Crit`ere de Drucker Prager

5.1 R´esistance d’un milieu h´et´erog`ene

La pr´esentation reprend les expos´es de [5,34,37].

5.1.1 Description des capacit´es de r´esistance

Description statique Les capacit´es de r´esistance d’un mat´eriau sont caract´eris´ees par la donn´ee de l’ensemble G des ´etats de contrainte σ admissibles. Le domaine G est convexe et contient l’´etat de contrainte nul. Il est usuellement caract´eris´e par un crit`ere de r´esistance f (σ) :

σ ∈ G ⇔ f(σ) 6 0. (5.1)

La fonction f est convexe.

Description cin´ematique De fa¸con duale et ´equivalente, le domaine G peut ˆetre d´ecrit par sa fonction d’appui π d´efinie pour toutes les directions d par :

π(d) = sup

σ∈G

σ: d. (5.2)

La variable d est un tenseur d’ordre 2 auquel on conf`ere le sens physique de taux de d´eformation. La fonction d’appui correspond alors `a la puissance dissip´ee. La fonction d’appui π est `a va-leurs dans R+ et convexe par construction. De mani`ere ´equivalente, l’admissibilit´e d’un ´etat de contrainte est caract´eris´ee par (5.1) ou

σ∈ G ⇔ ∀d, σ : d ≤ π(d). (5.3)

G´eom´etriquement, le domaine convexe G est situ´e sous l’hyperplanH(d) d’´equation σ : d = π(d) pour toute direction d telle que π(d) < +∞.

Fronti`ere du domaine de r´esistance Si un ´etat de contrainte σ appartient au domaine G et `a l’hyperplanH(d), alors il appartient `a la fronti`ere ∂G de G en un point o`u d est la normale ext´erieure `a ∂G : ( σ ∈ G σ : d = π(d) ⇒    σ∈ ∂G ∃λ > 0, d = λ^∂f ∂σ^(σ) (5.4) Par ailleurs, la fonction d’appui π est positivement homog`ene de degr´e 1, c’est `a dire

∀t > 0, ∀d, π(td) = tπ(d). (5.5)

Si π est suffisament r´eguli`ere, la d´erivation de (5.5) par rapport `a t en t = 1 fournit l’identit´e d’Euler :

∂π

∂d^{(d) : d = π(d). (5.6)}

Montrons que ∂π/∂d(d) appartient `a ∂G. L’identit´e (5.6) implique que ∂π/∂d(d) appartient `a l’hyperplanH(d). Par ailleurs, pour toute direction d^′, la convexit´e de π s’´ecrit :

π(d^′)− π(d) ≥ ^∂π

∂d^{(d) : (d}

′− d). (5.7)

L’utilisation de (5.6) dans (5.7) fournit ∀d^′, ^∂π

∂d^{(d) : d}

′

D’apr`es la d´efinition duale (5.3) d’un ´etat de contrainte admissible, on en d´eduit que ∂π/∂d(d) appartient `a G. Ainsi, l’implication (5.4) permet d’affirmer que ∂π/∂d(d) appartient `a la fronti`ere de G :

∂π

∂d^(d)∈ ∂G. (5.9)

Cette propri´et´e s’av`erera particuli`erement int´eressante pour d´eterminer les capacit´es de r´esistance macroscopiques d’un milieu h´et´erog`ene.

5.1.2 Homog´en´eisation des capacit´es de r´esistance

D´efinitions statique et cin´ematique du domaine de r´esistance macroscopique Probl`eme de calcul `a la rupture On consid`ere un VER Ω d’un mat´eriau h´et´erog`ene, repr´esentatif de ses capacit´es de r´esistance. En chaque point z de Ω les capacit´es de r´esistance sont d´ecrites par un domaine de r´esistance G(z), qui est caract´eris´e de fa¸con ´equivalente par le crit`ere f (σ, z) ou la fonction d’appui π(d, z). La capacit´e de r´esistance macroscopique est d´efinie par l’interm´ediaire d’un probl`eme de calcul `a la rupture pos´e sur le VER Ω. Dans ce chapitre, on consid`ere un mode de chargement pilot´e en taux de d´eformation avec conditions aux limites p´eriodiques :

