R´esistance du mat´eriau argileux renforc´e en pr´esence d’un fluide

6.1 Mod`ele microm´ecanique de la r´esistance d’une roche

argi-leuse

6.1.1 Morphologie retenue

Le mod`ele morphologique retenu pour d´ecrire la r´esistance de certaines roches argileuses est le mod`ele `a trois ´echelles (micro, m´eso, macro) pr´esent´e Fig. 6.1. Ce chapitre se concentre sur la d´etermination du crit`ere de r´esistance macroscopique par transition m´eso→macro (voir Fig. 6.1), mettant `a profit pour la matrice argileuse les r´esultats de la transition micro→m´eso ´etablis par He et al. [51].

Dans les travaux pr´ec´edents de He et al. [51], la matrice argileuse est d´ecrite `a l’´echelle micro comme un assemblage poly-cristallin de grains - qui repr´esentent les paquets de feuillets d’argile - et de pores. La particularit´e de ce mod`ele est de proposer que la r´esistance de la matrice argileuse est contrˆol´ee par la r´esistance des interfaces entre grains, tandis que les grains sont suppos´es infiniment plus r´esistants.

L’effet de renforcement du crit`ere de r´esistance d’un mat´eriau argileux occasionn´e par la pr´esence d’inclusions (carbonates, quartz, pyrite) fortement plus rigides est maintenant ´etudi´e. Une attention particuli`ere est port´ee sur l’effet d’une imperfection des interfaces entre les inclu-sions et la matrice.

`

A l’´echelle micro, un volume ´el´ementaire repr´esentatif (VER) Ω_m de la matrice est introduit (voir Fig.6.1). Il comporte des pores occupant l’espace Ωpet des grains rigides occupant l’espace Ω_g. La porosit´e de la matrice argileuse est φ = |Ωp|/|Ωm|. Les grains sont jointifs et on note Γ_g l’union de toutes les interfaces entre grains. La surface sp´ecifique des interfaces entre grains, homog`ene `a l’inverse d’une longueur, est γg =|Γg|/|Ωm|.

`

A l’´echelle m´eso, un VER Ω de mat´eriau argileux renforc´e est consid´er´e. Le mat´eriau renforc´e est constitu´e de la matrice argileuse qui occupe le domaine Ω_m et d’inclusions. Les inclusions occupent le domaine Ω_i, de fraction volumique ρ = |Ωi|/|Ω|. L’union de toutes les interfaces entre inclusions et matrice est not´ee Γi. La surface sp´ecifique des interfaces entre inclusions et matrice est γ_i=|Γi|/|Ω|. La porosit´e du mat´eriau argileux renforc´e est Φ = (1 − ρ)φ.

6.1.2 Propri´et´es des constituants

Matrice argileuse

Le crit`ere de r´esistance d´etermin´e par He et al. [51] est adopt´e pour la matrice argileuse `a l’´echelle m´eso. Il repose sur le choix d’un crit`ere de r´esistance d’interface f<sub>Γg</sub> frottant de Mohr-Coulomb avec coh´esion portant sur le vecteur contrainte appliqu´e `a l’interface entre les grains `a l’´echelle micro :

f_Γg(T ) = T_t+ α_g(T_n− hg) 6 0, (6.1) o`u hg est la r´esistance en traction isotrope des interfaces entre grains et αgl’angle de frottement. Le caract`ere granulaire de la matrice est rendu compte par un assemblage auto-coh´erent de grains sph´eriques rigides de rayon r₀ et de pores sph´eriques.

La surface sp´ecifique des interfaces entre grains, tous identiques, est caract´eris´ee par γ_g = ^3λ

2r₀^{, (6.2)}

o`u λ est la fraction de contact grain `a grain. Dans la suite, suivant [62] sous certaines hypoth`eses de r´epartition spatiale des grains, la fraction de contact grain `a grain est suppos´ee caract´eris´ee par :

Ωm micro méso Ω Ω_m Ω_i Ωg Ωp Γg Γi

Fig. 6.1: Repr´esentation aux ´echelles micro et m´eso du mod`ele microm´ecanique retenu d’une roche argileuse. Du point de vue de la r´esistance, `a l’´echelle micro, les grains (Ωg) sont suppos´es rigides et les interfaces grain-grain (Γ_g) r´egies par un crit`ere de r´esistance de Mohr-Coulomb. Le mat´eriau granulaire r´esultant forme la matrice argileuse (Ω<sub>m</sub>) `a l’´echelle m´eso. `A l’´echelle m´eso, la matrice argileuse est renforc´ee par des inclusions (Ωi) suppos´ees rigides. Trois types de crit`eres de r´esistance aux interfaces matrice-inclusion (Γ_i) sont ´etudi´es : parfait, Tresca ou Mohr-Coulomb.

