c = c <{k(1)} k + α c ={k(2)} k ˜ α = α <{k(2)} k2 − c α ={k(1)} k2
La comparaison de l'équation de transport 2.37 avec l'équation de transport semi-discrétisée 2.42 permet de dégager le rôle physique de la partie imaginaire de k(1) et k(2). La partie imaginaire de k(2) se trouve associée au terme de convection et in ue donc sur la vitesse de propagation du signal. Il introduit donc une certaine dispersion dans la solution numérique. La partie imaginaire de k(1) est associée au terme de diusion. On notera que si celle-ci est de même signe que c, elle réduit la diusion et peut générer une diusion eective négative si elle est trop importante, rendant la solution numérique instable. Il faudra donc être particulièrement vigilant quant aux valeurs prises par cette quantité.
4.3 Stabilité et respect de la relation de dispersion
Au-delà de la sous-couche visqueuse, située à proximité des parois, l'écoulement est essentiellement gouverné par les termes d'advection et il est utile de s'intéresser aux eets de la discrétisation de ces termes sur la qualité de la solution numérique. Une telle étude n'est malheureusement pas applicable aux équations de Navier-Stokes du fait de l'absence de solution analytique connue. Une approche simple, proposée par Sengutpa [14], est de considérer l'équation d'une onde circulant à la vitesse c dans un milieu non-dispersif :
∂f ∂t + c
∂f
∂x = 0 (2.43)
On suppose donc que les schémas de calcul ont des eets similaires sur la solution numérique de l'équation modèle 2.43 et sur la solution numérique de l'écoulement. Cette hypothèse forte semble justi ée dans le cas de pas de temps extrêmement petits où le comportement non-linéaire des équations de Navier-Stokes peut être considéré comme une perturbation du cas linéaire. Pour les pas de temps plus élevés utilisés en situation réelle, cette approche peut di cilement être utilisée pour certi er des bonnes propriétés de la solution numérique mais peut trouver sa place en tant qu'étape de validation intermédiaire. Il est en eet di cilement envisageable que des
schémas échouant à résoudre convenablement l'équation 2.43 puissent être adaptés à la résolution des équations de Navier-Stokes de même nature, mais beaucoup plus complexes et seul les schémas permettant d'obtenir des résultats satisfaisants sur l'équation2.43 pourront être envisagés pour la simulation.
4.3.1 Solution analytique et solution numérique
La solution analytique de l'équation modèle 2.43 peut s'écrire, dans l'espace de Fourier :
f (x, t) = Z
b
fkeι(kx−ωt)dk (2.44)
Soit, en utilisant les variables discrétisées : f (xi, n∆t) = Z b f (k, t)eι(kxi)dk Z b fke−ι(ωn∆t)eι(kxi)dk (2.45)
où la pulsation ω est liée au nombre d'onde et à la vitesse de phase c par la relation de dispersion ω = kc. La solution numérique de l'équation discrétisée en temps et en espace s'exprime de manière analogue :
f (xi, n∆t) = Z b fke−ι(ωNn∆t)eι(kxi)dk = Z b fkGneι(kxi)dk (2.46) Le paramètre G appelé facteur d'ampli cation contrôle l'évolution temporelle de la solution numérique. Dans le cas idéal, la solution numérique est identique à la solution analytique et G = e−ι(ω∆t). L'expression du facteur d'ampli cation dépend de la méthode d'avancement temporel utilisée. Dans le cas d'un avancement selon la méthode d'Euler explicite, la forme discrétisée de l'équation 2.43 s'écrit :
fn+1= Gfn= fn+ c∆t δf δx
n
(2.47) et le facteur d'ampli cation s'obtient naturellement en utilisant l'expression2.36
de la dérivée numérique à partir du nombre d'onde modi é k(1) :
G = 1 + ιck(1)∆t (2.48)
La pulsation ωN est l'équivalent de la pulsation ω de la solution analytique et s'exprime de manière analogue à partir du nombre d'onde k et de la vitesse de phase cN de la solution numérique :
ωN = kcN (2.49)
La vitesse de phase numérique cN(kh, ω∆t) ainsi que le facteur d'ampli cation G(kh, ω∆t)dépendent naturellement de la résolution spatiale et temporelle du mode considéré, c'est à dire du produit kh pour la résolution spatiale et du produit ω∆t = kc∆t pour la résolution temporelle, et tendent vers la solution analytique cN = c lorsque kh → 0 et ω∆t → 0.
