Simulations ´elasto-plastiques

Trajet de chargement Deux types de trajets de chargement r´ealisables en cellule d’essai triaxiale ont ´et´e ´etudi´es. Dans les deux cas, la contrainte moyenne est diminu´ee dans un pre-mier temps `a partir de l’´etat libre de contrainte jusqu’`a la contrainte σ_m⁰ `a l’int´erieur du do-maine d’´elasticit´e initial (compression `a d´eviateur nul). Dans un second temps, un d´eviateur de contrainte est impos´e par l’application d’une contrainte axiale compressive suppl´ementaire `a l’aide d’un piston. Pour cette ´etape, deux possibilit´es sont ´etudi´ees :

– trajet “triaxial” : la contrainte lat´erale est maintenue constante, de sorte que les variations des contraintes moyenne et d´eviatorique sont proportionelles.

– trajet `a “contrainte moyenne constante” : `a mesure que la compression axiale est aug-ment´ee, la compression lat´erale est diminu´ee de telle sorte que la contrainte moyenne reste constante au cours de l’essai.

Notons σN

m la limite d’´elasticit´e en compression isotrope initiale. Si σ0

m = σN

m, l’essai est dit r´ealis´e `a l’´etat normalement consolid´e. Si|σ0

m| < |σN

m|, l’´etat est dit sur-consolid´e. Dans la suite, nous serons amen´es `a distinguer les ´etats faiblement sur-consolid´es (“wetter than critical”) des

´etats fortement sur-consolid´es (“dryer than critical”). L’algorithme utilis´e pour les simulations ´elasto-plastiques est d´etaill´e en annexe G, section G.1.

Deux types d’´evolution ´elasto-plastique Si l’on suit un trajet de chargement tel que la limite d’´elasticit´e initiale soit atteinte en un point dont la normale a un taux de triaxialit´e β_m < β_m^c , la porosit´e diminue. La matrice subit un ´ecrouissage positif et β_m augmente jusqu’`a ce que β<sub>m</sub> = β<sub>m</sub><sup>c</sup> : l’´etat de contrainte et de porosit´e se bloque `a l’´etat critique et l’´ecoulement plastique libre est atteint. Cette situation correspond aux ´etats normalement consolid´es ou faiblement sur-consolid´es.

Au contraire, si la limite d’´elasticit´e initiale est atteinte en un point dont la normale a un taux de triaxialit´e β_m > βc

m, la porosit´e augmente. La matrice subit un ´ecrouissage n´egatif et βm diminue jusqu’`a ce que βm = β<sub>m</sub><sup>c</sup> : l’´etat de contrainte et de porosit´e se bloque `a l’´etat critique et l’´ecoulement plastique libre a lieu. Cette situation correspond aux ´etats fortement sur-consolid´es3. Elle se caract´erise par la pr´esence d’un pic des contraintes associ´e `a l’augmentation de porosit´e apr`es atteinte de la limite d’´elasticit´e.

Ces deux situations sont tr`es diff´erentes puisque dans le premier cas la porosit´e diminue et la contrainte d´eviatorique peut augmenter, dans le second la porosit´e augmente et la contrainte d´eviatorique doit diminuer.

La Fig. 7.3a illustre un chargement `a contrainte moyenne constante en conditions norma-lement consolid´ees. Le volume de l’´echantillon commence par diminuer par accommodation de la porosit´e, ce qui entraˆıne un ´ecrouissage positif. Puis, `a d´eviateur de contrainte croissant, la diminution de porosit´e entre progressivement en comp´etition avec la dilatation des interfaces. Lorsque l’´etat de contrainte est en haut de l’ellipse (c.f. Fig.7.3b), la r`egle de normalit´e indique que le taux de d´eformation plastique est purement d´eviatorique : la diminution de porosit´e est exactement compens´ee par la dilatation des interfaces. En ce point, le multiplicateur plastique est fini donc l’´ecoulement plastique libre n’a pas lieu et l’´ecrouissage continue. Au del`a de ce point, le volume de l’´echantillon augmente car la porosit´e diminue moins que les interfaces ne se dilatent. Sous certaines conditions sur l’angle de frottement, l’´etat critique peut ensuite ˆetre atteint et l’´ecoulement plastique libre se d´eclenche.