La forme du crit`ere de r´esistance homog´en´eis´e de la matrice argileuse d´epend de la porosit´e. Les r´esultats font appel aux modules normalis´es :

M = ¹_3φ^{− 2φ}

− 1 ^{; K = 4M} 1− φ

3φ ^{. (6.4)}

R´egime de porosit´e 1/3 < φ < 1/2 :

La forme du crit`ere de r´esistance homog´en´eis´e de la matrice argileuse d´epend du param`etre adimensionnel δ = ^3α 2 gK 2λ ^{. (6.5)} – cas δ < 1 :

Le domaine de r´esistance de la matrice argileuse est compris dans une ellipse dans le plan (σm, σ_d) d´ecrite par le crit`ere de r´esistance fm

f_m(σ) = ^{(σm+ c)} 2 a ⁺ σ²_d b − 1 ≤ 0 (6.6) avec a = hgλ 1− δ 2 δ ; b = (hgλ)^{2 2δ}M (1− δ)K ^{; c = hgλ} δ 1− δ ^(6.7) – cas δ > 1 :

La fronti`ere du domaine de r´esistance est d´efinie dans le plan (σ_m, σ_d) par l’hyperbole f_m(σ) = ^{(σm+ c)} 2 a −^σ 2 d b − 1 ≤ 0 (6.8)

Dans ce cas,−c repr´esente la r´esistance en traction isotrope. Asymptotiquement, ce crit`ere tend vers un crit`ere de Drucker-Prager

f_m(σ) = σ_d+r b

a^{(σm+ c)}≤ 0 (6.9)

– cas δ = 1 :

Pour une valeur d’angle de frottement α_g donn´ee, la transition d’un crit`ere de r´esistance elliptique `a hyperbolique se fait pour une valeur de porosit´e critique φ^crit telle que δ = 1. Si φ > φ^crit, le crit`ere est elliptique ; si φ < φ<sup>crit</sup>, le crit`ere est hyperbolique. Lorsque la relation (6.3) est utilis´ee, la porosit´e critique v´erifie

φ^crit(1− φ^crit)(3φ^crit− 1) = 2α²g. (6.10) Dans le cas δ = 1, le crit`ere est parabolique :

f_m(σ) = ^σm a⋆ +^σ 2 d b⋆ − 1 ≤ 0 avec a^⋆ = ^hλ 2 ^{; b} ⋆= ^(hλ) 22δM K ^(6.11) R´egime de porosit´e 0 < φ < 1/3 : Le crit`ere de r´esistance est toujours

f_m(σ) = σ_m− λh ≤ 0 (6.12)

Notons qu’il est remarquable que ce crit`ere adopt´e pour la matrice argileuse pr´esente une telle diversit´e de formes (voir Fig. 6.2) pour un nombre extrˆemement restreint de param`etres physiques :

– la porosit´e φ,

– la r´esistance en traction h_g des interfaces, – l’angle de frottement α_g des interfaces.

L’existence d’une porosit´e critique φ^crit d´efinie par (6.10) entraˆıne une grande sensibilit´e du crit`ere elliptique (6.6) aux valeurs de porosit´e tr`es l´eg`erement sup´erieures `a φcrit (voir Fig.6.3). Le rapport d’aspect de l’ellipse diverge `a l’infini lorsque la porosit´e tend vers φ<sup>crit</sup> par valeurs positives, tandis qu’il est de l’ordre de 0,5 `a 2 pour une porosit´e de seulement 1 `a 2 % au dessus de φcrit.

