Distributions effectives de temps de transit, d’interac-

Nous d´eterminons dans cette derni`ere sous-section les param`etres typiques des distributions effectives de temps de transit, d’interaction et de d´etection

de la fontaine continue. La connaissance de ces distributions nous sera utile dans les chapitres ult´erieurs lorsque nous aborderons l’´etude des franges de Ramsey et du signal d’horloge.

Distribution effective de temps de transit

La distribution effective de vitesse longitudinale ρeff(vl) engendre par le

passage du jet `a travers les deux zones d’interaction de la cavit´e micro-onde une distribution effective17 <sub>de temps de transit ρ(T ). Cette derni`ere a une</sub>

certaine influence sur la forme des franges de Ramsey que nous ´etudierons plus tard. Il est d`es lors int´eressant de pouvoir relier les param`etres de la distribution effective de temps de transit (que l’on peut d´eterminer `a partir de la mesure des franges de Ramsey) `a ceux de la distribution effective de vitesse longitudinale du jet.

Comme nous l’avons vu dans la sous-section pr´ec´edente, la distribution effective de vitesse longitudinale peut ˆetre consid´er´ee comme gaussienne avec une tr`es bonne approximation dans le domaine des param`etres typiques du jet de la fontaine continue. De l’´equation (3.28) nous pouvons relier la vitesse longitudinale vl au temps de transit T :

vl− ¯vl =

T − T T0

0

(3.158) Puis, en ins´erant cette relation dans l’expression (3.153) de la densit´e de pro- babilit´e de la distribution effective de vitesse longitudinale, nous obtenons la densit´e de probabilit´e correspondante de la distribution effective normalis´ee de temps de transit :

ρ(T ) = √ 1

2π Trms

e−(T −T )2_/2T2

rms (3.159)

o`u le temps de transit moyen T se d´eduit de ¯vl d’apr`es l’´equation (3.27) et

le temps de transit quadratique moyen effectif Trms est reli´e `a vefflrms par :

Trms= T00vefflrms (3.160)

La valeur du coefficient T0

0 est indiqu´ee dans le Tab. 3.4. Nous avons report´e

dans le Tab. 3.9 une valeur typique de Trms obtenue pour une distribution

initiale de vitesse longitudinale dont la temp´erature vaut Tl = 75 µK.

17_{Nous supprimons l’indice d´esignant les distributions effectives de temps et les temps}

0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0 5 10 15 20 25 D is tr . eff . d e te m p s d e tr an sit ρ ( T ) / s -1 Temps de transit T / s

Fig. 3.32: Distribution effective normalis´ee de temps de transit ρ(T ) pour les param`etres typiques du jet. La courbe en escalier est le r´esultat de la simulation Monte-Carlo (Ntot=

3.5 · 107_{) et celle en trait fin est un ajustement gaussien calcul´e avec la formule (3.159).}

Les param`etres de l’ajustement sont : T = 0.481 s et Trms= 18.5 ms.

Afin de v´erifier l’approximation de la distribution effective de temps de transit par la distribution (3.159), nous avons fait un ajustement de la dis- tribution effective de temps de transit obtenue par simulation Monte-Carlo, pour les param`etres typiques du jet, avec la formule (3.159). Le r´esultat de l’ajustement est pr´esent´e dans la Fig. 3.32. La courbe en escalier est ob- tenue par simulation Monte-Carlo et celle en trait lisse est le r´esultat de l’ajustement. Les param`etres d´eduits de l’ajustement valent T = 0.481 s et

Trms = 18.5 ms. A partir de ces valeurs, nous pouvons calculer la vitesse longi-

tudinale moyenne correspondante ¯vl avec (3.27), et la temp´erature longitudi-

nale effective Teff

l avec (3.160). Nous obtenons ¯vl= 3.69 m/s et Tleff= 52 µK.

On constate que ces valeurs sont proches de celles que nous avons trouv´ees `a partir de l’ajustement de la simulation Monte-Carlo de la distribution effec- tive de vitesse longitudinale (¯vl = 3.693 m/s et Tleff = 58 µK). Ceci confirme

que nous pouvons, avec une bonne approximation, d´ecrire la distribution effective normalis´ee de temps de transit de la fontaine continue par l’expres- sion (3.159) et d´eduire des param`etres de cette distribution, obtenus d’apr`es l’ajustement des franges de Ramsey exp´erimentales, la vitesse longitudinale moyenne et la temp´erature longitudinale de la distribution effective de vitesse longitudinale du jet de la fontaine continue.

Distribution effective de temps d’interaction

La distribution effective de vitesse longitudinale du jet induit ´egalement une distribution effective de temps d’interaction ρ(τ ) des atomes lorsqu’ils traversent chaque zone de la cavit´e micro-onde. Il nous sera utile par la suite d’exprimer cette distribution `a partir de la distribution effective de temps de transit. Dans ce but, ins´erons la relation (3.34) entre T et le temps d’inter- action τ dans l’´equation (3.159), il vient pour l’expression de la densit´e de probabilit´e de la distribution effective normalis´ee de temps d’interaction :

ρ(τ ) = √ 1

2π τrms

e−(τ −¯τ )2_/2τ2

rms (3.161)

avec le temps d’interaction moyen ¯τ exprim´e en fonction de T :

¯ τ = 1 2 µ 1 √ g ³ 8b + gT2 ´_1/2 − T ¶ (3.162) et le temps d’interaction quadratique moyen effectif τrmsest reli´e `a Trmspar :

τrms= |kτ0| Trms (3.163)

La valeur du coefficient kτ0 est indiqu´ee dans le Tab. 3.4. Nous reportons aussi

dans le Tab. 3.9 une valeur typique de τrms obtenue pour une distribution

effective de vitesse longitudinale dont la temp´erature vaut Teff

l = 75 µK.

