Fvvv(r, s, t)− 2φγ Fvvs(r, s, t) +φ 2 γ2Fvss(r, s, t) drdsdt (1.90) Cette expression est nouvelle `a notre connaissance. Les fonctions Fvvs(r, s, t) et Fvss(r, s, t) ont ´et´e ´etudi´ees dans [99] mais restent malheureusement difficiles `a ´evaluer. Comme la borne `a deux points de Doi am´eliore consid´erablement celle de Prager, on peut esp´erer qu’il en soit de mˆeme pour la borne `a trois points (1.90). L’´evaluation et l’int´egration de ces fonctions de corr´elations `
a trois points pr´esentent un grand int´erˆet pratique.
Pour finir, la mˆeme d´emarche peut ˆetre adopt´ee sans difficult´e suppl´ementaire avec le champ de force (1.76) suivie d’une optimisation de λ.
´
Ecoulement de Stokes autour d’une sph`ere
Toutes les bornes pr´ec´edentes sont bas´ees sur le choix d’un champ de force et application de l’op´erateur de Green. D’autres alternatives ont ´et´e ´etudi´ees, notamment la construction d’un champ statiquement admissible comme la somme du champ de contrainte solution de l’´ecoulement de Stokes autour d’une sph`ere dans un milieu infini, recentr´e sur chaque grain sph´erique. La m´ethode conduit de mˆeme `a des bornes qui font intervenir les fonctions de corr´elation `a deux, trois, voir n points. Le r´esultat le plus int´eressant est peut ˆetre la borne analytique de Weissberg et Prager [104] pour un milieu constitu´e de grains sph´eriques de rayons R, dispers´es al´eatoirement et pouvant se recouvrir :
Kint wp
R2 = 2φ
−9 ln(φ) (1.91)
1.5 Glissement aux parois
1.5.1 Th´eorie cin´etique des gaz
Pour l’´ecoulement d’un gaz, la condition d’adh´erence d’un fluide visqueux `a l’interface solide-fluide Γ est prise en d´efaut. D’apr`es la th´eorie de la cin´etique des gaz [54,61,104], la condition d’adh´erence sur Γ doit ˆetre remplac´ee par la condition de glissement2
JvK = ζ
µ(1− n ⊗ n) · σ · n (1.92)
o`u ζ est le coefficient de glissement, µ la viscosit´e, n la normale unitaire `a la paroi dirig´ee vers le fluide. Le glissement est donc tangentiel `a l’interface solide-fluide et proportionnel au vecteur contrainte tangentiel. En suivant la distribution de Maxwell de vitesse des mol´ecules, le coefficient de glissement est donn´e par [54,61,89,104]
ζ = π 4 µvmol p0 2− ϑ ϑ avec vmol = r 8RT πM (1.93)
o`u R est la constante des gaz parfaits3, T la temp´erature, M la masse molaire et ϑ repr´esente la fraction de mol´ecules absorb´ees par la paroi puis r´e´emises par diffusion dans toutes les directions et (1− ϑ) la fraction de mol´ecules r´efl´echies. vmol est la vitesse mol´eculaire moyenne pour la distribution de Maxwell (quelques centaines de m`etres par secondes aux temp´eratures usuelles).
2En condition isotherme
3Il existe un conflit de notations entre le rayon des sph`eres et la constante des gaz parfaits, mais le contexte
λ (nm) d (nm) vmol (m.s )
Argon 62,6 0,342 380
M´ethane 48,1 0,380 600
Tab. 1.1: Libre parcours moyen, diam`etre mol´eculaire et vitesse moyenne `a pression at-mosph´erique et 0oC. Source : National Physical Laboratory, Kaye and Laby : Tables of physical and chemical constants (http ://www.kayelaby.npl.co.uk/general physics/2 2/2 2 4.html)
Des valeurs exp´erimentales de ϑ, comprises entre 0, 85 et 1 pour les gaz nobles et H2, N2, CO2
sont pr´esent´ees dans [77,89]. Pour l’Argon, ϑ = 0, 921.
Par ailleurs, la th´eorie cin´etique des gaz de Maxwell fait apparaˆıtre une longueur ca-ract´eristique λ appel´ee libre parcours moyen qui correspond `a la distance moyenne parcourue par une mol´ecule entre deux collisions :
λ = √ kT
2πd2p0 (1.94)
ou k = R/NA = 1, 38.10−23JK−1 est la constante de Boltzmann et d est le diam`etre “de collision” d’une mol´ecule. La constante des gaz parfaits vaut R = 8, 31JK−1mol−1et le nombre d’Avogadro NA= 6, 02.1023mol−1.