Dans la suite, les propri´et´es de la matrice argileuse seront toujours suppos´ees telles que le crit`ere de r´esistance f<sub>m</sub> soit elliptique, d´ecrit par (6.6). Ce choix permet d’une part de rendre compte d’une r´esistance en compression isotrope. D’autre part, en anticipant la relecture plas-tique du crit`ere au chapitre 7, seul ce cas elliptique permettra de rendre compte de taux de d´eformation dilatants et contractants.

Inclusions

Dans cette ´etude, les inclusions sont suppos´ees infiniment rigides, ce qui revient `a dire qu’elles peuvent supporter un ´etat de contrainte arbitrairement ´elev´e en comparaison avec la matrice argileuse. Le crit`ere de r´esistance des inclusions peut ˆetre vu comme la limite

fi(σ) = lim

R→∞ σ²_m+ σ²_d− R²
6 0. (6.13) Interfaces entre matrice et inclusions

Les interfaces entre matrice et inclusions jouent un rˆole critique sur le crit`ere de r´esistance macroscopique, en modulant l’effet de renfort apport´e par les inclusions rigides. Les interfaces

0 5 10 15 20 25 30 -40 -30 -20 -10 0 10 20 σ^d σ_m φ=0.36 φ=0.35 φ = φcrit=0.342 φ=0.338 φ=0.335 φ=0.332

Fig. 6.2: ´Evolution du crit`ere de r´esistance de la matrice argileuse en fonction de la porosit´e φ pour h<sub>g</sub> = 92,86 et α<sub>g</sub> = 0,055 (soit φ<sup>crit</sup>≈ 0,342 d’apr`es (6.10)). Le crit`ere est : elliptique (6.6) pour φcrit< φ < 1/2, parabolique (6.11) pour φ = φcrit, hyperbolique (6.8) pour 1/3 < φ < φcrit

et une limite uniforme sur la traction isotrope (6.12) pour 0 < φ < 1/3.

-100 -80 -60 -40 -20 0 0.35 0.36 0.37 0.38 0 5 10 15 20 Σ_m φ Σ_d

Fig.6.3: ´Evolution du crit`ere de r´esistance de la matrice argileuse dans le r´egime elliptique (6.7) en fonction de la porosit´e φ pour h<sub>g</sub> = 92,86 et α<sub>g</sub> = 0,055 (soit φ<sup>crit</sup>= 0,342 d’apr`es (6.10)).

`

A l’approche de la porosit´e critique, le crit`ere de r´esistance devient extrˆemement sensible `a la porosit´e.

imparfaites peuvent ˆetre caract´eris´ees par un crit`ere de r´esistance d’interface portant sur le vecteur contrainte appliqu´e sur l’interface. Trois types de crit`eres de r´esistance d’interface f_Γi sont ici consid´er´es : interfaces parfaites (f_pa), crit`ere de Tresca (f<sub>tr</sub>) ou crit`ere de Mohr-Coulomb (f_mc).

Interfaces parfaites Dans le cas o`u les interfaces entre matrice et inclusions sont suppos´ees parfaites, le vecteur contrainte appliqu´e `a l’interface n’est soumis `a aucune restriction :

f_pa(T ) = lim

R→∞ T_n²+ T_t²− R²

60. (6.14)

Cette situation id´eale correspond `a une adh´erence parfaite entre la matrice et les inclusions. Interfaces Tresca Le crit`ere d’interface de Tresca suppose que la composante tangentielle du vecteur contrainte T appliqu´e `a l’interface est born´ee par une r´esistance tangentielle k :

ftr(T ) = Tt− k 6 0. (6.15)

Le crit`ere d’interface de Tresca n’introduit pas de diff´erence entre les ´etats de compression et les ´etats de traction.

Interfaces Mohr-Coulomb Le crit`ere d’interface de Mohr-Coulomb introduit une sensibilit´e en la composante normale du vecteur contrainte. Il permet de rendre compte d’un contact frottant avec coh´esion. De mˆeme que pour les interfaces entre grains `a l’´echelle micro, le crit`ere de Mohr-Coulomb des interfaces entre matrice et inclusions est caract´eris´e par un angle de frottement α_i et une r´esistance en traction h_i :

fmc(T ) = Tt+ αi(Tn− hi) 6 0, (6.16)

6.2 Equations d’´^´ etat limite

6.2.1 M´ethodologie

L’objectif est de d´eterminer le crit`ere de r´esistance macroscopique de la roche argileuse renforc´ee. La m´ethodologie pr´esent´ee au chapitre 5est bri`evement r´esum´ee afin d’inclure le cas d’une imperfection des interfaces entre les constituants.

