Le spin

8.4.1 Fonctions propres pour L b

Revenons sur les calculs effectués à propos du moment cinétique angulaire.

Nous considérons l’opérateur Lb_z agissant sur L²(R³,C)∩ C^∞(R³\ {0},C) et nous recherchons les vecteurs propres φ ∈L²(R³,C)∩ C^∞(R³\ {0},C)pour Lbz avec la valeur propre `z. Cela signifie que :

Lbzφ = (bxpby−ybpbx)φ= ~ i

x∂φ

∂y −y∂φ

∂x

=`zφ. (8.2) Considérons alors la famille de fonctions (φθ)_θ∈R, définie par

φθ(x, y, z) :=φ(xcosθ−ysinθ, xsinθ+ycosθ, z), ∀(x, y, z)∈R³\ {0}. Alors, en utilisant (8.2) on obtient, notant xθ := xcosθ −ysinθ et yθ :=

xsinθ+ycosθ, que d

dθ (φθ(x, y, z)) = −yθ

∂φ

∂x(xθ, yθ, z) +xθ

∂φ

∂y(xθ, yθ, z)

= i

~Lbzφ

(xθ, yθ, z)

= i

~`zφ(xθ, yθ, z)

= i

~`zφθ(x, y, z).

Nous en concluons que

dφθ

dθ = i`z

~ φ_θ.

Nous pouvons intégrer cette équation différentielle ordinaire à valeurs dans C^∞(R×(R³\ {0})): nous trouvons que

φθ =e^{iθ`z~</sup> φ0 =e<sup>iθ`z~} φ.

Nous remarquons alors qu’il découle de la définition de φ_θ que nous devons avoir φ2π =φ, ce qui n’est possible que si ^2π`_~^z ∈2πZ, c’est à dire

`z =~m, oùm ∈Z.

Nous retrouvons ainsi une condition nécessaire sur`zanalogue à celle obtenue à l’exercice (19), à la différence qu’icim est nécessairement entier et ne peux pas être un demi-entier. Donc siφest en même temps un vecteur propre pour Lb², cela ne peut être qu’avec une valeur propre de la forme j(j+ 1)~², où j est un entier positif.

8.4.2 Retour sur le moment cinétique angulaire

Rappelons à nouveau les résultats de l’Exercice (19). On considère un espace de Hilbert hermitien H et des opérateurs auto-adjoints hermitiens Jbx, Jby et Jbz agissant de H dans lui-même. On note

b~ J =



 Jbx

Jby

Jbz



 et Jb² :=

Jbx

2

+ Jby

2

+ Jbz

2

et on suppose que ces opérateurs satisfont les relations J ,b~ Jb²

= 0 et Jb~×bJ~=i~J.b~

AlorsHse décompose³en une somme directe⊕a∈AHA, où chaque sous-espace Ha satisfait les propriétés suivantes :

– Ha est stable par Jb~, i.e.∀φ ∈ Ha, Jbxφ, Jbyφ,Jbzφ∈ Ha

– Haest un sous-espace propre deJb² pour une valeur propreja(ja+ 1)~², avec 2j_a ∈N

– H^a est irréductible, i.e. les seuls sous-espaces de H^a stables par Jb~ sont Ha et {0}.

– Enfin, on peut décomposer chaque sous-espace Ha =⊕^j_m=−j^a aC|a, j_a, mi,

3ici, soit Hest de dimension finie et alors il n’y a pas de difficulté particulière, soit H est de dimension infinie et alors, nous devons supposer que H est séparable et que les composantes deJb~sont des opérateurs compacts (cf. H. Brezis,Analyse fonctionnelle, Masson) pour obtenir ce résultat. Alors la somme est hilbertienne, ce qui signifie que A est un ensemble dénombrable et⊕^a∈AH^Aest dense dansH. Dans le cas où les opérateurs ne sont pas compacts, un résultat similaire s’obtient, mais son énoncé, en terme de me-sure spectrale, est plus compliqué (cf. T. Kato,Perturbation theory for linear operators, Springer).

où Jbz|a, ja, mi=m~|a, ja, mi et⁴ (Jbx±iJby)|a, ja, mi ∈C|a, ja, m±1i. Ce résultat permet de décomposer H par blocs irréductibles, qui sont tous de dimension finie. Chaque bloc est isomorphe à un espace de la forme

⊕^j_m=−jC|j, mi, pour un certainj tel que 2j ∈N et l’action des opérateurs Jb~ sur la base peut être explicitée.

