Gradient de phase longitudinal

Comme nous avons d´etermin´e la perturbation du nombre d’onde trans- verse kr02 dans la sous-section pr´ec´edente pour le cas id´eal suppos´e, il est

ais´e d’en d´eduire la variation longitudinale de la phase de la composante Hz

du champ magn´etique de la cavit´e dans ce cas. La variation longitudinale de cette phase donne lieu `a un effet Doppler du 1er _{ordre qui peut engendrer}

un d´eplacement de la fr´equence de r´esonance de l’´etalon. En fait, ce d´eplace- ment de fr´equence devrait s’annuler, si la phase ne d´epend pas de la position radiale, du fait que lors des deux travers´ees de la cavit´e par le jet atomique,

les vitesses longitudinales sont invers´ees. Ceci est vrai bien que le mouvement des atomes soit acc´el´er´e et mˆeme s’il existe une asymm´etrie de la phase par rapport au centre de la zone d’interaction, due par exemple `a des propri´e- t´es ´electromagn´etiques des surfaces internes des couvercles de la cavit´e qui sont diff´erentes mais toutefois homog`enes. En r´ealit´e, la phase longitudinale est coupl´ee avec la position radiale, si bien que la dispersion des trajectoires atomiques dans le plan transverse induit quand mˆeme un d´eplacement de fr´equence r´esiduel dˆu `a l’effet Doppler du 1er _{ordre. En effet, les atomes lors}

de la travers´ee de la deuxi`eme zone d’interaction ne passerons pas en g´en´eral `a la mˆeme distance de l’axe du trou de passage que lors de la travers´ee de la premi`ere zone d’interaction. Le d´eplacement de fr´equence r´esultant devrait ˆetre faible et nous ne l’´evaluerons pas dans la suite de ce travail.

Nous nous contentons ici de d´eterminer la variation longitudinale de la phase engendr´ee par les hypoth`eses que nous avons faites dans la sous-section pr´ec´edente. Nous pouvons calculer la perturbation correspondante du nombre d’onde longitudinal kz1 induite par la perturbation du nombre d’onde trans-

verse kr02 avec la relation (4.4). Nous trouvons ainsi la constante de propa-

gation longitudinale complexe γ_z. A l’ordre de perturbation le plus bas, la fr´equence de r´esonance de la cavit´e reste inchang´ee et la partie r´eelle de γ_z vaut γ0

z = −αz o`u αz est la constante d’att´enuation qui est donn´ee par :

αz = εs kr02

kz1

k_r00₀₂ (4.57)

et la partie imaginaire vaut γ00

z = kz1. Avec les valeurs des grandeurs d´etermi-

n´ees dans la sous-section pr´ec´edente, on obtient pour la constante d’att´enua- tion une valeur de αz ' 2.4 · 10−3m−1. La th´eorie des lignes de transmission

nous permet d’´ecrire la d´ependance longitudinale de la composante z du champ magn´etique perturb´e H_z sous la forme :

H_z(r, z) = Hc J0(kr02r) + Ar02N0(kr02r) J0(kr02l) + Ar02N0(kr02l) · e −γ_z|z| _{+ Γ} Heγz|z| 1 + Γ_H (4.58) o`u Γ_H est le coefficient de r´eflexion du champ magn´etique sur les couvercles inf´erieur et sup´erieur de la cavit´e. Il s’exprime par :

Γ_H= Z0− Zs

Z0+ Zs

(4.59) De l’expression (4.58) du champ perturb´e, on en d´eduit facilement la variation longitudinale de la phase φz(l, z) de la composante Hz du champ magn´etique

de la cavit´e. Au 1er _{ordre de perturbation et dans la limite α}

zb/2 ¿ 1, on obtient : φz(l, z) ' − arctan © αzz tan (kz1z) ª (4.60)

0 2 4 6 8 10 12 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 b/2 P h ase φz ( l , z ) / π r ad Distance longitudinale z / mm

Fig. 4.11: Variation longitudinale de la phase φz(l, z) le long de l’axe des trous de passage

de la cavit´e. La phase est repr´esent´ee pour la moiti´e sup´erieure de la cavit´e et nous avons volontairement exag´er´e la valeur de εs pour mieux la visualiser. Le gradient de phase

longitudinal au sommet de la cavit´e est de ∇zφz(l, b/2) ' − 3.8 krad/mm.

La variation longitudinale de la phase φz(l, z) le long de l’axe des trous de

passage de la cavit´e est repr´esent´ee dans la Fig. 4.11 pour la moiti´e sup´erieure de la cavit´e. Conform´ement aux hypoth`eses que nous avons faites, la phase longitudinale de la composante Hz du champ magn´etique est sym´etrique par

rapport au centre de la zone d’interaction (z = 0) et varie quadratiquement autour du centre. Quoique pas tr`es r´ealiste, puisque nous avons consid´er´e une cavit´e id´ealis´ee sans trou de passage dans les couvercles, nous donnons quand mˆeme l’expression du gradient de phase longitudinal ∇zφz au sommet et au

bas de la cavit´e (z = ± b/2) :

∇zφz = ∓

2kz1

αzb

(4.61) Avec les valeurs d´etermin´ees pr´ec´edemment, il vaut ∇zφz ' ∓ 3.8 krad/mm.