4.3.2 Stabilité
La stabilité de la solution peut être évaluée par la norme du facteur d'ampli -cation |G|. La solution numérique est stable lorsque |G| = 1, c'est à dire lorsque l'amplitude des modes n'évolue pas d'une itération à l'autre. Les modes caractérisés par |G| > 1 voient leur amplitude augmenter de manière continue et sont donc in-stables tandis que les modes caractérisés par |G| < 1 sont progressivement amortis jusqu'à disparaître de la solution numérique. Il est donc important de veiller à ce que la norme du facteur d'ampli cation soit le plus proche possible de 1 de façon à garantir la stabilité et la conservation des modes.
A titre d'illustration, on peut analyser brièvement la gure2.5, tirée de Sengupta et al. [15], qui montre |G| dans le plan (kh − ω∆t) dans le cas où l'avancement temporel est assuré par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 et la discrétisation spatiale est eectuée selon une diérence nie centrée d'ordre 2. On constate que la solution est instable pour les grandes valeurs de ω∆t (|G| = 1.5). En revanche, la solution numérique est caractérisée par un facteur d'ampli cation |G| très proche de 1 pour ω∆t < 1 et conserve donc très bien l'amplitude de l'onde initiale d'une itération à l'autre. Ce dernier point est un critère important si l'on veut conserver l'énergie totale du système.
4.3.3 Respect de la relation de dispersion
La vitesse de phase c intervenant dans l'équation d'onde est identique pour l'ensemble des modes k de la solution. La vitesse de groupe Vg de la solution exacte, dé nie par :
Vg = ∂ω
∂k (2.50)
est donc strictement égale à la vitesse de phase. La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont toutes deux des propriétés fondamentales de l'équation d'onde et doivent évidemment être convenablement reproduites dans la solution numérique.
Figure 2.5 Facteur d'ampli cation dans le plan (kh − ω∆t) dans le cas où l'a-vancement temporel est eectué avec un schéma de Runge-Kutta d'ordre 4 combiné à un schéma de diérence nie centrée d'ordre 2 pour la discrétisation spatiale. La gure est tirée de Sengupta et al. [15]
Les conditions :
cN c ≈ 1 Vg
c ≈ 1 (2.51)
doivent donc être satisfaites pour les principaux modes de la solution numérique. La capacité de la solution numérique à satisfaire simultanément ces deux conditions est appelée propriété DRP dans la littérature (pour l'anglais Dispersion Relation Preservation). La vitesse de phase normalisée cN/cs'obtient directement à partir du facteur d'ampli cation G selon la relation :
c cN = arg(G) kc∆t = arg(G) ω∆t (2.52)
La vitesse de groupe normalisée est alors donnée par : Vg c = cN c + k2 ω ∂cN ∂k (2.53)
De manière générale, on estime que la solution numérique comporte de bonnes
propriétés de DRP si la vitesse de phase et la vitesse de groupe normalisées sont comprises entre 0.95 et 1.05. À titre d'exemple, la gure 2.6 présente la vitesse de groupe de la solution numérique obtenue dans le cas d'un avancement temporel assuré par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 et d'une discrétisation spatiale eectuée selon une diérence nie centrée d'ordre 2. On constate que la zone du plan (kh − ω∆t) correspondant à des bonnes propriétés DRP est beaucoup plus réduite que celle jugée satisfaisante pour le facteur d'ampli cation. Le critère de DRP nous oblige donc, dans ce cas précis, à réduire la taille h du maillage de façon à rester dans la zone hachurée quelques soient les modes apparaissant dans la solution numérique.
Figure 2.6 Iso-courbes de la vitesse de groupe dans le plan (kh − ω∆t) dans le cas où l'avancement temporel est eectué avec un schéma de Runge-Kutta d'ordre 4 combiné à un schéma de diérence nie centrée d'ordre 2 pour la discrétisation spatiale. La gure est tirée de Sengupta et al. [15]