2) k2 ; c m1 0 1 0 k2 ;k2 0 ; c m2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 _m1 2 0 0 k2 m2 ; k2 m2 0 ; c m2₂ 0 1 m2 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

VII.4. EXEMPLES ILLUSTRATIFS 153 o`u m1=m2=1 et les param`etres incertains sont ind´ependants entre eux:

0:5k11:5 0:5k21:5 0:5c1:5

Ce mod`ele est de forme affine parall´elotopique `a no=3 param`etres incertains. Nous pouvons

appliquer sur ce mod`ele les m´ethodes de synth`ese de correcteur par retour d’´etat pour des sys- t`emes polytopiques. En tant que forme polytopique, le mod`ele est `a 2no

=8 sommets qui sont

les matrices extrˆemes, images des valeurs extrˆemes des intervalles admissibles sur k1, k2et c. Le syst`eme est compos´e uniquement d’´el´ements passifs. Le syst`emes masse-ressort avec frottement est n´ecessairement stable pour toute incertitude. Il est donc possible dans un premier temps de faire l’analyse de ce syst`eme sans correcteur. Dans ce but, quatre m´ethodes d’analyse peuvent ˆetre appliqu´ees:

– La minimisation du coˆut garanti sous les conditions

_{LM I}

(V.12), dans l’approche par la stabilit´e quadratique (Γquad:C

2 ).

– La minimisation du coˆut garanti sous les conditions

LM I

duales (V.13), dans l’approche par la stabilit´e quadratique (Γquad:B

2 ).

– La minimisation du coˆut garanti sous les conditions

_{LM I}

(V.54), (V.55), dans l’approche par les fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres (ΓMDP:C

2 ).

– La minimisation du coˆut garanti sous les conditions

_{LM I}

duales (V.56), (V.57), dans l’approche par les fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres (ΓMDP:B

2 ). Les r´esultats de ces m´ethodes d’analyse sont:

Γquad:C 2 =∞ Γ quad:B 2 =∞ Γ MDP:C 2 =1:49 Γ MDP:B 2 =1:76

L’approche par la stabilit´e quadratique n’est pas concluante car mˆeme si le syst`eme est ro- bustement stable il n’est pas quadratiquement stable. Par contre, l’approche par les fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres conclue `a la stabilit´e robuste et garantit que la norme

H

2 du transfert est inf´erieure `a 1:4899 pour toutes les incertitudes. Comme cela a ´et´e rappel´e

dans le corps de la th`ese, les deux optimisations duales convergent vers des optimaΓC₂ etΓB₂ qui peuvent ˆetre diff´erents. Ici l’´ecart est assez significatif.

Dans un second temps, nous envisageons le probl`eme de synth`ese en vue d’am´eliorer le coˆut

H

2du syst`eme. Dans ce but, deux m´ethodes de synth`ese peuvent ˆetre appliqu´ees:

– La minimisation du coˆut garanti sous les conditions

LM I

(VII.6), dans l’approche par la stabilisabilit´e quadratique (Γs:quad

2 ).

– La minimisation du coˆut garanti par optimisation it´erative sous contraintes

_{LM I}

de l’al- gorithme VII.1, dans l’approche par les fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres (Γs:MDP

154 CHAPITRE VII. SYNTH `ESE ROBUSTE La m´ethode bas´ee sur la stabilisabilit´e quadratique conduit `aΓs:quad:

2 =3:94, le correcteur asso- ci´e est: Kquad: e =
1:23 ;1:97 0:67 ;1:84 

et le temps de calcul est de moins de 10 secondes.

Au premier abord, le correcteur obtenu parait “moins bon” que le correcteur nul. Cependant, le coˆut garanti 3:94 par l’approche en stabilisabilit´e quadratique ne doit pas ˆetre compar´e aux

coˆuts calcul´es en analyse FLDP. De fa¸con `a faire la part de l’am´elioration apport´ee par la syn- th`ese et du pessimisme de la stabilit´e quadratique, nous effectuons l’analyse du syst`eme boucl´e par ce correcteur. En appliquant les quatre m´ethodes d’analyse on obtient:

Γquad:C 2 =1:99 Γ quad:B 2 =3:94 Γ MDP:C 2 =1:07 Γ MDP:B 2 =1:35

Ces diff´erents coˆuts montrent le pessimisme inh´erent `a la stabilit´e quadratique en comparai- son avec les m´ethodes issues du lemme de cr´eation.

De plus, dans ce r´esultat nous retrouvons queΓs:quad:

2 =Γ

quad:B

2 . Lors d’une synth`ese mono- objectif, dans le cadre de la stabilisabilit´e quadratique, il n’y a pas de pessimisme entre le coˆut garanti en synth`ese et en analyse. Cette remarque s’applique uniquement si la mˆeme formulation est employ´ee en analyse et synth`ese (ΓC₂ 6=Γ

B

2).

L’analyse de la boucle ferm´ee montre ´egalement que le correcteur obtenu a deux effets: il stabilise quadratiquement le syst`eme et il fait probablement diminuer le coˆut dans le pire des cas.