∀z ∈ ∂Ω, (

v(z) = D· z + v^per(z) avec v^per(z) p´eriodique

σ(z)· n(z) anti-p´eriodique ^(5.10)

o`u D est le taux de d´eformation macroscopique, v(z) un champ de vitesse cin´ematiquement admissible avec D, σ(z) un champ de contrainte et n(z) la normale unitaire ext´erieure `a ∂Ω. L’ensemble des champs de vitesse microscopiques cin´ematiquement admissibles avec D est :

C(D) =u | C1 par morceaux, ∀z ∈ ∂Ω u(z) − D · z p´eriodique . (5.11) La grandeur duale de D est identifi´ee par consid´eration de la puissance des efforts ext´erieurs Pext et application du lemme de Hill :

P^ext = Z ∂Ω v· σ · n d S = Z ∂Ω z· D · σ · n d S = |Ω|D : σ (5.12) o`u l’on a utilis´e la p´eriodicit´e de v^per, l’anti-p´eriodicit´e de σ · n et divσ = 0. La grandeur duale de D est donc la contrainte macroscopique Σ = σ. L’ensemble des champs de contrainte microscopiques statiquement admissibles avec Σ est :

S(Σ) = {σ | divσ = 0, σ = Σ, ∀z ∈ ∂Ω σ(z) · n anti-p´eriodique} . (5.13) De mani`ere plus g´en´erale, l’ensemble des champs statiquement admissibles estS = ∪ΣS(Σ). D´efinition statique de Ghom

Un ´etat de contrainte macroscopique Σ est dit admissible si il existe un champ de contrainte microscopique σ(z) statiquement admissible avec Σ et compatible en tout point z de Ω avec le domaine de r´esistance local G(z). Le domaine G^hom des ´etats de contrainte macroscopiques admissibles est donc d´efini par :

Σ∈ G^hom⇔ ∃σ, (

σ∈ S(Σ)

D´efinition cin´ematique de Ghom

Soit Σ un ´etat de contrainte macroscopique admissible et σ(z) un champ de contrainte microscopique qui poss`ede les propri´et´es de (5.14). D’apr`es l’application du lemme de Hill (5.12) et la d´efinition de la fonction d’appui (5.2), il vient :

Σ∈ G^hom⇒ ∀D, ∀u ∈ C(D), Σ : D ≤ π(d(u), z) (5.15) Puis, le minimum sur tous les champs cin´ematiquement admissibles donne :

Σ∈ G^hom⇒ ∀D, Σ : D ≤ Π^hom(D), (5.16)

o`u l’on a introduit

Π^hom(D) = inf

u∈C(D)π(d(u), z). (5.17)

En vertu d’un th´eor`eme g´en´eral d’analyse limite [40] qui ´enonce l’´equivalence des approches statique et cin´ematique, la r´eciproque de (5.16) est valable :

Σ∈ G^hom ⇔ ∀D, Σ : D ≤ Π^hom(D) (5.18)

L’application de (5.3) montre alors que Πhom(D) peut effectivement ˆetre interpr´et´ee comme la fonction d’appui de G^hom. Les champs de vitesse candidats pertinents pour r´ealiser le minimum de (5.17) dans C(D) doivent correspondre `a une valeur finie de π. L’optimisation de (5.17) se fait donc en pratique sur le sous espace de C(D) de champs cin´ematiquement admissibles qui v´erifient les conditions de pertinence assurant π(d) <∞.