D´efinition statique Un ´etat de contrainte macroscopique Σ appliqu´e au VER Ω est dit admissible pourvu qu’il existe un champ de contrainte microscopique σ(z) (`a l’´echelle m´eso) d´efini sur le VER Ω remplissant les conditions suivantes [28,93] :

divσ = 0 (∀z ∈ Ω) σ(z)∈ G(z) (∀z ∈ Ω) σ= Σ

(6.17)

o`u G(z) est le domaine des ´etats de contrainte microscopiques admissibles en un point z du VER Ω. L’ensemble des ´etats de contrainte macroscopiques admissibles est not´e Ghom.

Le domaine G_m des ´etats de contrainte admissibles de la matrice argileuse est d´efini par le crit`ere de r´esistance f_m(σ) (6.6) tel que :

σ ∈ Gm ⇔ fm(σ) 6 0.

Rappelons que les inclusions sont suppos´ees infiniment r´esistantes. Suivant le passage `a la limite propos´e dans (6.13), le domaine G_i des ´etats de contraintes admissibles des inclusions peut ˆetre

vu dans l’espace des contraintes principales comme la limite d’une sph`ere de rayon R → ∞ centr´ee `a l’origine. Le domaine G_Γi des vecteurs contraintes appliqu´es `a l’interface matrice-inclusion admissibles est d´efini par

T ∈ GΓi ⇔ fΓi(T ) 6 0.

D´efinition duale De fa¸con ´equivalente, les domaines G_m, G_i et G_Γi peuvent ˆetre caract´eris´es par leur fonctions d’appui [34,83]. Cette repr´esentation est appel´ee formulation duale.

La fonction d’appui π_m(d) du crit`ere de r´esistance de la matrice est d´efinie par π_m(d) = sup{σ : d, fm(σ) 6 0},

o`u l’interpr´etation physique de d et π_m(d) est un taux de d´eformation virtuel et la dissipation associ´ee.

De fa¸con similaire, la fonction d’appui π_Γi(JvK) du crit`ere de r´esistance d’interface est d´efinie par

π_Γi(JvK) = sup{T : JvK, fΓi(T ) 6 0},

o`u l’interpr´etation physique de JvK et πΓ(JvK) est un saut de vitesse `a travers l’interface et la dissipation associ´ee.

Du point de vue pratique, l’utilisation directe de la d´efinition (6.17) pour la d´etermination de G^hom est d´elicate. Alternativement, la fronti`ere ∂G<sup>hom</sup> du domaine des ´etats de contrainte macroscopiques admissibles peut ˆetre obtenue en r´esolvant le probl`eme probl`eme suivant d´efini sur le VER Ω [6,60] : divσ = 0 (Ω) σ= ^∂πm ∂d ^(Ωm) T = ^∂πΓi ∂JvK ^(Γi) σ= C_i : d (Ω_i) with C_i → ∞ v(z) = D· z (∂Ω) d= grad^sv (Ω) (6.18)

Ce probl`eme peut ˆetre interpr´et´e comme un probl`eme visqueux non lin´eaire fictif o`u σ est le champ de contrainte local et v le champ de vitesse local. Le r´esultat th´eorique important est que l’´etat de contrainte macroscopique Σ, reli´e `a σ par la r`egle de moyenne des contraintes Σ = σ, appartient `a la fronti`ere ∂Ghom du domaine des ´etats de contrainte macroscopiques admissibles. Plus pr´ecis´ement, il est situ´e au point de ∂Ghom dont la normale ext´erieure est colin´eaire au taux de d´eformation macroscopique D.

Ainsi, la d´etermination de la fronti`ere ∂Ghom du domaine des ´etats de contrainte macrosco-piques admissibles revient `a la r´esolution du probl`eme visqueux non lin´eaire fictif (6.18). Les lois de comportement visqueux non lin´eaire fictives de chaque phase sont d´efinies `a partir des d´eriv´ees de leur fonction d’appui.

