Le moment cinétique

Le moment cinétique joue un rôle important dans l’étude de problèmes mé-canique invariants par rotation. Un exemple classique est celui du problème de Képler, où l’on étudie le mouvement de deux masses ponctuelles (figu-rant des astres) interagissant par la force de gravitation universelle. Après

s’être ramené au mouvement d’un point mobile autour d’un point fixe¹, on remarque que les trois composantes du vecteur moment cinétique par rapport à l’origine (où se trouve le centre de masse) :

L~ =

sont constantes. Cela est très utile : on en déduit dans un premier temps que la trajectoire est entièrement contenue dans un plan (qui est celui passant par l’origine, orthogonal àL). Donc il suffit d’envisager un mouvement plan :~ sans perte de généralité on peut, grâce à un choix judicieux du système de coordonnées, supposer que ce plan est celui contenant les axes x et y. Alors il nous reste encore une information utile, à savoir que L_z = xp_y −yp_x est constant. Sachant également que l’énergie totale est conservée, il est alors possible de déterminer toutes les trajectoires (les trajectoires elliptiques, pa-raboliques et hyperboliques de Képler).

Si ce problème a pu être simplifié, c’est parce que, outre la relation{H, H}= 0 oùH est l’hamiltonien, qui entraîne la conservation de l’énergie, on a :

{L, H~ }= 0.

On dit que H est en involution avec chacune des composantes de ~L. Cette relation permet en effet de retrouver le fait que les composantes du moment cinétique sont conservées.

Lorsque l’on étudie la version quantique de ce type de problème, comme par exemple l’atome d’hydrogène (mouvement de « rotation » d’un électron autour d’un proton selon le modèle de Rutherford), des relations analogues entre l’hamiltonien Hb et les composantes de l’opérateur moment cinétique

b~

1par réduction dans le référentiel lié au centre de masse, voir Exercice 11 au chapitre 5, section 5.3

peuvent être obtenues et sont aussi d’une grande utilité. Il s’agit des relations

où ici les crochets de Poisson ont été remplacés par des commutateurs etLb² :=

(Lbx)² + (Lby)² + (Lbz)². En particulier nous pouvons choisir trois opérateurs qui commutent tous deux à deux, par exemple H,b Lb² etn¹Lbx+n²Lby+n³Lbz, où(n¹, n², n³) sont les composantes d’un vecteur non nul (sans perte de gé-néralité nous choisirons (n¹, n², n³) = (0,0,1)).

Rappelons un résultat bien connu en algèbre linéaire : siA et B ∈ M(n,C) sont deux matrices hermitiennes, i.e.A^† = A et B^† = B, qui commutent, i.e.[A, B] = 0, alors elles sont diagonalisables dans une même base. Ce ré-sultat s’étend aux opérateurs hermitiens auto-adjoints qui commutent. En admettant cela et en revenant à l’atome d’hydrogène, nous pouvons pré-voir a priori qu’il existe une base hermitienne de Hilbert |E, `<sup>(2)</sup>, `z, αi

L’indice α a été incorporé ici pour tenir compte de la possible multiplicité du sous-espace propre du triplet d’opérateurs (H,b Lb²,Lbz) pour le triplet de valeurs propres(E, `<sup>(2)</sup>, `_z). En fait nous verrons plus loin que, si nous ne te-nons pas compte du spin de l’électron, chacun de ces sous-espace, s’il existe, est de dimension 1 et donc que l’indice α est superflu.

D’après les résultats de l’exercice qui suit, le simple fait que

L,b~ Lb²

– les seules valeurs propres autorisées pour Lb² sont de la forme `⁽²⁾ = j(j+ 1)~², où 2j ∈N.

En particulier nous remarquons que, si j est entier, alors toutes les valeurs de m sont aussi entières et si j est un demi-entier, alors toutes les valeurs de m sont demi-entières.

Exercice 19 On rappelle que le moment cinétique angulaire classique d’une particule, par rapport à l’origine 0 est le vecteur J :=x×p. On considère la version quantique de cette observable, c’est à dire l’opérateur

Jb:=xb×pb=



 bypb_z−bzpb_y b

zpbx−bxpbz

b

xpby−ybpbx



.