Remarquons que l’ensemble C(D) contient des champs de vitesse avec discontinuit´es. Si un champ u∈ C(D) pr´esente un saut JuK `a travers une surface S de normale unitaire n, alors d est singulier surS. Le taux de d´eformation doit alors ˆetre exprim´e au sens des distributions

d={d} + JuK⊗ nδ^s S (5.19)

o`u{d} est la partie r´eguli`ere de d et δS la distribution de Dirac de la surface de discontinuit´eS. La moyenne de la fonction d’appui intervenant dans (5.17) fait alors apparaˆıtre une contribution volumique de la partie r´eguli`ere{d} et une contribution surfacique de la discontinuit´e JuK ⊗ n :

π(d(u), z) = ¹ |Ω| Z Ω π({d(u)}, z) d V + Z S π(JuK⊗ n, z) d S^s  (5.20) Les approches statiques et cin´ematiques du calcul `a la rupture permettent alors de construire des encadrements des capacit´es de r´esistance macroscopiques :

– Approche statique par l’int´erieur

La construction d’un champ de contrainte microscopique compatible en tout point avec le crit`ere de r´esistance local et statiquement admissible avec un ´etat de contrainte macro-scopique Σ implique que Σ∈ Ghom. Si cette op´eration est r´ep´et´ee pour plusieurs ´etats de contrainte macroscopiques admissibles, l’enveloppe convexe de ces ´etats de contrainte est un domaine n´ecessairement inclus dans G^hom.

– Approche cin´ematique par l’ext´erieur

La construction d’un champ de vitesse cin´ematiquement admissible avec un taux de d´eformation macroscopique D permet de d´eterminer un majorant Π^hom(D) et donc un demi-espace qui contient n´ecessairement l’int´egralit´e de Ghom. Si cette op´eration est r´ep´et´ee pour diff´erentes directions D, l’intersection des demi-espaces correspondants est un do-maine convexe qui contient enti`erement G^hom.

Une mise en oeuvre num´erique efficace des approches statique et cin´ematique bas´ee sur le for-malisme de la programmation conique a ´et´e propos´ee et illustr´ee notamment par [16,45,57,76]. Dans la section suivante, une approche alternative est pr´esent´ee.

5.1.3 D´etermination de la fronti`ere du domaine de r´esistance macroscopique

L’objet de cette section est de caract´eriser chaque ´etat de contrainte macroscopique de la fronti`ere ∂G<sup>hom</sup>comme la moyenne d’un champ de contrainte solution d’un probl`eme aux limites [60].

D´efinition du probl`eme visqueux non-lin´eaire fictif

La d´efinition de la fonction d’appui macroscopique pr´esent´ee dans (5.17) montre que Π^hom(D) s’obtient par la r´esolution d’un probl`eme de minimisation de π(d(u), z) sur les champs de vitesse cin´ematiquement admissibles u∈ C(D). Ce probl`eme de minimisation a formellement la mˆeme structure qu’un probl`eme d’´elasticit´e non lin´eaire dans lequel la fonction d’appui joue le rˆole de l’´energie libre volumique locale et la vitesse celui du d´eplacement. Supposons que la fonction d’appui π soit suffisamment r´eguli`ere. Il est alors l´egitime de s’int´eresser au probl`eme visqueux fictif suivant dont les inconnues sont le champ de vitesse v et le champ de contrainte σ :        σ ∈ S v ∈ C(D) et d = grad^sv ∀z ∈ Ω, σ(z) = ^{∂π(d, z)} ∂d (5.21)

Signalons qu’en d = 0 la fonction π n’est pas diff´erentiable. La condition σ = ∂π/∂d(d) doit alors ˆetre remplac´ee par σ∈ G en tout point o`u d s’annule [5].

Cherchons `a ´etablir que le champ de contrainte σ solution de (5.21) est statiquement admis-sible avec un ´etat de contrainte macroscopique Σ situ´e sur la fronti`ere ∂G^hom. Tout d’abord, la propri´et´e (5.9) et la d´efinition statique (5.14) de G^hom indiquent que Σ = ∂π/∂d∈ G^hom. En se-cond lieu, l’int´egration de l’identit´e d’Euler (5.6) et le fait que v est un champ cin´ematiquement admissible avec D conduisent `a :

∂π

∂d^{(d) : d = π(d)}≥ Π^hom(D). (5.22)

Puis, l’application du lemme de Hill au membre de gauche fournit l’in´egalit´e : ∂π

∂d^{(d) : d =} ∂π

∂d^{(d) : d = Σ : D}≥ Π^hom(D). (5.23) Or Σ ∈ Ghom donc Σ : D ≤ Πhom(D) d’apr`es (5.3), de sorte que Σ : D = Π^hom(D). La propri´et´e (5.4) permet de conclure que

 



Σ = ^∂π

∂d^(d)∈ ∂G^hom

D est la normale ext´erieure `a ∂G^hom au point Σ

(5.24)

Ainsi, la r´esolution du probl`eme visqueux fictif (5.21) fournit une strat´egie pour construire la surface ∂G^hom.

