4.2.1 Grille moyenne
On s'intéresse ici à l'intensité des uctuations des quantités d'intérêt de l'écoule-ment estimée à partir de la moyenne quadratique des uctuations. La moyenne quadratique d'une quantité q est dé nie par :
q0 = q
q0q0 (4.3)
La gure 4.8 présente la moyenne quadratique des uctuations de vitesse et de pression u0, v0, w0 et p0 obtenues sur la grille moyenne en fonction de la distance y+
aux parois pour les diérentes con gurations du code DNS. La moyenne quadratique des uctuations de vorticité est présentée dans la gure4.9. Les résultats sont com-parés avec ceux obtenus par l'approche spectrale utilisée par Moser et al. [36]. On remarque que la con guration EXPOPT et la con guration compacte fournissent des résultats similaires et en très bon accord avec ceux obtenus selon l'approche spectrale. Cette observation n'est pas surprenante au regard de la précision quasi-spectrale des schémas utilisés par ces con gurations. Les pro ls de uctuations de vitesse obtenus avec la con guration O2 dièrent légèrement pour les composantes v et w tandis que l'on constate un écart signi catif pour les intensités turbulentes de la pression ainsi que de la composante y de la vorticité.
Ces écarts entre la con guration O2 et les con gurations compactes et EXPOPT peuvent être interprétés à travers l'étude des densités spectrales de l'intensité turbu-lente. L'application du théorème de Parseval permet d'estimer la contribution C(xj)
i
d'une portion du spectre (délimitée par kmax) à l'intensité turbulente totale de la composante i de la vitesse : C(xj) i = X k∈[0,...,kmax] bu(xj) i (k)bu∗(xj) i (k) u0i2 (4.4) oùub(xj)
i est la transformée de Fourier discrète dans la direction xj considérée de la composante i de la vitesse. Le tableau4.1dresse la proportion de l'énergie turbulente comprise dans la zone de bonne précision des schémas pour les con gurations O2 et EXPOPT et pour les composantes u, v et w de la vitesse à y+ = 15. La plage retenue pour le calcul des contributions s'étend jusqu'en kx = 20et kz = 60(correspondant à kh = 2) pour les con gurations compacte et EXPOPT et jusqu'en kx = 6 et kz = 20
pour la con guration O2. Les contributions obtenues sont parfaitement cohérentes avec les pro ls d'intensité turbulente de la gure 4.8 : on remarque tout d'abord que les con gurations compacte et explicite optimisée permettent une couverture quasiment complète du spectre l'énergie turbulente quelles que soient la direction et la composante considérées et sont donc équivalentes à l'approche spectrale sur la grille utilisée. En revanche, la contribution O2 présente une couverture limitée, particulièrement pour la composante v, où près de 40% de l'énergie turbulente est portée par des modes situés en dehors de la zone de bonne précision des schémas. Ceci est conforme avec l'écart observé entre les con gurations O2 et EXPOPT pour la vitesse v dans la gure 4.8.
C1 C2 C3 O2 - Direction x 95.3 78.6 84.3 O2 - Direction z 91.3 63.1 93.3 EXPOPT - Direction x 99.9 98.8 99.6 EXPOPT - Direction z 99.9 99.5 99.97
Table 4.1 Proportion de l'énergie turbulente couverte par la résolution spectrale des schémas O2 et explicites optmisés dans les directions x et z (exprimée en pour-centage)
4.2.2 Grille grossière
Dans cette section, on se propose de comparer les statistiques obtenues sur la grille grossière avec les résultats obtenus sur la grille moyenne a n d'évaluer l'eet de la dégradation du maillage pour les diérentes con gurations. La gure 4.10, analogue à la gure 4.8 sur la grille G1, montre les pro ls d'intensité des uctu-ations de vitesse et de pression. Comme indiqué précédemment, un ltrage a été appliqué dans les con gurations compacte et explicite optimisée a n de réduire les eets d'aliasing dus à la faible résolution de la grille. Les résultats obtenus pour la con guration EXPOPT sans ltrage sont également montrés à titre de comparaison (cas EXPOPT-AL).
L'accord des courbes obtenues avec le cas ltré avec les résultats issus de la grille moyenne est légèrement meilleur que pour le cas non ltré, particulièrement pour la composante longitudinale de la vitesse. Sur l'ensemble des statistiques, l'eet du ltrage est plus limité mais tend à rapprocher les résultats obtenus sur la grille grossière des résultats obtenus sur la grille moyenne.
Il est intéressant de constater que malgré une résolution divisée par deux dans les directions y et z, les résultats obtenus par les con gurations EXPOPT et compacte sont en bon accord avec ceux obtenus sur la grille G1. Dans la direction y, la taille des mailles au centre du canal est de ∆y+ = 11et n'est pas sensiblement supérieure aux tailles généralement utilisées dans la littérature (∆y+ = 8 dans l'étude de Hoyas et al. [38]). La direction y est par ailleurs relativement bien résolue à prox-imité des parois où la taille des mailles est de ∆y+ = 1 et est inférieure à l'échelle de Kolmogorov (tailles des plus petites structures). En n dans la direction z, les schémas explicites optimisés fournissent une excellente précision jusqu'en kh = 2. Ce kh correspond approximativement à k = 30. Une application du théorème de Parseval montre que cette zone de bonne résolution spectrale (k < 30) concentre près de 97%, 89% et 99% de l'énergie cinétique des composantes u, v et w de la vitesse. Les bons résultats obtenus avec les con gurations compacte et EXPOPT s'expliquent donc d'une part par l'utilisation d'une résolution raisonnable dans la direction y et d'autre part, par les résolutions spectrales élevées des schémas utilisés. A l'opposé, les modes situés au-delà de la zone couverte par la résolution spec-trale des schémas d'ordre O2 (kh > 0.6) représentent près de 80% de l'intensité turbulente de la composante v et près de 40% des intensités des composantes u et w. Le décrochage de la con guration O2 trouve donc une explication évidente dans la résolution spectrale réduite des schémas d'ordre 2 qui exclut une partie signi cative de l'intensité uctuante.