Remarques :

Avec le mod`ele id´ealis´e de la cavit´e que nous avons consid´er´e pour d´e- terminer la variation spatiale de la phase de la composante z du champ magn´etique, on peut ´ecrire cette phase, au 1er _{ordre de perturbation, sim-}

plement comme la somme des deux variations ind´ependantes que nous avons estim´ees :

On peut interpr´eter de mani`ere g´en´erale la variation spatiale de la phase du champ magn´etique Hz en termes de flux d’´energie. En effet, il a ´et´e montr´e

[KVM96] que le gradient de phase spatial est reli´e `a la partie r´eelle du vecteur de Poynting par la relation :

Re(~S ) = −Z0| ~H|2 − → ∇φ k0 (4.63)

Variation radiale de la phase :

Ainsi, on peut interpr´eter la variation radiale de la phase repr´esent´ee dans la Fig. 4.9 comme due, d’une part, `a un flux d’´energie radial positif qui va environ du centre de la zone d’interaction vers la paroi cylindrique ext´erieure (gradient de phase n´egatif), et d’autre part, `a un flux d’´energie n´egatif du centre de la zone d’interaction vers la paroi cylindrique int´erieure (gradient de phase positif). Ceci est conforme `a l’effet que l’on attend de parois m´e- talliques avec pertes, `a savoir que l’´energie s’´ecoule de l’endroit o`u le champ magn´etique est ´elev´e vers les parois o`u elle est dissip´ee.

On voit alors que l’endroit o`u le gradient s’annule correspond au point o`u le flux d’´energie s’inverse. On remarque que ce point ne se situe pas `a l’en- droit o`u le champ magn´etique est maximum (r = l), mais environ 2 mm plus au centre de la cavit´e. On en d´eduit ainsi que le champ ´electrique du mode perturb´e, dont le champ magn´etique Hz est donn´e par (4.58), ne s’annule

plus sur l’axe des trous de passage de la cavit´e, mais environ 2 mm plus au centre puisque le champ magn´etique `a cet endroit n’est pas nul. Ceci n’est pas ´etonnant car la perturbation due `a des parois imparfaitement conductrices, bien que faible, n’est pas n´egligeable l`a o`u le champ ´electrique s’annule. Par contre, la perturbation du champ magn´etique Hz`a cet endroit est n´egligeable

car le champ y est ´elev´e.

Variation longitudinale de la phase :

On peut faire la mˆeme observation pour la variation longitudinale de la phase en ce qui concerne les flux d’´energie. Ici, du fait de la sym´etrie de la phase, le point o`u le flux d’´energie s’inverse se situe dans le plan m´edian de la ca- vit´e (z = 0). Nous avons consid´er´e une cavit´e id´ealis´ee sans ouvertures de passage pour le jet atomique dans les couvercles inf´erieur et sup´erieur. La prise en compte des ces ouvertures devrait notablement diminuer la varia- tion longitudinale de la phase comme cela a ´et´e montr´e dans le cas d’une cavit´e cylindrique [KM94]. Nous avons ´egalement n´eglig´e l’effet du couplage de la cavit´e avec la micro-onde par le guide d’onde de couplage. Cet effet

devrait engendrer une variation non plus quadratique de la phase autour du plan m´edian de la cavit´e mais plutˆot lin´eaire [VD93].

Variation azimutale de la phase :

Dans le cas id´eal que nous avons consid´er´e, la phase du champ Hz ne varie pas

azimutalement car il n’y a aucune d´ependance azimutale du mode TE021. Si

l’on consid`ere le couplage de la cavit´e avec l’ext´erieur, cela va introduire une d´ependance azimutale des champs. Si la cavit´e est coupl´ee asym´etriquement (par un seul cˆot´e), il y aura un gradient de phase azimutal non-nul au centre des zones d’interaction mais qui sera identique pour chaque zone. En effet, dans ce cas il y a un flux d’´energie azimutal qui s’´ecoule depuis le couplage vers le point oppos´e de la cavit´e, donnant lieu `a un gradient de phase azi- mutal n´egatif dans le sens positif et invers´ement. Si le couplage de la cavit´e est parfaitement sym´etrique (par deux endroits oppos´es), la phase va varier azimutalement quadratiquement autour de l’axe des trous de passage et le gradient de phase sera nul sur cet axe. En effet, vu la sym´etrie de la cavit´e, le flux d’´energie azimutal s’inverse dans ce cas sur l’axe des trous de passage.