présenté ci-dessus. Les détails et les calculs complets sont disponibles dans l’article qui est reproduit dans la section suivante. Je discute également brièvement ici des limites de notre modèle.
4.2.1 Stabilité des cristaux de particules passives entrainées par une force extérieure
4.2.1.1 Stationnarité
Comme cela a été mentionné au paragraphe précédent, la première chose à faire avant de réaliser une étude de stabilité linéaire est de vérifier la stationnarité de l’état non per- turbé. Dans le cas des cristaux de particules passives, on montre facilement que les cristaux sont stationnaires, et ce quelle que soit l’orientation initiale des particules. Le cas parti- culier où toutes les orientations sont initialement alignées est donc bien sûr stationnaire. Cette stationnarité découle des symétries des réseaux de Bravais. Par définition, un réseau de Bravais est invariant par toute translation suivant (Ri−Rj) où Ri et Rj sont les posi- tions de deux noeuds du réseau. En se servant de cette propriété, on montre facilement que l’équation Eq. 4.3 implique que ∂t(Ri −Rj) = 0 quels que soient i et j et donc que
4.2. Stabilité des cristaux hydrodynamiques : principaux résultats 73
la structure spatiale est stationnaire. Par ailleurs, l’invariance des réseaux de Bravais sous la transformation de parité r → −r, implique que le tenseur des taux de déformation du fluide, E, est nul au niveau des noeuds du réseau. L’équation Eq.4.4 implique alors que l’orientation des particules est également stationnaire.
4.2.1.2 Stabilité linéaire
Pour les cristaux de particules passives, le système linéaire 4.5 qui découle de la li- néarisation des équations du mouvement et du passage dans l’espace de Fourier prend la forme : ω δX δY θ = M1 M2 0 M2 −M1 0 M3 M4 0 δX δY θ (4.6)
En regardant la structure de la matrice de stabilité M, on s’aperçoit tout de suite que les per- turbations en orientation n’ont pas d’effet sur la structure spatiale des cristaux. Cela découle du fait que, dans le cas des particules passives, l’orientation du couplage dipolaire entre les particules est fixée par la direction de la force extérieure et non pas par l’orientation des particules. Au contraire, les perturbations en position influent à la fois sur la struc- ture spatiale et sur la structure orientationnelle. Aussi, puisque la troisième colonne de la matrice M est nulle, ω = 0 est valeur propre du système pour le mode propre (0,0,1) qui correspond aux perturbations en orientation uniquement. Ainsi, si on perturbe uniquement l’orientation des particules et non leur position, rien ne se passe. Les deux autres valeurs propres de M sont ω± = ±qM2
1+M22. En utilisant la symétrie du couplage dipolaire entre les particules, on montre aisément que ces valeurs propres sont toujours réelles, quel que soit le réseau de Bravais. Ce résultat montre que les structures spatiale et orientationnelle des cristaux de particules passives sont stables à l’ordre linéaire. Les perturbations autour de l’état cristallin se propagent sans se dissiper mais sans croître non plus. Ces "phonons" généralisent l’observation faite par l’équipe de R. Bar-Ziv sur la propagation d’ondes de densité dans des cristaux unidimensionnels de gouttes en géométrie confinée [20]. Dans l’article inséré dans la section suivante, on utilise une approximation de type "plus proches voisins" pour calculer explicitement les coefficients de la matrice M. Cela nous permet de trouver des expressions approchées pour les relations de dispersion des "phonons" pour les différents réseaux de Bravais. Une analyse des modes propres nous renseigne également sur les directions de propagation des différentes déformations de la structure translationnelle et/ou orientationnelle.
4.2.2 Stabilité des cristaux de particules actives
4.2.2.1 Stationnarité
Le résultat sur la stationnarité des cristaux de particules passives est facilement géné- ralisable au cas des particules actives. Bien sûr, il faut que l’orientation initiale de toutes les particules soit la même, à défaut de quoi ∂t(Ri−Rj)ne pourrait pas être nul. Dans le cas où toutes les orientations sont alignées, les équations ont la même forme que dans le cas des cristaux de particules passives et la stationnarité découle des mêmes propriétés de symétrie que celles mentionnées plus haut.
4.2.2.2 Stabilité linéaire
Contrairement au cas des particules passives, les perturbations en orientation dans les cristaux de particules actives influent sur le déplacement des particules. Cela est dû au fait que la direction de nage de la particule est fixée par son orientation. De même, la direction de la perturbation dipolaire à l’écoulement engendrée par chaque particule dépend de l’orientation de celle-ci. Pour les cristaux de particules actives, il est pertinent de considérer séparément le cas où les nageurs sont isotropes et le cas où ils sont anisotropes.
Nageurs isotropes Pour les nageurs isotropes, γ = 0 et l’équation Eq. 4.4 se résume à
∂tˆpi = 0. L’orientation de toutes les particules est fixée par l’orientation initiale et n’évo- lue pas. En effet, pour faire tourner des particules isotropes, il faudrait leur appliquer un couple. Or on a vu au chapitre précédent que l’écoulement en géométrie quasi-2D est po- tentiel et qu’il est donc irrotationnel. Il ne s’exerce donc aucun couple qui pourrait conduire à un changement d’orientation des nageurs. La matrice de stabilité définie dans l’équation Eq.4.5prend alors la forme :
M= M1 M2 M5 M2 −M1 M6 0 0 0 (4.7)
Les coefficients M1 et M2 sont les mêmes que ceux de l’équation Eq. 4.6 à condition que l’orientation des nageurs soit la même que celle de la force extérieure dans le cas des particules passives. On montre facilement que les valeurs propres sont identiques à celles trouvées dans le cas des cristaux de particules passives. Les cristaux constitués de nageurs isotropes nageant dans la même direction sont donc marginalement stables. Ils donnent lieu à la propagation de phonons qui obéissent aux mêmes relations de dispersion que dans le cas des particules passives.
Nageurs anisotropes Pour les nageurs anisotropes, γ 6= 0 et l’orientation et le déplace- ment des particules sont couplés de manière réciproque. On ne peut pas dans ce cas obtenir