de résultats généraux sur la stabilité linéaire des cristaux. La stabilité dépend maintenant de la symétrie du réseau ainsi que de la fraction surfacique en particules. Ainsi pour les réseaux carrés et rectangulaires, on montre que la stabilité dépend d’un paramètre lié à la fraction surfacique. Si les cristaux sont dilués, ils sont linéairement stables et des ondes de densité et d’orientation se propagent. Pour les cristaux denses, il existe des modes instables qui détruisent la structure cristalline. Les réseaux hexagonaux, obliques et faces centrées sont toujours instables.
4.2.3 Limites du modèle
Le modèle présenté ci-dessus présente bien sûr des limites. Tout d’abord, il faut noter que notre étude s’applique au cas de particules faiblement anisotropes. En effet, l’équation Eq.4.3suppose que le coefficient de mobilité µ est un scalaire. En principe, la mobilité d’une particule anisotrope est décrite par un tenseur d’ordre 2 qui relie la vitesse de translation de la particule à la force de traînée exercée sur celle-ci. Pour une particule anisotrope, ce tenseur n’est pas diagonal. Le modèle pourrait être étendu facilement au cas de particules fortement anisotropes mais les calculs deviennent alors encore plus fastidieux.
Aussi, si la stabilité linéaire des cristaux composés de particules passives est un résultat exact de notre modèle, l’analyse de stabilité pour les cristaux de particules actives aniso- tropes a été réalisée à l’aide d’une approximation de type "plus proches voisins". L’uti- lisation d’une telle approximation demande à être justifiée compte tenu du fait que les interactions hydrodynamiques sont de longue portée. Néanmoins, notons qu’une approxi- mation de ce type a déjà donné des résultats qualitativement corrects dans le cas 3D où les interactions hydrodynamiques décroissent encore plus lentement [24].
Enfin, notre étude considère des cristaux parfaits de taille infinie. En pratique, on ne peut bien sûr pas obtenir des cristaux infinis dans des dispositifs réels. L’étude de la dynamique des bords de structures cristallines de taille finie est donc nécessaire pour appréhender l’utilisation de suspensions cristallines dans des dispositifs microfluidiques. Dans la sec- tion 4.3, je présente le travail expérimental que j’ai réalisé au tout début de ma thèse sur la dynamique de petites structures ordonnées de particules en écoulement dans des disposi- tifs microfluidiques.
4.3 Perspectives
Comme mentionné plus haut, il est intéressant d’étudier les effets de bords et plus gé- néralement la dynamique de structures cristallines de taille finie. Au début de ma thèse, j’ai mis au point le montage de "flow lithography" décrit dans la section 2.4 du chapitre 2
et qui permet de fabriquer in situ des particules polymères solides. La forme et la posi- tion initiale des particules sont fixées par le motif dessiné sur le masque de lithographie. Grâce à cette technique, on peut étudier le comportement sous écoulement de plusieurs
dizaines de particules positionnées de manière précise dans un canal microfluidique. Nos expériences consistent à fabriquer des cristallites de maille carrée composés de plusieurs dizaines de particules (Fig 4.5). Les particules ont une forme cylindrique. Leur taille est fixée par le grossissement de l’objectif utilisé pour conjuguer le plan du masque avec celui du dispositif. Dans nos expériences, les particules ont un diamètre de 50µm et sont initiale- ment distantes, centre à centre, de 100µm. On étudie la dynamique de ces cristallites dans deux situations. La première où la direction de l’écoulement est alignée avec l’axe principal du cristallite. La figure Fig. 4.5 a. montre l’évolution d’un cristallite de maille carrée dans cette situation. La seconde où la direction de l’écoulement est inclinée de 45˚ par rapport à l’axe du cristallite. La figure Fig.4.5 b. montre la déformation du cristallite sous ce type d’écoulement. Dans les deux situations, on observe que la structure cristalline est instable à cause des effets de bord. De plus, on remarque que le front avant a tendance à vouloir minimiser sa courbure alors que le front arrière, lui, voit sa courbure augmenter. Cette phénoménologie peut être comprise de manière très qualitative en s’intéressant à la symé- trie des perturbations dipolaires engendrées par les particules. La figure Fig.4.6 illustre le raisonnement. Notons tout d’abord que deux particules placées sur le même axe perpen- diculaire à l’écoulement sont plus rapides qu’une particule isolée puisque chacune d’elles est accélérée par la perturbation engendrée par l’autre (Fig4.6 a.). Si les deux particules ne sont pas contenues dans un axe parallèle ou perpendiculaire à l’écoulement, elles se dé- placent selon un angle non nul par rapport à la direction de l’écoulement (Fig.4.6b. et c.). Ce déplacement des particules dans la direction transverse à l’écoulement semble pouvoir expliquer en partie la stabilisation des fronts avants et la déstabilisation des fronts arrières (Fig. 4.6d. et e.). Notons cependant que le déplacement des particules s’accompagne d’une modification de la densité locale qui induit bien sûr une dynamique plus complexe.
