2.3 Analyse Mécanique Dynamique
2.3.2 Sollicitation en torsion
25 0 100 200 300 400 500 Facteur de perte (%) Fréquence (Hz) (b)
FIG. 2.15 – Evolution de la raideur Kma′ (a) et du facteur de perteηma (b) machine calculés à partir de la câle étalon en acier
L’ensemble de ces essais a permis de mettre en évidence la présence d’une compliance et d’un déphasage machine non négligeable pouvant avoir une influence importante sur la mesure. Une correction devra systématiquement être apportée sur la raideur et le déphasage mesurés, quels que soient les échantillons testés.
2.3.2 Sollicitation en torsion
2.3.2.1 Dispositif expérimental
Le visco-analyseur, de type ARES (Advanced Rheometric Expansion System - Rheometric Scientific), permet d’étudier le comportement mécanique dynamique des matériaux sous sol-licitations en torsion. Le fonctionnement du visco-analyseur ARES est basé sur le principe du pendule de torsion, figure 2.16. Nous appliquons à l’échantillon une déformation harmonique faible, de l’ordre de 0.1 %. La réponse de l’éprouvette aux sollicitations dynamiques est mesurée par un moment de torsion. Cette réponse est harmonique de même pulsation mais déphasée d’un angleδ. Son utilisation peut s’étendre des mesures de viscosité pour des matériaux visqueux à l’étude de la température de transition vitreuse des polymères. Cet appareil est un spectromètre mécanique capable de balayer un spectre de fréquences allant de 2 10−6à 80 Hz. Cette gamme de fréquences utilisables lors de l’essai est définie par le logiciel en fonction des dimensions de l’échantillon. Par exemple, pour une éprouvette en PMMA de dimensions 30×10×4 mm, avec un taux de déformation de 0.1%, la fréquence maximale est atteinte aux environs d’une dizaine de hertz. Ce sont les limites de sécurité de la machine en fonction de la raideur des échantillons. Dans notre étude, son utilisation se limitera au balayage d’un spectre fréquentiel à tempé-rature constante (tempétempé-rature ambiante≈ 22˚C). Nous utiliserons des mors de maintien dont le serrage est contrôlé par une clé dynamométrique afin d’avoir une bonne reproductibilité lors des différents essais.
Nous développons dans les lignes qui suivent le principe analytique d’extraction des diffé-rents paramètres mécaniques intéressants.
Miroir Echantillon Céllules photoélectriques Faisceau lumineux Bobines d’Helmotz Aimant Contrepoids Mors
FIG. 2.16 – Schéma du pendule de torsion 2.3.2.2 Principe théorique
FIG. 2.17 – Schéma d’une poutre de section rectangulaire soumise à couple de torsion Pour un matériau parfaitement élastique, le moment de torsion ou couple Myest proportion-nel au taux de rotation, il est obtenu à partir de la relation suivante :
My= GJ∂θy
∂y (2.19)
où G est le module de cisaillement (ou module de Coulomb) donné par :
G= E
et J est la constante de torsion de Saint-Venant, dont l’expression est [19] : J= Z Z S x2+ z2+ x∂ψ ∂z − z∂ψ ∂x dS (2.21)
oùψest la fonction de gauchissement.
Pour une poutre à section rectangulaire identique à celle de la figure 2.17, nous pouvons approximer analytiquement la constante de torsion par la relation [44] qui suit :
J=16 3 h 3b " 1−192π5 h b ∞
∑
n=1,3,... 1 n5 tanh nπ b 2h # (2.22)où h et b sont respectivement l’épaisseur et la largeur.
Connaissant parfaitement la géométrie de l’échantillon ainsi que le moment de torsion ap-pliqué, nous pouvons déterminer le module de cisaillement qui s’écrit simplement :
G= MyL
θJ (2.23)
où L est la longueur de l’éprouvette etθl’angle de rotation en bout de poutre.
Dans le cas d’un matériau viscoélastique, nous avons vu dans le chapitre 1 que la réponse du matériau est déphasée par rapport à l’excitation d’un angleδ. Dans ce cas, le module de cisaille-ment se décompose en une partie conservative G′ et une partie dissipative G′′, correspondant respectivement aux parties réelle et imaginaire du module complexe de cisaillement.
Les modules conservatif et dissipatif de cisaillement s’écrivent :
G′= cos(δ)MθyJL (2.24)
et
G′′= sin(δ)MyLθJ (2.25)
La valeur du module conservatif E′est déduite de la relation de l’équation 2.20 à partir de
G′et du coefficient de Poissonνdu matériau. 2.3.2.3 Phase de calibration
Le calcul de la constante de torsion J est réalisé directement par le logiciel de l’ARES lors de l’essai. La relation utilisée [70] pour le calcul de J s’écrit :
JARES= h
3b(1 −0.378 hb2 2)))
0.9807(3 +1.8 hb ) (2.26)
où h et b sont respectivement l’épaisseur et la largeur.
Lors de la mise en place de l’essai, nous considérons que la section de l’éprouvette est rectangulaire et de dimensions constantes sur toute sa hauteur. En réalité, nous avons vu que la section de l’échantillon présente un retrait concave sur ses deux largeurs. La valeur de la
Calcul de J Matériau Section transverse J Erreur relative
dimension (mm) (m4) J (%)
Théorique (éq. 2.26) PMMA rect. 10×4 1.65 10−10 0
Numérique PMMA rect. 10×4 1.60 10−10 3.03
Numérique PMMA rect. concave 10×4.09 1.61 10−10 2.42
Numérique 4660T2 rect. concave 10×4.09 1.60 10−10 3.03
TAB. 2.1 – Sensibilité de géométrie d’éprouvette sur l’obtention de J et G′
(a) (b)
FIG. 2.18 – Essais de reproductibilité sur l’ARES sur des échantillons de PMMA, module de cisaillement conservatif G′(variation±0.7 %) et facteur de perteη(variation±2 %)
constante de torsion déterminée lors de l’essai par le logiciel est approchée de la valeur réelle. Le tableau 2.1 rassemble les différentes valeurs de la constante de torsion J en fonction du mode de calcul, analytique ou numérique. Par une modélisation numérique des différentes sections d’éprouvette, nous estimons des valeurs de J.
Nous constatons des différences importantes pour les différentes sections considérées entre les calculs analytique et numériques. Nous notons une erreur relative de l’ordre de 3% sur le module de cisaillement G′. Une correction sur la constante de torsion, basée sur la mesure des aires des sections, doit être apportée en fonction des différentes formulations de composite.
Cette méthode d’analyse et d’identification des propriétés mécaniques dynamiques est très intéressante en terme de reproductibilité. Nous avons répété un essai de AMD sous sollicitations en torsion sur quatre échantillons différents de PMMA. Les résultats obtenus sont représentés en moyenne sur les graphes des figures 2.18(a) et 2.18(b). La variation maximale reste inférieure à 0.7 % pour le module de cisaillement et inférieure à 2 % pour le facteur de perte. Cette méthode est reproductible et semble intéressante pour investiguer les basses fréquences.