Prolage du code

L'environnement logiciel sur TURING propose des outils de prolage permettant d'évaluer les diérents coûts numériques an de s'assurer de la bonne optimisation

des diérentes parties du code. Les résultats présentés ici ont été obtenus avec le logiciel Scalasca [40] qui rajoute des procédures de mesure avant et après chaque appel de fonction dans le code de façon à déterminer le temps passé dans chacune d'elles. Cet ajout est eectué durant la phase de compilation du code.

Un prolage du code a été réalisé dans le cas d'une simulation de 1000 itérations sur une grille de 2048 × 512 × 512 points sur 2048 processus. Les coûts des commu-nications sont une donnée particulièrement importante dans le cas d'un parallélisme à mémoire distribuée, et plus particulièrement dans notre cas où l'utilisation d'une décomposition 2D peut induire des coûts relativement importants. Par ailleurs, si la précision des schémas explicite optimisé et compact a été grandement discutée et validée dans les parties précédentes, la question du coût numérique de ces congu-rations n'a jusqu'alors pas été abordée. Le tableau 4.3 montre le temps passé dans les communications par itération ainsi que celui passé dans les schémas de calcul pour les congurations compact et explicite optimisé. Les coûts des schémas ont été obtenus en faisant le somme des coûts indiqués pour les diérents schémas D0s, D1s, D1c et D2c utilisés.

Temps/it. (s) Communications Schémas Poisson EXPOPT 1.389 0.620 (44.6%) 0.266 (19.1%) 0.571 (41.1%)

CPT 2.153 0.645 (30.0%) 1.064 (49.4%) 0.574 (26.7%) Table 4.3  Temps passé dans les communications, les schémas de calcul et la résolution de l'équation de Poisson pour les congurations explicite optimisée (EX-POPT) et compacte (CPT) pour une exécution parallèle sur 2048 processus sur le maillage 2048 × 512 × 512

Les temps de communication représentent une fraction signicative d'environ 30 à 40% du temps de calcul, imputable aux opérations de transposition (environ 50) des tableaux 3D eectuées dans le cadre de l'approche de décomposition 2D. Ce surcoût relativement important, inhérent à l'approche de décomposition 2D, a déjà été discuté dans le premier chapitre et reste tout à fait acceptable au regard de la simplicité de cette approche et des économies réalisées en temps de développe-ment par rapport à l'approche de décomposition 3D. Il est à noter qu'une fraction importante du temps de calcul est dépensée en dehors des schémas et des commu-nications, principalement dans la résolution de l'équation de Poisson qui représente près de 40% du coût numérique dans le cas de la conguration EXPOPT.

Le temps passé dans les schémas est près 4 fois moindre pour la conguration EXPOPT que pour la conguration compacte de précision analogue. La congura-tion explicite optimisée sera donc utilisée pour l'ensemble des simulacongura-tions à venir.

Il est important de souligner que ces résultats, qui justient le choix de la congu-ration explicite optimisée sur la machine TURING, ne permettent pas de tirer des conclusions plus générales sur les performances relatives des schémas compacts et explicites optimisés qui dépendent fortement de l'architecture d'exécution et de l'im-plémentation des schémas. Notamment, et malgré le soin apporté à l'iml'im-plémentation des schémas dans notre code, il est dicile de garantir une implémentation parfaite-ment optimisée, particulièreparfaite-ment pour les schémas compacts dont la résolution est relativement complexe au regard des schémas explicites optimisés.

6 Conclusions

L'utilisation de schémas à haute précision, compacts ou explicites optimisés, permet d'atteindre une précision équivalente à celle des codes DNS basés sur une résolution spectrale des équations de Navier-Stokes. Les statistiques de vitesse et de pression obtenues par les congurations compacte et EXPOPT sont en eet très proches des résultats obtenus par Moser et al. [36] selon une approche spectrale sur un maillage équivalent, à la diérence des résultats de la conguration O2 qui dièrent sensiblement du cas spectral. La diérence entre les congurations à haute précision et la conguration O2 est accentuée par l'utilisation d'une grille grossière : les résultats de la conguration O2 sont alors fortement dégradés tandis que les ré-sultats des congurations EXPOPT et compactes restent relativement proches de ceux obtenus sur la grille classique. Ces résultats conrment donc la capacité des schémas explicites optimisés ou compacts à atteindre une excellente précision sur des grilles classiques tout en conservant une précision convenable sur des grilles plus grossières. L'étude des solutions de réduction de l'aliasing réalisée dans la section

4.1 a montré que le ltrage de la solution numérique toutes les 100 itérations per-mettait de réduire ecacement l'aliasing tandis que l'eet produit par l'utilisation de schémas de dérivée seconde sur-dissipatifs est relativement marginal. C'est donc cette méthode qui sera utilisée par la suite.