La phénoménologie reportée ci-dessus pour les cristallites carrés a déjà été observée dans des simulations numériques effectuées par l’équipe de J. Blawzdziewicz [27]. Ils ont étudié l’écoulement d’un cristallite carré constitué de 1000 particules. Les particules sont confinées tel que H/d=1.1, avec H la hauteur du canal et d le diamètre des particules. L’algorithme de calcul utilisé pour la dynamique des particules est complexe puisqu’il prend à la fois en compte les perturbations à l’écoulement en champ proche et en champ lointain. On voit que dans les deux situations (écoulement aligné avec l’axe du cristal ou orienté de 45˚ par rapport à celui-ci), la simulation donne des résultats qualitativement similaires à nos expériences (Fig.4.7). De notre côté, nous avons simulé l’écoulement de cristallites carrés en n’utilisant que le couplage dipolaire entre les particules (champ lointain). On obtient également un accord qualitatif avec nos expériences mais l’accord fait défaut au niveau quantitatif. Cela peut être dû à plusieurs raisons : dans nos expériences, il est difficile d’ob- tenir des particules réellement monodisperses (pour cela il faut que l’optique du montage de "flow lithography" soit de très bonne qualité). Aussi, comme les particules sont solides, des défauts à la surface du canal peuvent perturber le mouvement des particules.
4.3. Perspectives 77
a.
b.
Figure 4.5: Ecoulement de cristallites 2D de 7×7 particules cylindriques de diamètre 50 µm. A partir de t = 0, on impose un écoulement de vitesse et de direction constantes. Barres d’échelle : 200 µm a. Déformation d’un cristallite carré sous un écoulement orienté suivant un axe principal de la maille. A gauche, le cristallite au temps t = 0. A droite, le cristal- lite après 38 s d’écoulement. Vidéo disponible à l’adresse suivante : ❤tt♣✿✴✴❜❧♦❣✳❡s♣❝✐✳ ❢r✴♥✐❝♦❧❛s❞❡sr❡✉♠❛✉①✴❢✐❧❡s✴✷✵✶✹✴✵✾✴❝❛rr❡s❡✉❧❴P❈✳❛✈✐. b. Déformation d’un cristallite carré sous un écoulement orienté à 45˚ par rapport à l’axe principal de la maille. A gauche, le cristallite au temps t = 0. A droite, le cristallite après 48 s d’écoulement. Vidéo dis- ponible à l’adresse suivante :❤tt♣✿✴✴❜❧♦❣✳❡s♣❝✐✳❢r✴♥✐❝♦❧❛s❞❡sr❡✉♠❛✉①✴❢✐❧❡s✴✷✵✶✹✴✵✾✴ ❝❛rr❡s❡✉❧❜✐s❴P❈✳❛✈✐.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
a.
b.
c.
d.
e.
Figure 4.6: Illustration du mécanisme de stabilisation et de déstabilisation des fronts. Les flèches noires indiquent la direction de l’écoulement les flèches colorées indiquent la di- rection de la perturbation induite par l’autre particule. a. Des particules sur le même axe perpendiculaire à l’écoulement sont plus rapides qu’une particule isolée. b. et c. Deux par- ticules qui ne sont pas sur un axe parallèle ou perpendiculaire à la direction du fluide s’écoulent selon un angle non nul par rapport à la direction de l’écoulement imposé. d. et e. Ecoulement qualitatif de chaînes de particules.
Au niveau de la simulation, on ne prend pas en compte la modification des interactions en champ proche bien qu’on voit dans nos expériences qu’au cours du temps, certaines particules se rapprochent à tel point que l’approximation de champ lointain n’est peut-être plus valable.
Pour le moment, nous n’avons pas de modèle simple qui nous permette de prédire de ma- nière quantitative l’évolution du contour des cristallites. Le saut de densité au niveau des bords ne permet pas de linéariser les équations du mouvement.
4.4. Article "Active and driven hydrodynamic crystals" 79