6.2.2 Lois de comportement visqueux non lin´eaire fictives

Cette section est d´edi´ee `a l’´etablissement des lois de comportement visqueux non lin´eaire fictives de la matrice argileuse et des interfaces.

Matrice argileuse

Dans le plan (σm, σ_d), la fronti`ere de Gm est une ellipse de demi-axes √

a suivant σm et√ b suivant σ_dcentr´ee en (−c, 0), o`u a et b sont d´efinis par (6.7). La fonction d’appui du crit`ere de r´esistance f_m (6.6) de la matrice argileuse est la fonction de la variable tensorielle d

π_m(d) = q

ad2 v+ bd2

d− cdv (6.19)

o`u seuls interviennent les deux premiers invariants du taux de d´eformation : les taux de d´eformation volumique d_v et d´eviatorique d_d.

Par d´erivation de la fonction d’appui π_m (6.19), la loi de comportement fictive de la matrice argileuse est ´ecrite suivant une formulation s´ecante avec pr´econtrainte

σ = ^∂πm ∂d ^{= Cm : d + σ} p, (6.20) avec C_m = 3k_mJ + 2µmK ; σ^p =− c1, k_m = _q ^a ad2 v+ bd2 d ; 2µ_m=_q ^b ad2 v+ bd2 d . ^(6.21) Interfaces de Tresca

La fonction d’appui du crit`ere de Tresca (6.15) est [83] π_tr(JvK) =

(

+∞ si Jv_nK6= 0,

kJv_tK si Jv_nK = 0. ^(6.22)

Cette fonction d’appui est fortement singuli`ere et non d´erivable. Elle n’est donc pas adapt´ee pour une impl´ementation directe de la d´efinition de la loi de comportement fictive par d´erivation. En suivant [5, 86], la fronti`ere du domaine des vecteurs contraintes admissibles pour le crit`ere de Tresca peut ˆetre vue comme la limite d’une suite d’ellipses dans le plan (Tn, Tt) qui correspondent aux crit`eres de r´esistance d’interface

f_tr(T , L) = Tn L 2 + Tt k 2 − 1 6 0, (6.23)

dans la limite o`u L/k tend vers l’infini. La fonction d’appui du crit`ere r´egularis´e ftr(T , L) (6.23) est

π_tr(JvK, L) =p(LJvnK)2+ (kJv_tK)2. (6.24) Les fonctions d’appui de cette suite sont d´erivables en tout point. La loi de comportement fictive associ´ee s’´ecrit sous la forme s´ecante

T = ^{∂πtr(JvK, L)}

∂JvK ^{= K(JvK, L)}· JvK = Kn(JvK, L)Jv_nKn + K_t(JvK, L)Jv_tK, (6.25) o`u Jv<sub>n</sub>K et Jv<sub>t</sub>K sont les composantes normales et tangentielles du saut de vitesse virtuel `a travers l’interface. Les modules s´ecants normal K_n et tangentiel K_t qui apparaissent dans (6.25) sont :

K_n(JvK, L) = ^L 2 p(LJvnK)2+ (kJv_tK)2 ; K_t(JvK, L) = ^k 2 p(LJvnK)2+ (kJv_tK)2. (6.26) Dans la limite L/k→ ∞ :

– les composantes de la raideur d’interface v´erifient Kn/Kt→ ∞, – le saut de vitesse normal Jv_nK→ 0,

– un saut de vitesse tangentiel Jv_tK est autoris´e, – la raideur d’interface tangentielle Kt→ k/JvtK.

Interfaces de Mohr-Coulomb

La fonction d’appui du crit`ere de Mohr-Coulomb (6.16) est [83] π_mc(JvK) =

(

+∞ si Jv_nK < αJv_tK

hJv_nK si Jv_nK > αJv_tK. ^(6.27) Cette fonction d’appui est fortement singuli`ere. De nouveau, l’application de la d´efinition de la loi de comportement fictive par une d´erivation directe n’est pas possible. `A cet effet, suivant [51,64], la fonction d’appui (6.27) peut ˆetre r´egularis´ee par une suite de potentiels

ψj(JvK) = fj(Y ) + hJvnK avec Y = JvnK− αJvtK. (6.28) Le scalaire positif j va ˆetre amen´e `a tendre vers 0. f_j est une suite de fonctions convexes de classe C² d´efinies sur ]− j, +∞[ telles que

– f_j(Y ) = 0 si Y > 0,

– f_j d´ecroissante sur ]− j, 0], – lim_{Y →−j}+f_j(Y ) = +∞.