Observations du moment cinétique — Le moment cinétique angulaire pour une particule chargée peut s’observer en présence d’un champ magnétique : tout d’abord on définit l’opérateur aimantation d’une particule chargée en mouvement de rotation comme étant le vecteur

b~µ:=γJ ,b~

oùγ est une constante réelle, qui vautγ0 =−_2m^q_e pour un électron de charge

−q et de masse m_e dans un potentiel central. Si ce système est soumis à un champ magnétique B~, alors l’énergie d’interaction entre la particule et le champ magnétique est

Hb_M =−~µb·B.~

Si par exemple B~ est constant, de la forme B(0,0,1), alors HbM =−b~µ_zB =−γBJbz.

Imaginons à présent un atome d’hydrogène baignant dans un champ ma-gnétique constant. Alors l’hamiltonien gouvernant le système est la somme H^H+H^M, où H^H est l’hamiltonien standard pour l’atome d’hydrogène, sans champ magnétique (il contient l’énergie cinétique de l’électron et l’énergie d’interaction électrostatique avec le noyau.) Puisque les deux hamiltoniens commutent, les niveaux d’énergie de l’hamiltonien total sont de la forme En −mγB~, où En, pour n ∈ N, est une des valeurs propres de HH et où m ∈ {−j,−j + 1,· · ·, j −1, j}. Ainsi les niveaux En se subdivisent en familles de niveaux d’énergie dont la valeur reste proche de En (si B est petit), mais les niveaux d’énergie restent discrets. On parle de clivage des niveaux d’énergie de l’atome. On peut remarquer à ce propos que, en faisant des calculs dans un cadre classique, on trouverait que l’énergie de l’atome

4en posant Jb+|a, ja, mi = ~p

(ja(ja+ 1)−m(m+ 1)|a, ja, m+ 1i et Jb−|a, ja, mi =

~p

(ja(ja+ 1)−m(m−1)|a, ja, m−1i, on peut supposer sans perte de généralité que

|| |a, ja, mi||= 1.

serait aussi altérée par le champ magnétique, mais d’une façon continue. Les clivages peuvent être mesurés par des expériences de spectroscopie, puisque les photons émis ou absorbés par l’atome doivent avoir une énergie égale à (En−mγB~)−(En⁰−m⁰γB~).

De tels clivages en présence d’un champ magnétique ont étés observés très tôt. Donc tout concorde... sauf que les clivages pour l’hydrogène et les atomes alcalins sont en nombre pair. Cet effet a été constaté entre 1896 et 1903 par Pieter Zeeman et porte le nom de ce physicien.

Ou est le problème ?

8.4.3 Le spin d’un électron

On ne peut pas expliquer un clivage en un nombre pair des niveaux d’énergie par un calcul utilisant l’équation de Schrödinger comme nous avons fait au début de ce chapitre. En effet, en supposant que B~ = B(0,0,1), l’énergie d’interaction de l’électron dans l’atome d’hydrogène avec B~ devrait provenir de la composante « verticale » (enz) du moment cinétique angulaire de cet électron et donc des valeurs propres de l’opérateur Lbz =xbpby −bypbx, agissant sur l’« espace des phases » de l’électron, c’est à direL²(R³,C). Or nous avons déja calculé au début de ce chapitre que les valeurs propres de Lbz sont né-cessairement de la forme m~, où m =−j,−j + 1,· · ·, j−1, j est entier (et doncj aussi est un entier). Et nous voyons bien que, pour chaque valeur en-tière dej, il y a2j+1valeurs possibles pourm, c’est à dire un nombre impair ! Il s’agit là d’un problème qui a occupé les physiciens pendant beaucoup de temps. La solution, élaborée en 1925-26 par Wolfgang Pauli et par George-Eugène Uhlenbeck et Samuel Abraham Goudsmit, nécessite de prendre en-core plus au sérieux le point de vue, inspiré des idées de Heisenberg, que nous avons vu au début de ce chapitre. A savoir : l’espace des états phy-siques est un espace de Hilbert dont l’essence est totalement inobservable et on n’observe que les valeurs propres d’opérateurs agissant sur cet espace de Hilbert et qui sont caractérisés par des relations de commutations. Ainsi les résultats de l’Exercice (19) sont bien plus qu’un simple exercice d’algèbre destiné à rendre plus élégants des calculs que l’on pourrait réaliser à partir des expressions explicites de l’action debJ~surL²(R³,C). En effet ils montrent