En outre, la viscosit´e d´eduite de la th´eorie cin´etique des gaz par Maxwell est [54,61] µ = M p0λvmol 3RT = 2 3πd2 r MkT NAπ (1.95)
Un d´eveloppement ult´erieur dˆu `a Chapman et Enskog pour un gaz mono-atomique a conduit `a l’expression suivante de la viscosit´e, en meilleur accord avec les valeurs exp´erimentales [52] :
µ = 5 16d2
r MkT
NAπ (1.96)
Remarquons que la viscosit´e ne d´epend pas de la pression d’apr`es ces expressions. Le coefficient de glissement peut alors ˆetre r´eexprim´e en fonction du libre parcours moyen :
ζ = 5πλ 16
2− ϑ
ϑ (1.97)
d’o`u l’ordre de grandeur ζ≈ λ.
Dans un milieu gouvern´e par une distance caract´erique R, le nombre adimensionnel Kn = λ/R appel´e nombre de Knudsen est commun´ement introduit. Si Kn≪ 1, le glissement peut ˆetre n´eglig´e ; sinon, il doit ˆetre pris en compte. Quelques ordres de grandeurs sont pr´esent´es dans la table 1.1pour deux gaz d’int´erˆet dans ce m´emoire.
1.5.2 Modification des principes variationnels
Les ensembles de champs cin´ematiquement admissibles C (1.31),(1.33),(1.35) doivent ˆetre modifi´es pour autoriser un saut de vitesse tangentiel `a l’interface solide-fluide. Cependant, le saut de vitesse contribue `a la puissance de d´eformation qui fait maintenant apparaˆıtre un nouveau terme surfacique : 1 2 Z Ωf 2µ d : d d V +1 2 Z Γ µ ζJvtK· JvtK d S (1.98)
En revanche, les ensembles de champs statiquement admissibles restent inchang´es. La puissance de contrainte fait apparaˆıtre un nouveau terme surfacique :
1 2 Z Ωf 1 2µσ : K : σ d V + 1 2 Z Γ ζ µT · (1 − n ⊗ n) · T d S (1.99) `
A ces modifications pr`es, les r´esultats variationnels (1.51), (1.53), (1.56), (1.58) restent valables. Un exemple d’utilisation est a ´et´e propos´e par Weissberg et Prager [104] pour borner la perm´eabilit´e d’un assemblage de sph`eres qui peuvent se recouvrir, avec prise en compte du glissement aux parois.
Ce chapitre a permis de poser le probl`eme de microm´ecanique pour l’homog´en´eisation d’un ´ecoulement de Stokes en un ´ecoulement darc´een. Une particularit´e de ce probl`eme est le char-gement en moyenne de la phase solide, qui joue un rˆole crucial pour assurer l’´equilibre. Les cadres variationnels classiques ont ´et´e red´evelopp´es et appliqu´es pour rappeler et proposer des bornes sur la perm´eabilit´e de milieux granulaires. La qualit´e de ces bornes reste `a estimer par une confrontation `a des simulations num´eriques.
* *
Cadre variationnel type
Hashin-Shtrikman pour la
perm´eabilit´e
R´esum´e : L’objet de ce chapitre est l’introduction d’un nouveau cadre variationnel pour l’ho-mog´en´eisation micro-m´eso de la perm´eabilit´e. Le cadre variationnel met `a profit l’analogie entre un probl`eme d’´ecoulement de Stokes et un probl`eme d’´elasticit´e lin´eaire incompressible, tout en pr´eservant la particularit´e des conditions aux limites. Un changement d’espace fonctionnel b´en´efique en r´esulte : d’un espace de champs de vitesses cin´ematiquement admissibles `a un espace de champs de polarisation sans restriction. Ce nouveau cadre variationnel est mis `a profit pour d´evelopper une m´ethode num´erique efficace bas´ee sur une discr´etisation r´eguli`ere et l’utilisation de transform´ees de Fourier rapides (FFT), cousine de m´ethodes existantes en ´elasticit´e lin´eaire. Enfin, une ouverture vers de potentielles nouvelles bornes analytiques ou semi-analytiques est propos´ee.
Sommaire
2.1 Nouveau cadre variationnel type Hashin-Shtrikman. . . . 24
2.1.1 Extension du probl`eme d’´ecoulement . . . . 24
2.1.2 Transformation de Legendre. . . . 27
2.1.3 Fonctionnelle de Hashin et Shtrikman . . . . 28
2.1.4 Cadre variationnel simplifi´e . . . . 29