On rappelle que [xb^α,pbβ] =i~δ_β^α. 1) Démontrer que Jb×Jb=i~J.b

2) On poseJb² :=Jb_x²+Jb_y²+Jb_z² etJb₊ :=Jb_x+iJb_y etJb₋:=Jb_x−iJb_y. Démontrer que [Jb²,Jb+] = [Jb²,Jb₋] = [Jb²,Jbz] = 0, [Jbz,Jb+] = ~Jb+, [Jbz,Jb₋] = −~Jb₋ et [Jb₊,Jb₋] = 2~Jb_z. Dans la suite nous allons considérer une représentation sur un espace de Hilbert complexe de ces opérateurs. On désigne par EΛ,m

l’ensemble des vecteurs propres pour Jb² et Jbz avec les valeurs propres Λ~² et m~ respectivement. On note |Λ, mi un vecteur dans EΛ,m. Il satisfait donc à Jb²|Λ, mi = Λ~²|Λ, mi et Jbz|Λ, mi = m~|Λ, mi. S’il n’y a pas de vecteur propre pour (Λ, m) on convient de poser EΛ,m:={0}.

3) Montrer que, pour que EΛ,m :6= {0}, il est nécessaire que Λ, m ∈ R et Λ ≥0.

4) Démontrer que Jb₊|Λ, mi ∈E_Λ,m+1 et Jb₋|Λ, mi ∈E_Λ,m−1.

5)Démontrer que l’adjoint deJb_±estJb_∓et que Jb_∓Jb_±=Jb²−Jb_z²∓~Jbz. Utiliser ce résultat pour calculer ||Jb_±|Λ, mi||² et en déduire que, si |Λ, mi est vecteur propre (et donc en particulier non nul), alors Λ−m²∓m≥0. Dans la suite on fixe (Λ, m) et on suppose que |Λ, mi 6= 0.

6) Soitp:= inf{n ∈N/Jb₋ⁿ|Λ, mi= 0}. Démontrer quepexiste dansNet que Jb₋^p−1|Λ, mi 6= 0etJb₋^p|Λ, mi= 0. En déduire queΛ = (m−p+1)²−(m−p+1).

7) Soitq:= inf{n∈N/Jb₊ⁿ|Λ, mi= 0}. Démontrer queq existe dansNet que Jb₊^q−1|Λ, mi 6= 0etJb₊^q|Λ, mi= 0. En déduire queΛ = (m+q−1)²+(m+q−1).

8) Montrer que m= ¹₂(p−q) et Λ =j(j+ 1), où j := ¹₂(p+q)−1.

9) En déduire que les valeurs propres autorisées pour Jb² sont de la forme j(j + 1)~², pour j ∈ ¹₂N et que, dans le sous-espace vectoriel des vecteurs propres deJb² pourj(j+1)~², les valeurs propres deJbz sontm~=−j~,−(j−

1)~,· · ·,(j −1)~, j~³.

Adoptons la notation ψj,m = |j, mi. Si nous écrivons Jbz = xbpby − bypbx en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), nous obtenons

Jbz =−i~ ∂

Cette fonction n’est périodique de période divisant de2π que simest entier.

Ainsi, les cas où m est demi-entier sont-ils exclus pour décrire le moment cinétique orbital. Cela force également j à être entier.

Les opérateursJb_z etJb²s’expriment naturellement en coordonnées sphériques.

Nous avons déjà écrit Jbz, et nous avons de plus

Ces deux opérateurs ne dépendent donc que de ϕ et θ. Ainsi, les fonctions ψj,m ne dépendent que de ces deux variables. Nous les noterons Yj,m(θ, ϕ).

Elles s’appellent les harmoniques sphériques. À titre d’exemple, voici une table des premières harmoniques sphériques :

Y0,0 = 1

Les harmoniques sphériques vont jouer un rôle très important dans la des-cription de l’atome d’hydrogène.

3l’usage est alors de noter|j, mice que nous avons noté ici |Λ, mi=|j(j+ 1), mi.