Notons que la d´efinition du probl`eme (5.21) est aussi motiv´ee par le th´eor`eme d’association [84]. En effet, soit un ´etat de contrainte macroscopique Σ qui appartient `a ∂Ghom en un point o`u D est normale ext´erieure. Supposons avoir trouv´e un couple (v, σ) tel que σ ∈ S(Σ) soit compatible avec les crit`eres de r´esistance locaux et v ∈ C(D) r´ealise le minimum dans (5.17). Le th´eor`eme d’association stipule alors qu’en tout point o`u d(v)6= 0, σ appartient `a la fronti`ere ∂G en un point o`u d(v) est normale ext´erieure. En revanche, en tout point o`u d(v) = 0, σ peut ˆetre situ´e n’importe o`u dans G.

Crit`eres de r´esistance locaux fonction des deux premiers invariants

Consid´erons le cas o`u le crit`ere de r´esistance local f (σ) est r´egi par les deux premiers inva-riants du tenseur des contraintes :

f (σ) = f (σ_m, σ_d) avec σ_m= tr σ/3 ; σ_d= σ_d: σ_d, (5.25) o`u σ_d= σ− σm1 est la partie d´eviatorique du tenseur des contraintes. Par d´efinition (5.2), la fonction d’appui s’´ecrit

π(d) = sup{σmd_v+ σ_d: d_d| f(σm, σ_d)≤ 0}. (5.26) Or, `a σ<sub>d</sub>fix´e, σ<sub>d</sub>: d<sub>d</sub>est maximal pour σ<sub>d</sub>colin´eaire `a d_d. Finalement, la fonction d’appui n’est elle aussi fonction que des deux premiers invariants de d :

π(d) = sup{σmd_v+ σ_dd_d| f(σm, σ_d)≤ 0} = π(dv, d_d). (5.27) La loi de comportement fictive non lin´eaire peut s’´ecrire sous la forme

σ = ^∂π ∂d^{(dv, dd) =} ∂π ∂d_v^{(dv, dd)1 +} ∂π ∂d_d^{(dv, dd)} d_d d_d ^{= C(dv, dd) : d (5.28)} o`u le tenseur de rigidit´e s´ecant C(d_v, d_d) est isotrope et d´efini par

C(dv, d_d) = 3k(d_v, d_d)J + 2µ(d_v, d_d)K avec        k(d_v, d_d) = ¹ dv ∂π(d_v, d_d) ∂dv 2µ(d_v, d_d) = ¹ d_d ∂π(d_v, d_d) ∂d_d (5.29)

Cette forme de loi de comportement n’est pas unique. Par exemple, la loi de comportement peut ˆetre ´ecrite sous une forme pr´econtrainte σ = C(d) : d + σ^p(d). Pour conserver l’isotropie de la formulation, il faut de plus choisir une pr´econtrainte sph´erique : σp(d) = σp(d)1. Le choix d’une formulation pr´econtrainte peut par exemple ˆetre motiv´e par la conservation du caract`ere d´efini positif du tenseur C(d).

