Simulations Monte-Carlo

Nous avons effectu´e des simulations Monte-Carlo des trajectoires des atomes du jet de la fontaine continue dont le but principal est de valider la mod´elisation r´ealis´ee dans la sous-section pr´ec´edente. En effet, ce type de simulation permet de prendre en compte plus correctement l’influence sur le jet des diaphragmes situ´es sur la trajectoire, en particulier de la g´eom´etrie r´eelle des trous de passage de la cavit´e micro-onde.

Principe des simulations

Pour ces simulations, nous reprenons les mˆemes conditions initiales du jet `a la sortie de la source, et juste apr`es le refroidissement transverse, que celles admises pour le mod`ele analytique. A savoir, juste `a la sortie de la source, une distribution gaussienne isotrope pour les positions dans le plan horizontal et les vitesses transverses, mais pas de distribution de vitesse de lancement. Et `a la sortie du refroidissement transverse, une distribution de position qui est identique `a celle `a l’entr´ee du refroidissment transverse et une distribution

gaussienne isotrope de vitesse transverse dans le plan horizontal ainsi qu’une distribution gaussienne de vitesse longitudinale.

Le principe de ces simulations est de tirer au hasard, sur un ensemble d´etermin´e, les conditions initiales (vitesse et position) des trajectoires des atomes et de calculer si chaque trajectoire individuelle passe au travers des diff´erents diaphragmes (trous circulaires ou g´eom´etrie r´eelle des ouvertures de la cavit´e micro-onde). On comptabilise ensuite le nombre de tirages qui ont donn´e lieu `a une trajectoire qui a atteint la zone de d´etection. Le rapport de ce nombre sur le nombre total de tirages effectu´e donne une estimation de N4+. Evidemment, plus le nombre de tirages effectu´e est grand, meilleur

est l’estimation de ce rapport. Comme mentionn´e dans la sous-section 3.3.1,

N4+ est ´egal au rapport des flux puisque la composante z du module de la

vitesse des atomes `a la d´etection est environ ´egale `a celle de la vitesse des atomes qui quittent la source. Si ce n’´etait pas le cas, il faudrait tenir compte des vitesses dans le calcul de ce rapport.

Calcul des trajectoires entre la source et le refroidissement trans- verse

Avec les conditions initiales que nous avons admises pour la source du jet (cf. p. 52), il s’agit de tirer au hasard une position initiale ~r0k dans le plan

Oxy et une vitesse transverse initiale ~vt_0k sur une distribution gaussienne

et isotrope. Il existe plusieurs mani`eres de r´ealiser ceci. Nous utilisons la m´ethode de l’inversion directe de la fonction de distribution dont le point de d´epart pour la solution du probl`eme est l’observation suivante.

Si X est une variable al´eatoire avec une fonction de distribution F (x), strictement monotone, alors F (X) est distribu´ee uniform´ement dans l’inter- valle [0, 1], soit :

P {F (X) 6 y} = y (3.100)

o`u P {Z 6 z} est la probabilit´e que la variable al´eatoire Z soit 6 z. En effet, soit xk tel que F (xk) = yk, alors :

P {F (X) 6 yk} = P {X 6 xk} = F (xk) = yk (3.101)

Supposons que l’expression de la distribution F (x) soit inversible, en ´echan- tillonnant la variable Y uniform´ement dans l’intervalle [0, 1], on obtient au- tant de r´ealisations de la variable al´eatoire X que de Y :

xk = F−1(yk) (3.102)

Distribution de positions :

Puisque la distribution de positions initiales est isotrope, nous avons deux variables al´eatoires ind´ependantes, le module r0 de la position et son angle

ϕ0 dans le plan Oxy par rapport `a l’axe x. La densit´e de probabilit´e de la

distribution de r0 est donn´ee par :

ρ(r0) =

1

πR2 0

e−r02/R20 (3.103)

o`u R0 est le rayon quadratique moyen initial de la distribution. La fonction

de distribution de (3.103) s’´ecrit :

F (r0) = 1 − e−r 2

0/R20 (3.104)

Cette relation s’inverse facilement, et en tirant au hasard un nombre lk dans

[0, 1] on obtient une r´ealisation r0k du rayon r0 par :

r0k = R0

p

− ln(1 − lk) (3.105)

Quant `a l’´echantillonnage de l’angle ϕ0, il se fait sur une distribution uni-

forme dans [0, 2π].