Comme pour la distribution effective de temps de transit, nous avons effectu´e un ajustement de la distribution effective de temps d’interaction obtenue par simulation Monte-Carlo, pour les param`etres typiques du jet, avec la formule (3.161). La Fig. 3.33 montre le r´esultat de l’ajustement. La courbe en escalier est obtenue par simulation Monte-Carlo et celle en trait fin est le r´esultat de l’ajustement. Les param`etres d´eduits de l’ajustement valent ¯τ = 10.8 ms et τrms = 0.42 ms. Avec ces valeurs, nous pouvons cal-

culer le temps de transit moyen correspondant T `a partir de (3.162), et le temps de transit quadratique moyen effectif Trms avec (3.163). Nous obte-

nons T = 0.480 s et Trms= 18.4 ms. On constate que ces valeurs sont proches

de celles que nous avons trouv´ees `a partir de l’ajustement de la simulation Monte-Carlo de la distribution effective de temps de transit (T = 0.481 s et Trms = 18.5 ms). Ceci confirme donc que nous pouvons d´ecrire, avec une

bonne approximation, la distribution effective normalis´ee de temps d’interac- tion de la fontaine continue par la distribution effective de temps de transit (3.159) dans laquelle on exprime T en fonction de τ `a partir de l’´equation (3.34).

9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 0 200 400 600 800 1000 D is tr . eff . d e te m p s d ' i n te rac ti on ρ ( τ ) / s -1 Temps d ' interaction τ / ms

Fig. 3.33: Distribution effective normalis´ee de temps d’interaction ρ(τ ) pour les para- m`etres typiques du jet. La courbe en escalier est le r´esultat de la simulation Monte-Carlo (Ntot = 1 · 107) et celle en trait fin est un ajustement gaussien calcul´e avec la formule

(3.161). Les param`etres de l’ajustement sont : ¯τ = 10.8 ms et τrms= 0.42 ms.

Distribution effective de temps de d´etection

La distribution effective de vitesse longitudinale du jet donne lieu aussi `a une distribution effective de temps de d´etection ρ(Tdi) des atomes depuis leur

sortie de la cavit´e micro-onde jusqu’`a la d´etection i (i = 1, 2). En proc´edant de la mˆeme mani`ere que pour la distribution effective de temps d’interaction, mais avec la relation (3.36) entre T et le temps de d´etection Tdi, la densit´e

de probabilit´e de la distribution effective normalis´ee de temps de d´etection s’´ecrit : ρ(Tdi) = 1 √ 2π Tdirms e−(Tdi−Tdi)2/2T_dirms2 _(3.164)

o`u Tdi est le temps de d´etection moyen exprim´e en fonction de T :

Tdi = 1 2√g µ³ 8(Hct+ ht− hdi) + 4b + gT 2´1/2 − ³ 8b + gT2 ´_1/2¶ (3.165) et Tdirms le temps de d´etection quadratique moyen effectif qui est reli´e `a Trms

par :

Tdirms = |kdi| Trms (i = 1, 2) (3.166)

La valeur du coefficient kdi est indiqu´ee dans le Tab. 3.4. Nous reportons

´egalement dans le Tab. 3.9 une valeur typique de Td1rms obtenue pour une

115 120 125 130 135 140 0 20 40 60 80 100 120 140 D is tr . eff . d e te m p s d e d ét ec ti on ρ (T d1 ) / s -1 Temps de détection T_d1 / ms

Fig. 3.34: Distribution effective normalis´ee de temps de d´etection ρ(Td1) pour la d´etec-

tion 1 et pour les param`etres typiques du jet. La courbe en escalier est le r´esultat de la simulation Monte-Carlo (Ntot = 1 · 107) et celle en trait fin est un ajustement gaussien

calcul´e avec la formule (3.164). Les param`etres de l’ajustement sont : Td1= 126.8 ms et

Td1rms = 3.1 ms.

Grandeur Notation Valeur

Temps de transit rms Trms 19.8 ms

Temps d’interaction rms τrms 0.45 ms

Temps de d´etection 1 rms Td1rms 3.3 ms

Tab. 3.9: Valeur typique des temps quadratiques moyens effectifs des diff´erentes distri- butions effectves de temps. Ces valeurs ont ´et´e calcul´ees pour une distribution de vitesse longitudinale de temp´erature Tl = 75 µK ce qui correspond `a une vitesse quadratique

Comme pr´ec´edemment, nous avons effectu´e un ajustement de la distribu- tion effective de temps de d´etection 1 obtenue par simulation Monte-Carlo, pour les param`etres typiques du jet, avec la formule (3.164). Les r´esultats de la simulation et de l’ajustement sont pr´esent´es dans la Fig. 3.34. La courbe en escalier est obtenue par simulation Monte-Carlo et celle en trait fin est le r´esultat de l’ajustement. Les param`etres d´eduits de l’ajustement valent

Td1 = 126.8 ms et Td1rms = 3.1 ms. A partir de ces valeurs, nous pouvons

aussi calculer le temps de transit moyen correspondant T `a partir de (3.165), et le temps de transit quadratique moyen effectif Trms avec (3.166). Nous ob-

tenons T = 0.480 s et Trms = 18.8 ms. On constate que ces valeurs sont ´egale-

ment proches de celles correspondant `a la distribution effective de temps de transit¡T = 0.480 s et Trms = 18.5 ms

¢

. Ceci confirme que dans ce cas aussi, nous pouvons d´ecrire, avec une bonne approximation, la distribution effective normalis´ee de temps de d´etection de la fontaine continue par la distribution effective de temps de transit (3.159) dans laquelle on exprime T en fonction de Tdi `a partir de l’´equation (3.36).