L’algorithme VII.1 doit ˆetre initialis´e par un correcteur stabilisant robustement le syst`eme. Suite aux ´etapes pr´ec´edentes, nous avons montr´e que le correcteur nul Ke =0 ainsi que le

correcteur issu de la synth`ese par la stabilit´e quadratique Ke=K quad:

e , conviennent. Ces deux

initialisations sont compar´ees entre elles ainsi qu’avec une initialisation alternative `a l’´etape 4 de l’algorithme. Cette initialisation revient `a choisir a priori des matrices centrales Ao2 et Co2.

Ce choix se fait en respectant la r`egle que le syst`eme “central” ainsi d´efini doit lui mˆeme ˆetre robustement stable et de coˆut garanti minimal (voir le lemme V.1 et l’exemple VII.4.2). Ici, nous choisissons Ao2=;1et Co2=0.

Pour les trois initialisations propos´ees certaines it´erations de l’algorithme sont donn´ees dans le tableau VII.5 et la convergence est illustr´ee sur la figure VII.1.

Le temps de calcul est d’environ une minute par it´eration ce qui illustre l’augmentation de la complexit´e num´erique en comparaison avec l’approche par la stabilisabilit´e quadratique. Cependant, l’augmentation du temps de calcul reste peu discriminante ´etant donn´e que tr`es peu d’it´erations suffisent pour d´epasser largement le coˆut donn´e par la stabilisabilit´e quadratique.

Les diff´erentes initialisations montrent les limites de cet algorithme semi-global. Le pro- bl`eme de synth`ese est `a l’origine bilin´eaire et il ne peut donc pas ˆetre r´esolu en temps polynˆo- mial. L’allure des courbes de la figure VII.1 t´emoigne des probl`emes de convergence attendus dans les approches de relaxations successives.

De fa¸con `a comparer les r´esultats donn´es par l’algorithme it´eratif, nous exhibons le correc- teur obtenu `a la dixi`eme it´eration (k=10) pour une initialisation Ke=0. Le coˆut garanti par la

VII.4. EXEMPLES ILLUSTRATIFS 155 k Ke=K quad: e Ke=0 Ao2=;1 C2o=0 1 Γa: 1 1.3849 1.8025 Γs: 1 1.3553 1.3428 3.1704 2 Γa: 2 1.3239 1.0531 0.9765 Γs: 2 1.3018 0.9778 0.9178 3 Γa: 3 1.2778 0.9011 0.8845 Γs: 3 1.2600 0.8714 0.8642 4 Γa: 4 1.2412 0.8423 0.8465 Γs: 4 1.2265 0.8246 0.8313 10 Γa: 10 1.1075 0.7363 0.7213 Γs: 10 1.1005 0.7330 0.7161 30 Γa: 30 0.9226 Γs: 30 0.9202

TAB. VII.5 – It´erations de l’algorithme K-Noit´eratif

0 5 10 15 20 25 30 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Nombre d’itérations Coût H2 garanti

FIG. VII.1 – Convergence de l’algorithme K-Noit´eratif

synth`ese estΓs:MDP

2 =0:73 et le correcteur associ´e est:

K_eMDP=

;0:30 ;0:66 ;0:06 ;2:23 

Pour information, les matrices centrales obtenues `a cette it´eration sont:

Ao2= 2 6 6 6 4 ;1:04 0:71 0:89 ;1:21 0:06 ;0:52 0:05 1:56 ;1:49 1:71 ;1:07 ;1:33 0:69 ;1:52 ;0:05 ;3:64 3 7 7 7 5 Co2= 2 4 ;0:03 0:46 0:05 0:33 ;0:10 0:22 ;0:03 0:23 0:53 ;1:16 ;0:23 ;3:11 3 5

L’analyse de la boucle ferm´ee par ce correcteur donne en appliquant les quatre m´ethodes d´efinies pr´ec´edemment: Γquad:C 2 =∞ Γ quad:B 2 =∞ Γ MDP:C 2 =0:46 Γ MDP:B 2 =0:66

156 CHAPITRE VII. SYNTH `ESE ROBUSTE La boucle ferm´ee n’est pas quadratiquement stable. Il semble que sur cet exemple, les correc- teurs stabilisant quadratiquement le syst`eme ne permettent pas de minimiser le coˆut

_H

2robuste. Cette remarque est confirm´ee par l’analyse des correcteurs trouv´es en initialisant avec le cor- recteur optimal pour l’approche par la stabilisabilit´e quadratique.

Contrairement au coˆut obtenu suite `a la synth`ese bas´ee sur la stabilisabilit´e quadratique, ici

Γs:MDP

2 6=Γ

MDP:B

2 . L’´ecart illustre la remarque VII.3 sur le “Shaping Paradigm” impos´e par le changement de variable sur la matrice du correcteur.

La m´ethode de synth`ese bas´ee sur les fonctions de Lyapunov d´ependant des param`etres a permis sur cet exemple, de passer le coˆut

_H

2 garanti de 1:49 initialement, `a 0:46. La m´ethode

bas´ee sur la stabilisabilit´e quadratique permet uniquement d’atteindre 1:07.

Dans le document Formulation générique de problèmes en analyse et commande robuste par les fonctions de Lyapunov dependant des paramètres (Page 157-161)