R´egularisation du crit`ere de r´esistance

Les raisonnements pr´ec´edents ont ´et´e d´evelopp´es sous l’hypoth`ese que la fonction d’appui π du domaine G est suffisament r´eguli`ere. Cependant, pour de nombreux crit`eres usuels (Von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coulomb), la fonction d’appui n’est pas diff´erentiable. Afin de se ramener `a la formulation d’un probl`eme visqueux fictif (5.21), la fonction d’appui doit ˆetre r´egularis´ee. `A cet effet, [5] propose de construire une suite de crit`eres (f<sub>n</sub>)<sub>n∈N</sub> qui correspond `a une suite de domaines (G_n)_n∈N qui v´erifient les propri´et´es :

1. ∀n ∈ N, Gn est born´e et strictement convexe,

2. la suite (G_n)_n∈N est croissante : ∀n ∈ N, Gn⊂ Gn+1 ⊂ G,

3. la limite de la suite (G_n)_n∈N est G au sens : l’adh´erence de ∪n∈NG_n est ´egale `a G.

Pour tout n∈ N, le caract`ere born´e strictement convexe de Gnassure la diff´erentiabilit´e de fonc-tion d’appui πncorrespondante, hormis aux points anguleux pour lesquels il faut faire intervenir le sous-diff´erentiel de π_n [5].

Supposons qu’une suite de crit`eres (f<sub>n</sub>(z))<sub>n∈N</sub> est construite suivant les propri´et´es requises ci-dessus en chaque point z de Ω o`u π(z) n’est pas suffisament r´eguli`ere. Alors, pour toute valeur de n, la fronti`ere du domaine de r´esistance homog´en´eis´e correspondant G^hom_n peut ˆetre obtenue th´eoriquement par la r´esolution de (5.21). D’apr`es la d´efinition statique (5.14) de G^hom_n , on v´erifie ais´ement que Ghom

n ⊂ Ghom

n+1 ⊂ Ghom. On admettra que la suite (Ghom

n )_n∈N tend vers G^hom au sens : l’adh´erence de ∪n∈NGhom

R´egularisation de la fonction d’appui

Une strat´egie alternative est de r´egulariser directement la fonction d’appui π par une suite de potentiels (ψ_n)_n∈N qui v´erifient les propri´et´es :

1. ∀n ∈ N, ψn est une fonction de d convexe de classeC1 `a valeurs dans R+, 2. ∀d, limn→∞ψ_n(d) = π(d).

Lors de l’utilisation de cette m´ethode, il faut garder `a l’esprit que la fonction ψn n’est pas n´ecessairement positivement homog`ene de degr´e 1. Le cas ´ech´eant, elle n’est pas la fonction d’appui d’un domaine.

Supposons qu’en chaque point z de Ω o`u π(z) n’est pas suffisament r´eguli`ere une suite de potentiels (ψ_n(z))_n∈Nest construite suivant les propri´et´es requises ci-dessus. En chaque point o`u π(z) est r´eguli`ere, le potentiel ψ_n(z) est pris ´egal `a π(z). Supposons par ailleurs que ces suites de potentiels v´erifient∀n ∈ N et ∀d la propri´et´e additionnelle ψn(d, z)≥ ψn+1(d, z)≥ ψ(d, z). Pour toute valeur de n, notons v_n le champ qui r´ealise le minimum :

Ψ^hom_n (D) = inf

u∈C(D)ψn(d(u), z) = ψn(d(vn), z), (5.30) sous r´eserve que ce minimum existe. Alors

Ψ^hom_n+1(D) = inf

u∈C(D)ψ_n+1(d(u), z)≤ ψn+1(d(v_n), z)≤ ψn(d(v_n), z) = Ψ^hom_n (D) (5.31) et la suite (Ψ^hom_n (D))_n∈N v´erifie

∀n ∈ N Πhom(D)≤ Ψhom

n+1(D)≤ Ψhom

n (D). (5.32)

On supposera que lim_n→∞Ψhom

n (D) = Πhom(D).

5.2 Approche cin´ematique par une m´ethode FFT non lin´eaire

L’id´ee propos´ee est de r´esoudre de fa¸con approch´ee le probl`eme non lin´eaire fictif (5.21) par une m´ethode num´erique. La cin´ematique obtenue sera alors utilis´ee dans l’approche cin´ematique du calcul `a la rupture pour fournir un majorant de la fonction d’appui macroscopique.