Distribution de vitesse transverse :

L’´echantillonnage de la vitesse transverse initiale ~vt0 est identique `a celui du

rayon ~r0 puisque les deux distributions sont isomorphes. On tire donc au ha-

sard un nombre sk dans [0, 1], puis on en d´eduit une r´ealisation vt_0k de vt0

par :

vt_0k = vt0rms

p

− ln(1 − sk) (3.106)

L’´echantillonnage de l’angle φ0 de la vitesse transverse dans le plan Oxy par

rapport `a l’axe x se fait sur une distribution uniforme dans [0, 2π].

Trajectoires :

Chaque trajectoire des atomes est alors calcul´ee de la fa¸con suivante. Nous ef- fectuons tout d’abord le tirage des conditions initiales (r0k, ϕ0k) et (vt_0k, φ0k).

Puis, nous calculons la trajectoire de l’atome, `a partir de ces conditions ini- tiales et de la vitesse de lancement vL, jusqu’au plan horizontal du refroi-

dissement transverse (z1 = ht). Les coordonn´ees (xk−, yk−) de la position de

l’atome dans ce plan (juste avant le refroidissement transverse) se calculent de la mani`ere suivante :

xk− = r0kcos ϕ0k + vt_0kt1cos φ0k (3.107a)

yk− = r0ksin ϕ0k + vt_0kt1sin φ0k (3.107b)

o`u t1 est le temps de vol, qui d´epend de vL, du centre de la source jusqu’au

Calcul des trajectoires entre le refroidissement transverse et la d´e- tection

Pour tenir compte de l’effet du refroidissement transverse sur la trajec- toire des atomes, nous d´eterminons en premier lieu les nouvelles conditions initiales (cf. p. 54) juste apr`es ce dernier. La position initiale ~rk+ de l’atome

juste apr`es le refroidissement transverse est ´egale `a ~rk−, donn´ee par (3.107),

puisque le refroidissement transverse est consid´er´e se d´erouler uniquement dans le plan z1 = ht. Puis, nous faisons un nouveau tirage au sort de la vi-

tesse transverse sur la nouvelle distribution de vitesse transverse ρ(~vt). Soit

(a, φk) ces nouvelles valeurs initiales.

Distribution de vitesse longitudinale :

Il faut encore tirer la vitesse longitudinale vlk sur la distribution ρ(vl). Pour

ce faire, nous utilisons la mˆeme m´ethode que pr´ec´edemment. La fonction de distribution de ρ(vl) est donn´ee par :

F (vl) = Z _vl −∞ ρ(v0 l) dv0l = 1 2 µ 1 + erf µ vl− ¯vl √ 2 vlrms ¶¶ (3.108)

d’apr`es (3.70), o`u erf (x) est la fonction d’erreur [AS72] et vlrms est la vi-

tesse quadratique moyenne de la distribution de vitesse longitudinale apr`es le refroidissment transverse. On peut inverser ´egalement cette relation et on obtient une r´ealisation vlk de vl par :

vlk =

√

2 vlrmserf

−1_(2q

k− 1) + ¯vl (3.109)

o`u qk est un nombre tir´e au hasard dans [0, 1] et ¯vl est la vitesse moyenne

de la distribution de vitesse longitudinale apr`es le refroidissement transverse. Cette derni`ere d´epend de vL par la relation suivante :

¯ vl = q v2 L− 2ght (3.110) Trajectoires :

Les composantes cart´esiennes du k`eme _{tirage ~v}

k de la vitesse initiale ~v juste

x z 0 v_k y v_lk v_tk θ₀ φ_k

Fig. 3.7: Repr´esentation du k`eme _{tirage ~v}

k de la vitesse initiale ~v apr`es refroidissement

transverse et de ses deux composantes al´eatoires ~vlk et ~vtk. Ses composantes cart´esiennes

sont donn´ees par les relations (3.111).