L'étude des performances du code montre que les schémas explicites optimisés sont près de quatre fois plus rapides que les schémas compacts et seront donc util-isés par la suite. Enn, le code DNS a été exécuté sur le supercalculateur TURING an d'étudier ses performances parallèles. Les courbes d'accélération et d'ecac-ité obtenues sont proches du cas théorique et indiquent une bonne extensibild'ecac-ité du code (de l'ordre de 16000 processus) pour le maillage testé. Ces résultats valident

la qualité de la parallélisation et autorisent l'utilisation du code pour la simula-tion d'écoulements à grands nombres de Reynolds nécessitant un nombre élevé de processus.

Généralisation du code numérique

1 Introduction

Dans le cas d'écoulements incompressibles, la résolution de l'équation de Poisson constitue une étape clé dans la stratégie numérique globale et concentre l'essen-tiel des dicultés. L'approche spectrale, consistant à résoudre l'équation de Poisson dans l'espace de Fourier, généralement utilisée en raison de son coût numérique ré-duit, est de prime abord dicilement applicable aux directions non périodiques de l'écoulement ainsi que lorsque la grille utilisée n'est pas uniforme.

Dans le code DNS initial, la résolution de l'équation de Poisson 3.16 s'eectue selon une approche  hybride  consistant à travailler dans l'espace de Fourier pour les directions périodiques et uniformes x et z et à travailler dans l'espace physique pour la direction normale aux parois y. Dans le cas de l'utilisation du schéma de dérivation standard d'ordre 2, le coût numérique induit par ce passage dans l'espace physique est relativement modeste au regard de la liberté apportée dans le choix du maillage et des conditions aux limites. En revanche, les schémas de précision plus élevée impliquent un plus grand nombre de points voisins (tels que les schémas explicites optimisés ou compacts vus précédemment) et rendent la résolution du système3.17beaucoup plus coûteuse en raison de la taille de la matrice M à inverser. En outre, une résolution dans l'espace physique sur plus d'une direction comporte un coût relativement élevé et est donc dicilement envisageable. L'approche  hybride  introduite pour contourner les limitations des résolutions spectrales est nalement assez limitée et peu adaptée à la simulation de congurations d'écoulements variées ou à l'utilisation de schémas de calcul explicites optimisés ou compacts.

L'approche spectrale pure, proposée par Laizet et al. [30], consiste à utiliser une

transformation de maillage adaptée à une résolution spectrale, c'est-à-dire pouvant être décomposée en un petit nombre de modes de Fourier. L'étude de Laizet et al. [30] propose par ailleurs de modéliser les conditions aux limites non-périodiques (condi-tions d'adhérence ou de surface libre par exemple) par des condi(condi-tions symétriques ou antisymétriques pouvant être compatibles avec une décomposition en série de Fourier. Cette approche a permis d'étendre considérablement la portée du code DNS. Ce chapitre présente les extensions apportées au code DNS ainsi que les résul-tats obtenus. Dans un premier temps, l'approche spectrale pure sera présentée et appliquée au cas de conditions aux limites génériques et d'une direction irrégulière. Les diérentes sections du chapitre seront ensuite consacrées aux détails de l'im-plémentation des nouvelles fonctionnalités du code. Les résultats obtenus seront également présentés et validés par comparaison avec les travaux déjà publiés dans la littérature.

2 Implémentation d'une approche spectrale générique

pour la résolution de l'équation de Poisson

Cette section présente une vue d'ensemble des stratégies développées par Laizet et al. [30] et mises en ÷uvre dans le code DNS. L'approche présentée ici peut être appliquée à des congurations d'écoulement relativement complexes, généralement hors de portée des approches spectrales classiques.