La pr´esentation se base ici sur le sch´ema it´eratif propos´e par Michel et al. [66] pour la r´esolution des probl`emes non lin´eaires par FFT. N´eanmoins, la m´ethode propos´ee n’est a priori pas restreinte `a ce sch´ema de r´esolution. Le sch´ema ´etudi´e ici repose sur la stationarit´e d’une fonctionnelle appel´ee Lagrangien augment´e et la r´esolution du probl`eme discr´etis´e non lin´eaire par un algorithme de Uzawa. L’expos´e de Michel et al. [66] est ici adapt´e au probl`eme d’ho-mog´en´eisation du crit`ere de r´esistance qui nous int´eresse.

5.2.1 Fonctionnelle Lagrangien augment´e

Le probl`eme de minimisation `a r´esoudre est (5.17) : Π^hom(D) = inf

u∈K(D)π (d(u)). (5.33)

Dans notre cas, π a le sens d’une fonction d’appui du crit`ere de r´esistance local. En tout point z, la loi de comportement d´erive du potentiel π(d, z) :

σ(z) = ^∂π

Le probl`eme de minimisation peut ˆetre reformul´e par introduction d’une liaison e(z)−d (u(z)) = 0 en tout point de Ω. Le multiplicateur de Lagrange associ´e `a cette liaison est not´e λ(z). Le Lagrangien usuel serait alors

L(d(u), e, λ) = π (e) + λ : (d(u) − e) (5.35) Cependant, dans un soucis de stabilit´e num´erique, de nombreux auteurs ont recours `a une autre fonctionnelle appel´ee Lagrangien augment´e et d´efinie comme

L0(d(u), e, λ) = π (e) + λ : (d(u)− e) + ¹

2^(d(u)− e) : C0: (d(u)− e), (5.36) o`u la raideur homog`ene C₀, associ´ee `a une forme quadratique d´efinie positive, a ´et´e introduite. Le probl`eme initial est retrouv´e en ´ecrivant la stationnarit´e du Lagrangien augment´eL0

inf e inf u∈K(D)sup λ L0(d(u), e, λ) = sup λ inf e inf u∈K(D)L0(d(u), e, λ). (5.37) L’´echange entre inf et sup est justifi´e dans le cas o`u π(d) est convexe et a une croissance suffisante `

a l’infini. La deuxi`eme ´ecriture est int´eressante puisqu’elle fait apparaˆıtre un probl`eme lin´eaire avec une raideur uniforme C₀ et une pr´econtrainte τ = λ− C0 : e. La solution de ce probl`eme est connue et fait appel `a l’op´erateur de Green Γ₀ du milieu uniforme de raideur C₀. Le taux de d´eformation solution est d = D− Γ0∗ τ .

Le syst`eme non lin´eaire qui r´esulte de l’´ecriture de la stationnarit´e du Lagrangien augment´e (5.36) est alors ∀z ∈ Ω,        d(u(z)) = D− [Γ0∗ (λ − C0 : e)] (z) d(u(z))− e(z) = 0 ∂π(e, z)

∂e − λ(z) + C0: (e(z)− d(u(z))) = 0

(5.38)

Lorsque ce syst`eme est r´esolu exactement, e est ´egal au champ de taux de d´eformation et λ est ´egal au champ de contrainte.

5.2.2 Discr´etisation

Revenons maintenant dans l’optique d’une r´esolution num´erique du probl`eme (5.33) par une m´ethode FFT. Dans un premier temps, une grille r´eguli`ere de taille N = N₁ × ... × Nd

divisant la cellule de p´eriodicit´e Ω est introduite (d = 2 : probl`eme plan, d = 3 : probl`eme tridimensionnel). La grille est constitu´ee de voxels Ω_β index´es par le multi-index β = (β₁, ..., β_d) avec β_i ∈ {0, 1, ..., Ni− 1}. Le sous-ensemble de Ndparcouru par le multi-index β est not´eI. Les champs e et λ intervenant dans (5.36) sont discr´etis´es en champs constants sur chaque voxel :

e(z) =^X

β∈I

e_βχ_β(z) ; λ(z) =^X

β∈I

λ_βχ_β(z) (5.39)

o`u χ_β est la fonction indicatrice du voxel Ω_β.