vxk = vlksin θ0+ vtkcos φk cos θ0 (3.111a)

vyk = vtksin φk (3.111b)

vzk = vlkcos θ0− vtkcos φk sin θ0 (3.111c)

De mani`ere g´en´erale, nous calculons ensuite la position ~rnk de la k`eme tra-

jectoire de l’atome dans le plan zn = hn, contenant le n`eme diaphragme, `a

partir des conditions initiales que nous venons de d´eterminer. Ses compo- santes s’´ecrivent pour n ≥ 2 :

xnk = xk+ + vxktnk (3.112a)

ynk = yk+ + vyktnk (3.112b)

tnk est le temps de vol du refroidissement transverse jusqu’au plan zn= hn :

tnk = 1 g ³ vzk± ¡ v2 zk − 2g(hn− ht) ¢_1/2´ n ≥ 2 (3.113)

Le signe est positif si le diaphragme est situ´e sur la partie descendante de la trajectoire et n´egatif s’il se trouve sur sa partie montante. Une fois cette

position calcul´ee, on teste si celle-ci se situe `a l’int´erieur de la surface Sn du

n`eme <sub>diaphragme, `a commencer par le 1</sub>er _{diaphragme (n = 2, dans ce cas un}

cercle de rayon R2).

– Si c’est le cas (~rnk ⊂ Sn), l’atome a donc franchi le diaphragme n

sans encombres et peut poursuivre sa trajectoire. On calcul alors la position ~r(n+1)kde l’atome dans le plan du prochain diaphragme et on

recommence le test.

– Si ce n’est pas le cas (~rnk ⊂/ Sn), l’atome n’a pas franchi le diaphragme

n et n’atteindra pas le zone de d´etection. Cette trajectoire ne peut donc

pas ˆetre comptabilis´ee et on recommence le calcul d’une nouvelle tra- jectoire en effectuant un (k + 1)`eme _{tirage des conditions initiales.}

Remarque :

Pour prendre en compte correctement la g´eom´etrie r´eelle des deux ouvertures de la cavit´e micro-onde, nous d´ecomposons chaque passage en quatre dia- phragmes sur quatre plans diff´erents. Les deux ouvertures ´etant identiques, d´ecrivons la d´ecomposition du premier passage (cf. Fig. 3.3). Le premier dia- phragme rencontr´e par le jet se situe dans le plan z = Hc− hcf/2 − hcut qui

contient l’entr´ee du cut-off inf´erieur. Sa section est compos´ee de la r´eunion de deux surfaces circulaires de rayon Rc= 4.5 mm dont les centres sont distants

de 2.6 mm. Le diaphragme suivant se trouve dans le plan z = Hc− hcf/2 qui

se situe `a la fin du cut-off inf´erieur et `a l’entr´ee de l’ouverture circulaire de la cavit´e. Sa section est circulaire de rayon Rc. Le troisi`eme diaphragme dans le

plan z = Hc+ hcf/2 correspond `a la fin de l’ouverture circulaire de la cavit´e

et au d´ebut du cut-off sup´erieur. Sa section est identique au diaphragme pr´e- c´edent. Le dernier diaphragme se trouve dans le plan z = Hc+ hcf/2 + hcut

`a la sortie du cut-off sup´erieur. Sa section est identique `a celle du premier diaphragme.

Estimation de diff´erentes grandeurs physiques

Nous nous int´eresserons dans la suite non seulement au flux d’atomes qui atteint la d´etection, mais ´egalement `a diff´erentes distributions de temps ou de vitesse.

Estimation du rapport Φd1/Φ0 :

On d´esire d´eterminer le rapport Φd1/Φ0 en fonction d’un param`etre ζ du

jet dans l’intervalle [ζmin, ζmax]. Pour cela, on divise d’abord l’intervalle ∆ζ =

jectoire k pour une valeur ζi = ζmin+(i+1₂) δζ du param`etre (0 ≤ i ≤ j−1). Si

cette trajectoire ne subit pas avec succ`es tous les tests d´ecrits pr´ec´edemment, c.-`a-d. ne traverse pas tous les diaphragmes jusqu’`a la zone de d´etection, cette trajectoire n’est pas comptabilis´ee. On incr´emente dans ce cas uniquement le nombre de tirages Nj d’une unit´e. Dans le cas contraire, c.-`a-d. si la trajec-

toire a atteint la zone de d´etection, on incr´emente alors d’une unit´e le nombre