Concordance avec les notions empiriques de m´ecanique des sols Le mod`ele ´elasto-plastique de la matrice argileuse pr´esent´e dans cette section est s´eduisant puisqu’il permet de rendre compte par une approche micro-m´ecanique de concepts classiquement introduits en m´ecanique des sols par des approches empiriques (voir Atkinson [2], Schofield et Wroth [88]). Ainsi, la notion de surface d’´etat est retrouv´ee Fig. 7.2 : il faut concevoir la surface de charge plastique dans l’espace (σ, φ). Sous l’action d’un chargement m´ecanique, les contraintes et la porosit´e ´evoluent jusqu’`a un ´etat critique d´efini par l’intersection du trajet de chargement avec la ligne d’´etat critique (7.17). Les deux grandes classes d’´evolution sont retrouv´ees : compaction des mat´eriaux les plus lˆaches (“wet side of critical”) ou d´ecompaction des mat´eriaux les plus denses (“dry side of critical”). La Fig. 7.4 illustre que le mod`ele d’´ecrouissage par changement de porosit´e capture bien les ph´enom`enes observ´es exp´erimentalement.

Notons seulement quelques diff´erences. Premi`erement, le pic de contrainte des mat´eriaux fortement sur-consolid´es est abrupt dans ce mod`ele. En effet, le mod`ele ne fait pas de distinction entre les interfaces (pas d’orientation privil´egi´ee, de distributions de tailles) qui entrent toutes en plasticit´e en mˆeme temps. Ceci est coh´erent avec le fait que l’´ecrouissage par ´energie bloqu´ee a

3Il est donc clair que la notion de d’´etat consolid´e d´epend `a la fois du mat´eriau et du trajet de chargement

impos´e : il est possible qu’un mˆeme ´echantillon auquel on appliquerait la mˆeme contrainte moyenne σ⁰_m puis

soit un trajet triaxial classique, soit un trajet `a contrainte moyenne constante, puisse avoir une augmentation

de porosit´e pour le chargement triaxial et une diminution de porosit´e pour le chargement `a contrainte moyenne

0 5 10 15 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 σ^d −ε ε_vol ε_axi ε_lat (a) 0 5 10 15 20 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 σ^d σ_m lig ne d’´e tat crit_iqu e tr a je t φ=0,345 (D) φ=0,355 (W) φ=0,365 (N) φ=0,348 (C) (b)

Fig. 7.3: (a) d´eformations axiales, lat´erales et volumiques pour un essai `a contrainte moyenne constante sur un ´echantillon normalement consolid´e. (b) projection de Fig. 7.2 dans le plan (σ<sub>m</sub>, σ<sub>d</sub>) : ligne d’´etat critique et limites d’´elasticit´e initiales et finale pour les trois cas pr´esent´es Fig. 7.4 `a droite : N=´echantillon normalement consolid´e, W=´echantillon “wetter than criti-cal” (l´eg`erement sur-consolid´e), D=´echantillons “dryer than criticriti-cal” (fortement surconsolid´es), C=´etat critique.

´et´e n´eglig´e : soit la microstructure suit une ´evolution ´elastique, soit elle est totalement plastifi´ee, mais les situations interm´ediaires ne sont pas consid´er´ees (c.f. mod`ele de sph`ere creuse [8]).

Deuxi`emement, le mod`ele pr´evoit que l’´ecoulement plastique libre est n´ecessairement dila-tant. Or exp´erimentalement la variation de volume semble ˆetre nulle `a l’´ecoulement plastique libre [2]. Cette caract´eristique du mod`ele tient `a ce que l’on consid`ere que les interfaces suivent un comportement plastique avec r`egle d’´ecoulement associ´ee. Pour le crit`ere de Mohr-Coulomb consid´er´e, la dilatance des interfaces peut ˆetre attribu´ee `a une rugosit´e en dents de scie des inter-faces. Or s’il paraˆıt plausible que du fait de cette rugosit´e l’´ecoulement plastique des interfaces soit initialement associ´e, il est en revanche improbable qu’il le soit pour des d´ecollements d’in-terfaces arbitrairement grands. Il faudrait donc rendre compte d’une distance caract´eristique du d´ecollement li´ee `a la tribologie des interfaces, au del`a de laquelle l’´ecoulement n’est plus associ´e, mais non dilatant (en moyenne).

Enfin, le mod`ele ne pr´evoit pas le comportement initialement l´eg`erement contractant des ´echantillons fortement sur-consolid´es.