La stationnarit´e de la fonctionnelle (5.36) est ´ecrite sur les deux s´eries discr`etes (λ<sub>β</sub>)<sub>β∈I</sub> et (e<sub>β</sub>)<sub>β∈I</sub> ainsi que sur l’espace des champs de vitesse cin´ematiquement admissibles K(D). Le syst`eme discr´etis´e r´esultant est

∀β ∈ I,          d_β = D− Γ0∗ (λ − C0 : e)^β d_β = e_β ∂π_β(e_β) ∂e ^{+ C0 : eβ = λβ+ C0 : dβ} avec    d_β = d(u)^β π_β(e) = π(e, z)^β (5.40)

D`es ce stade, on peut anticiper que la discr´etisation propos´ee ne permet pas de rendre compte de m´ecanismes avec discontinuit´e de vitesse. Cependant, un enrichissement de l’espace de discr´etisation r´esulterait en une complexit´e math´ematique et num´erique n´efaste aux int´erˆets de la m´ethode que sont la relative simplicit´e de sa mise en oeuvre et sa rapidit´e d’´ex´ecution.

5.2.3 Algorithme de r´esolution

Le syst`eme discr´etis´e non lin´eaire (5.40) peut ˆetre r´esolu par l’algorithme it´eratif de Uzawa. Chaque it´eration de l’algorithme de Uzawa suit les trois ´etapes d´ecrites ci-dessous :

it´eration i :^λⁱ⁻¹_β ^

β∈I et^eⁱ⁻¹_β ^

β∈I connus

1. calculer dⁱ pour la pr´econtrainte λⁱ⁻¹− C0: eⁱ⁻¹ d(uⁱ) = D− Γ0∗ λⁱ⁻¹− C0: eⁱ⁻¹

et dⁱ_β = d(ui)^β (5.41) 2. ∀β ∈ I calculer ei

β solution de l’´equation non lin´eaire ∂π_β(eⁱ_β) ∂e ^{+ C0 : e} i β = C₀ : dⁱ_β+ λⁱ⁻¹_β (5.42) 3. ∀β ∈ I mettre `a jour λⁱβ λⁱ_β = λⁱ⁻¹_β + C₀: dⁱ_β− eⁱβ
= ^∂πβ(e i β) ∂e ^(5.43)

Taux de d´eformation A chaque it´eration i, le champ d(u<sup>` i</sup>) calcul´e `a l’´etape 1 est cin´ematiquement admissible avec D par construction. Par cons´equent, un majorant Π^maj(D) de Π^hom(D) est obtenu `a chaque it´eration :

Π^hom(D)≤ Π^maj(D) = π(d(ui)). (5.44) Cependant, num´eriquement, l’op´erateur de Green discr´etis´e (B.37) ne permet que d’acc´eder `a la moyenne par voxel du taux de d´eformation dⁱ_β = d(ui(z))^β. Sous r´eserve que la discr´etisation soit suffisamment fine, l’approximation suivante est utilis´ee :

π(d(ui))≈ ¹ N

X

β∈I

π_β(dⁱ_β). (5.45)

Cette approximation ne conserve malheureusement pas rigoureusement le statut de borne sup´erieure de l’approche cin´ematique du calcul `a la rupture. Dans la suite, on supposera ce-pendant que l’erreur commise est n´egligeable.

Le r´esultat d’un calcul est donc un hyperplan de l’espace des contraintes, de normale D et de distance Πmaj(D) `a l’origine. L’approche cin´ematique du calcul `a la rupture assure qu’aucun ´etat de contrainte macroscopique Σ appartenant au demi-espace d´efini par Σ : D > Π^maj(D) n’appartient au domaine de r´esistance macroscopique. Par cons´equent, l’exploration d’un nombre fini de directions D^kde R6permet de d´efinir une s´erie de demi-espaces Σ : D^k ≤ Πmaj(D^k) dont l’intersection contient assur´ement le domaine de r´esistance macroscopique. Le contour de cette intersection correspond `a l’enveloppe convexe de l’ensemble des hyperplans Σ : D^k = Π^maj(D^k).