Ni de trajectoires qui ont atteint la d´etection pour une valeur ζi du para-

m`etre ainsi que le nombre de tirages Nj. On poursuit le calcul en effectuant

un (k +1)`eme _{tirage d’une trajectoire et on recommence le processus que nous}

venons de d´ecrire. Le calcul s’arrˆete apr`es un nombre choisi Nj = Ntot/j de

tirages o`u Ntot est le nombre total de tirages. On obtient finalement une esti-

mation du rapport Φd1/Φ0 du flux d’atomes qui a atteint la d´etection sur le

flux initial d’atomes `a la sortie de la source, pour la valeur ζi du param`etre,

par le rapport : Φd1 Φ0 (ζi) = Ni Nj (3.114)

On recommence alors le mˆeme processus pour une nouvelle valeur ζi+1 du

param`etre qui va fournir une estimation du rapport Φd1/Φ0(ζi+1). Puis on

continue ainsi jusqu’`a ce que i = j − 1.

Estimation d’une distribution de temps ou de vitesse :

Pour estimer la distribution ρ(ϑ) d’une grandeur ϑ (un temps ou une vitesse) dans un intervalle [ϑmin, ϑmax], nous proc´edons de la mani`ere suivante. On di-

vise l’intervalle ∆ϑ = ϑmax− ϑmin en j sous-intervalles δϑ = ∆ϑ/j. Puis on

tire au hasard une trajectoire k et on v´erifie d’abord que la grandeur ϑk cor-

respondant `a la k`eme_{trajectoire appartient bien `a l’intervalle [ϑ}

min, ϑmax]. Si ce

n’est pas le cas, ce tirage est abandonn´e et on proc`ede `a un nouveau tirage. Si par contre c’est le cas et que cette trajectoire ne traverse pas avec succ`es tous les diaphragmes jusqu’`a la zone de d´etection, cette trajectoire n’est pas comp- tabilis´ee. On incr´emente dans ce cas uniquement le nombre total de tirages

Ntot d’une unit´e. Dans le cas contaire, si la trajectoire a atteint la zone de d´e-

tection, on cherche d’abord dans quel intervalle [ϑmin+ i δϑ, ϑmax+ (i + 1) δϑ],

o`u 0 ≤ i ≤ j − 1, la grandeur ϑk appartient. On incr´emente alors d’une unit´e

le nombre Ni de trajectoires qui ont atteint la d´etection pour une grandeur ϑ

comprise dans l’intervalle i. On poursuit le calcul en effectuant un (k + 1)`eme

tirage d’une trajectoire et on recommence le processus que nous venons de d´ecrire. Le calcul s’arrˆete apr`es un nombre total Ntot choisi de tirages.

Grandeur Notation Valeur

Angle d’inclinaison trajectoire (refr. trans.) θ0 1.84◦

Hauteur refroidissement trans. - source ht 51.4 mm

Hauteur diaphragme 2 - source h2 89 mm

Hauteur diaphragme 3 - source h3 449 mm

Hauteur diaphragme 4 - source h4 449 mm

Rayon du diaphragme 2 R2 5.5 mm

Distance diaphragme 2 - source l2 3 mm

Distance diaphragme 3 - source L − l 15.6 mm Distance diaphragme 4 - source L + l 71.6 mm

Tab. 3.6: Valeur des param`etres consid´er´es comme fixes dans les simulations.

Finalement, on obtient une estimation de la densit´e de probabilit´e ρ(ϑ) de la distribution de la grandeur ϑ, pour la valeur ϑi = ϑmin+ (i +1₂) δϑ, par

le rapport :

ρ(ϑi) =

Ni

Ntot

(3.115)

Les r´esultats des simulations Monte-Carlo des diff´erentes grandeurs que nous venons de d´efinir sont compar´es, dans la section suivante, `a ceux fournis par le mod`ele analytique d´evelopp´e dans la section pr´ec´edente.

Dans le document Aspects métrologiques d'une fontaine continue à atomes froids (Page 77-84)