Ainsi, lorsque j tend vers 0, la suite de potentiels ψ_j tend vers la fonction d’appui π_mc du crit`ere d’interface de Mohr-Coulomb. La loi de comportement fictive associ´ee au potentiel r´egularis´e est

T = ^∂ψj ∂JvK ⁼ ∂ψ_j ∂JvnKⁿ⁺ ∂ψ_j ∂JvtK^{t. (6.29)}

En introduisant la fonction F(Y ) = ^∂ψ_∂Y^j, qui est n´egative ou nulle, la loi de comportement se r´e´ecrit

T =F(Y )(n − αt) + hn. (6.30)

Par cons´equent, pour T 6= hn, l’in´egalit´e stricte F(Y ) < 0 est n´ecessairement v´erifi´ee et donc Y ∈] − j; 0[. Asymptotiquement, la r`egle de normalit´e JvnK = αJvtK est v´erifi´ee lorsque j tend vers 0. Ce r´esultat est un point important de la technique de r´egularisation d´ecrite car il indique que la r`egle de normalit´e dans les interfaces est correctement prise en compte.

Afin d’utiliser des raideurs d’interfaces tangentielle et normale positive, la loi de comporte-ment est ´ecrite sous une forme affine :

T = K(Jv_nK, Jv_tK)· JvK + T^p(Jv_nK, Jv_tK). (6.31) o`u K_n= F Y ^{; Kt=}−_Jv^αF tK ^{; T} p =  h− ^α_Y^FJv_tK  n. (6.32)

Asymptotiquement, les raideurs d’interfaces v´erifient lim j→0 K_t K_n ^{= lim}j→0−^αY_v t = 0 et lim j→0 T^p K_n ⁼−αvt. (6.33)

6.3 Homog´en´eisation lin´eaire et non lin´eaire

Comme rappel´e dans la section 6.2.1, l’approche duale pour l’analyse limite am`ene `a la d´efinition d’un probl`eme fictif visqueux non lin´eaire (6.18). Une estimation de la solution de ce probl`eme est maintenant recherch´ee par le biais des m´ethodes d’homog´en´eisation bas´ees sur la solution de probl`emes d’Eshelby. Dans ce cadre, la m´ethode s´ecante modifi´ee (voir par ex. [94]) fournit une technique efficace pour g´erer la non lin´earit´e. La m´ethode repose sur la solution d’un probl`eme d’homog´en´eisation lin´eaire ainsi que sur le calcul d’estimateurs moyens par phase appropri´es.

6.3.1 Homog´en´eisation lin´eaire

Cette section est d´edi´ee `a la r´esolution du probl`eme d’homog´en´eisation lin´eaire requis pour la m´ethode s´ecante modifi´ee. De plus, des estimateurs moyens par phase du taux de d´eformation dans la matrice et du saut de vitesse `a travers les interfaces matrice-inclusions sont ´etablis. Il convient de noter que, bien qu’il y ressemble formellement, le probl`eme lin´eaire d´efini ci-apr`es ne repr´esente pas un mod`ele pour l’homog´en´eisation des propri´et´es ´elastiques ou visqueuses lin´eaires r´eelles d’un mat´eriau argileux renforc´e par inclusions.

D´efinition du probl`eme lin´eaire

Afin de prendre en compte la formulation pr´econtrainte des lois de comportements fictives de la matrice et des interfaces, le probl`eme lin´eaire doit inclure trois param`etres de chargement :

– le taux de d´eformation macroscopique D,

– la pr´econtrainte isotrope uniforme de la matrice p, – la pr´econtrainte normale uniforme des interfaces ̟. Le probl`eme lin´eaire est donc d´efini comme

divσ = 0 (Ω) σ= C_m : d− p1 (Ω_m) T = K· JvK + ̟n (Γi) σ= Ci : d (Ωi) avec Ci→ ∞ v(z) = D· z (∂Ω) d= grad^sv (Ω) (6.34)

Le probl`eme lin´eaire (6.34) est r´esolu par superposition des modes de chargement suivant – (P1) : aucune pr´econtrainte, taux de d´eformation macroscopique D `a la fronti`ere ∂Ω. – (P2) : pr´econtrainte−(p+̟)1 dans la matrice Ωm, pas de pr´econtrainte dans les interfaces

Γ_i, taux de d´eformation macroscopique 0 `a la fronti`ere ∂Ω.