Contraintes A chaque it´eration i et en chaque voxel β, le multiplicateur de Lagrange λ<sup>` i</sup><sub>β</sub> = ∂π<sub>β</sub>(e<sup>i</sup><sub>β</sub>)/∂e appartient `a la fronti`ere du crit`ere de r´esistance dont π_β est la fonction d’appui. Toutefois le champ de contrainte constant par voxel correspondant n’est a priori pas statiquement admissible : il ne peut donc pas ˆetre directement utilis´e dans une approche statique du calcul `a la rupture.

En revanche, le champ σ^⋆ = C₀ : d(uⁱ) + τⁱ⁻¹avec τⁱ⁻¹= λⁱ⁻¹− C0: eⁱ⁻¹est statiquement admissible par construction de d(uⁱ). Sa moyenne est connue exactement et vaut Σ^⋆ = C₀ : D+ τi−1. Ce champ n’a plus la garantie de v´erifier le crit`ere de r´esistance local en tout point. Pour palier ce probl`eme, le champ σ^⋆ peut ˆetre multipli´e par une constante de sorte `a ˆetre compatible avec le crit`ere en tout point. Bien entendu, cette proc´edure ne peut se faire que de fa¸con approch´ee car on ne peut acc´eder num´eriquement qu’`a la moyenne par voxel des champs.

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A cette approximation pr`es, la d´emarche permettrait de construire un minorant de la contrainte macroscopique supportable dans la direction donn´ee par Σ<sup>⋆</sup>. Malheureusement, la strat´egie propos´ee n’est pas efficace en pratique. En effet, en tout point o`u d est nul, la contrainte est ind´etermin´ee par la loi de comportement et λ est tr`es perturb´e.

Ainsi, la m´ethode propos´ee dans ce chapitre ne permet donc malheureusement pas de r´ealiser une approche par l’int´erieur du domaine de r´esistance. Or un encadrement est toujours souhai-table pour quantifier les ´ecarts au domaine exact induits par la discr´etisation et la r´esolution it´erative. Toutefois, si l’on souhaite r´ealiser un encadrement du domaine de r´esistance ho-mog´en´eis´e, on peut se tourner vers la m´ethode FFT propos´ee par Vincent et al. [103] qui correspond `a une approche statique par l’int´erieur. Cette m´ethode, compl´ementaire, n’a pas ´et´e impl´ement´ee car elle est plus lourde num´eriquement.

5.2.4 R´esolution l’´equation non-lin´eaire

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A l’´etape 2 de l’algorithme de Uzawa, l’´equation tensorielle non lin´eaire (5.42) peut ˆetre r´esolue num´eriquement dans le cas g´en´eral, ou analytiquement dans certains cas particuliers pr´esent´es ci-apr`es.

Inclusions rigides et pores

La situation o`u un voxel Ω_β est constitu´e d’une phase infiniment rigide peut ˆetre trait´ee en imposant que ei

β solution de (5.42) est nul. Dans le cas o`u un voxel Ω<sub>β</sub> correspond `a un pore, eⁱ_β solution de (5.42) est eⁱ_β = dⁱ_β+ C⁻¹₀ : λⁱ⁻¹_β .

Ces situations qui peuvent paraˆıtre triviales sont d’une grande importance : l’algorithme du Lagrangien augment´e propos´e par Michel et al. [66] permet de g´erer les deux types de contrastes infini (voir la d´emonstration en AnnexeE).

Crit`ere de r´esistance fonction des deux premiers invariants L’´equation (5.42) devient

(C(e_v, e_d) + C₀) : e = s avec s = C₀: d uⁱ
+ λi−1. (5.46) Lorsque le milieu de r´ef´erence est isotrope, l’´equation tensorielle peut se projeter sur les

Dans le document Caractérisation expérimentale et modélisation micromécanique de la perméabilité et de la résistance de roches argileuses (Page 132-152)