En raison de leur nature non-linéaire, le calcul des termes d'advection ne peut se faire que selon une méthode explicite n'impliquant que les champs de vitesse connus à l'itération courante où aux itérations précédentes. En revanche, la nature linéaire des termes de diusion autorise l'utilisation de méthodes implicites telles que la méthode de Crank-Nicholson.
On distingue alors deux grandes approches selon que la méthode d'avancement temporel utilisée pour les termes de diusion est, comme pour les termes d'advec-tion, de nature explicite (approche explicite pure) ou de nature implicite (approche
semi-implicite).
Nous verrons dans cette partie que l'approche semi-implicite utilisée dans le code DNS initial ore généralement une stabilité accrue mais que ses eets sur le coût numérique ne sont pas négligeables et dépendent étroitement des schémas de calcul utilisés. La pertinence de cette approche sera donc reconsidérée dans le contexte de la nouvelle version du code numérique utilisant des schémas de calcul plus complexes. 3.1.1 Approche explicite pure
Comme indiqué précédemment, l'approche explicite pure repose sur l'utilisation de méthodes d'avancement temporel explicites pour les termes d'advection et de diusion (TDif f et TAdv) de l'équation de Navier-Stokes. En utilisant les formes discrétisées D et L des opérateurs divergence et laplacien, les termes d'advection et de convection sont approximés par :
TAdv + TDif f = αk∆t −Duiu + 1 RePLui k + βk∆t −Duiu + 1 RePLui k−1
Dans le code DNS, l'avancement temporel peut être eectué selon le schéma d'Adam-Bashforth d'ordre 2 ou selon le schéma de type Runge-Kutta d'ordre 3 (RK3) proposé par Spalart et al [32]. Les valeurs des coe cients sont α1,2,3 = [158,125,34] et β1,2,3 = [0, −1760, −125] pour le schéma de Runge-Kutta utilisé. Dans le cas du schéma d'Adam-Bashforth dé ni par α1 = [32] et β1 = [−12], l'avancement temporel est eectué en une seule étape (nk = 1) à partir du champ de vitesse à l'itération courante et à l'itération précédente (exposant k − 1 dans l'expression ci-dessus).
3.1.2 Approche semi-implicite
L'approche semi-implicite, adoptée dans la version initiale du code DNS, re-pose sur l'utilisation conjointe de méthodes d'avancement explicites pour les termes d'advection de l'équation de Navier-Stokes (termes d'advection) et de méthodes im-plicites pour les termes de diusion. Les termes d'advection sont approximés par la méthode d'Adam-Bashforth ou RK3 :
TAdv = αk∆t (−Duiu)k+ βk∆t (−Duiu)k−1
La méthode de Crank-Nicholson est alors souvent utilisée pour les termes de
diusion en raison de son caractère inconditionnellement stable : TDif f = γk∆t
2RePL uk
i + uk+1i + O(∆t2) où γk= αk+ βk.
Cette approche confère à la solution numérique une stabilité accrue par rapport à l'approche explicite pure, particulièrement dans le cas d'écoulements peu turbulents. En eet, certaines méthodes implicites telles que la méthode de Crank-Nicholson se révèlent inconditionnellement stables lorsqu'elles sont appliquées à une équation modèle de nature diusive. Les méthodes d'avancement implicites semblent donc être un choix particulièrement intéressant pour l'avancement des termes de diusion. Toutefois, l'utilisation de méthodes implicites comporte un coût qui, s'il est tout à fait acceptable dans le code initial, demande à être évalué dans le contexte du nouveau code en raison des nouveaux schémas de calcul utilisés (plus complexes). À cette n, on considère l'équation discrétisée en temps dans laquelle les termes diusifs sont avancés selon l'approche de Crank-Nicholson (ordre 2). Pour simpli er, les autres termes de l'équation sont regroupés dans le terme T :
uk+1i = uki + γk∆t 2RePL uk
i + uk+1i + T
En posant M =I − γk∆t
2RePL, le champ de vitesse à la sous-étape k+1 est donné par :
Muk+1
i = uki + γk∆t 2RePLuk
i + T
Par ailleurs, dans l'hypothèse d'un nombre de Reynolds élevé, le terme γk∆t 2RePLuk+1
i
est négligeable devant uk+1
i . On peut donc eectuer l'approximation d'ordre 3 :
Muk+1 i = I − γk∆t 2ReP(L1+ L2+ L3) uk+1i = M1M2M3uk+1i + O(∆t3) (3.11) avec Mi = I − γk∆t
2RePLi. La résolution de l'équation à l'étape suivante k + 1 s'eectue alors par trois résolutions successives (une pour chaque matrice M) dont le coût dépend fortement de la nature des matrices et donc des schémas utilisés pour l'opérateur laplacien discrétisé.
A n de ne pas réduire la portée de cette étude, on s'intéresse au cas général des schémas compacts (on rappelle que les schémas explicites sont un cas particulier de schémas compacts). Avec les notations du chapitre précédent, l'opérateur Li peut s'écrire : Li = A−1i Bi.
La première inversion porte sur la matrice M1 qui comporte, du fait de la nature globale des schémas compacts, un très grand nombre de coe cients. La complexité du système peut toutefois être réduite en multipliant chaque côté de l'équation3.11
par A1. Soit, en posant u23 = M2M3uk+1i : A1M1u23= A1 uki + γk∆t 2RePLuk i
La matrice A1M1 étant dé nie par : A1M1 = A1 I − γk∆t 2ReP L1 = A1 − γk∆t 2ReP B1
On procède ensuite de manière analogue avec les matrice M2 et M3 pour déter-miner le champ de vitesse à l'étape k + 1. Le coût de chacune des trois étapes de résolution dépendra évidemment de la nature des matrices A et B.
Dans le code initial, l'utilisation d'un schéma explicite d'ordre 2 impliquant seule-ment le point voisin gauche et le point voisin droit du point d'intérêt confère à la matrice B une forme tri-diagonale. Par ailleurs, en raison de la nature explicite du schéma, la matrice A est équivalente à la matrice unité. Les matrices Mi résultantes sont donc de nature tri-diagonale et par conséquent parfaitement adaptées à des al-gorithmes de résolution e caces tels que la décomposition LU. L'approche implicite avait donc été adoptée en raison de sa stabilité et de son coût numérique acceptable. Dans le cas des schémas compacts ou des schémas explicites optimisés, le nom-bre de points voisins impliqués dans le calcul du laplacien est sensiblement plus important (entre 3 à 6 points). Les matrices A et B sont donc beaucoup plus com-plexes et rendent l'inversion du système numériquement très coûteuse. L'approche semi-implicite n'est donc pas utilisée dans la nouvelle version du code.
3.1.3 Conclusions
L'approche explicite pure sera donc adoptée dans la nouvelle version du code en raison de son coût numérique réduit et de sa généricité. Bien que, dans l'absolu, les
schémas explicites orent une stabilité moindre, l'utilisation de tels schémas n'aecte pas sévèrement la stabilité globale de la solution numérique dans le contexte de cette étude. En eet, dans le cas des écoulements à grand nombre de Reynolds, les termes d'advection deviennent prédominants. Ainsi, la taille du pas de temps est davantage déterminée par la discrétisation des termes d'advection que par celle des termes de diusion. L'adoption d'une stratégie explicite pure ne devrait donc pas être pénalisante pour le temps de calcul.