– (P3) : pr´econtrainte ̟1 dans la matrice Ω_m, pr´econtrainte ̟n dans les interfaces Γ_i, taux de d´eformation macroscopique 0 `a la fronti`ere ∂Ω.

Pour i = 1, 2, 3, la solution locale du probl`eme (Pi) est not´ee (v_i, σ_i). Le taux de d´eformation associ´e est d_i et la contrainte macroscopique est Σ_i. La solution de (P3) est le couple uniforme σ₃ = ̟1 et v₃ = 0. La r´esolution de (P1) permettra de d´eterminer la raideur homog´en´eis´ee C^hom telle que Σ₁ = C^hom: D.

La densit´e macroscopique d’´energie potentielle Ψ du probl`eme lin´eaire (6.34) comporte les termes d’´energie ´elastique et le travail des pr´econtraintes

|Ω|Ψ(D, p, ̟) =¹ 2 Z Ωm d: C : d d V +¹ 2 Z Γ JvK : K : JvK d S −(p + ̟) Z Ωm tr(d) d V + ̟ Z Ω tr(d) d V. (6.35)

En proc´edant comme en poro´elasticit´e o`u le changement de fraction volumique de pore est la variable d’´etat macroscopique duale de la pression de fluide dans les pores, introduisons ici une variable d’´etat macroscopique additionnelle, d´efinie comme la quantit´e duale de la pr´econtrainte dans la matrice. Cette quantit´e duale est le changement de volume de la matrice normalis´e par le volume initial du VER. Pour chaque probl`eme (Pi), elle est d´efinie par :

v_im = (1− ρ) tr(di^m) (i = 1, 2) (6.36) et par superposition, pour le probl`eme (6.34) :

En utilisant les r`egles de superposition v = v₁+ v₂ et d = d₁+ d₂, la densit´e macroscopique d’´energie potentielle Ψ(D, p, ̟) s’´ecrit

|Ω|Ψ(D, p, ̟) = ¹ 2 Z Ωm d₁ : C : d₁d V + ¹ 2 Z Γ Jv₁K· K · Jv1K d S +¹ 2 Z Ωm d₂ : (σ₂+ (p + ̟)1) d V + ¹ 2 Z Γ Jv₂K· (σ2· n) d S + Z Ωm d₂: σ₁d V + Z Γ Jv₂K· (σ1· n) d S +|Ω| (−(p + ̟)vm+ ̟ tr D) .

D’apr`es la d´efinition ´energ´etique de Chom, la somme des deux premi`eres int´egrales du membre de droite est ´egale `a

|Ω| 2 ^{D : C}

hom: D.

La deuxi`eme et la troisi`eme ligne peuvent ˆetre simplifi´ees par application du lemme de Hill ´etendu `a la pr´esence d’interfaces [63] aux couples de champs de vitesse cin´ematiquement (resp. contrainte statiquement) admissibles (v₂, σ₂) et (v₂, σ₁). Finalement, la densit´e macroscopique d’´energie potentielle est

Ψ(D, p, ̟) = ¹ 2^{D : C} hom: D− (p + ̟)  v1m+¹ 2^v2m  + ̟ tr D. (6.38)

Estimateurs quadratiques effectifs

En vue de l’application de la m´ethode s´ecante modifi´ee `a la r´esolution du probl`eme non lin´eaire (6.18), des estimateurs des taux de d´eformation volumique et d´eviatorique sont requis. Dans la m´ethode s´ecante modifi´ee, ces grandeurs effectives sont d´efinies comme les moyennes quadratiques sur la phase matricielle

d^eff_v = q d2 v m ; d^eff_d = q d2 d m . (6.39)

D’apr`es [35, 51], adapt´e de [58] pour la poro´elasticit´e, ces estimations sont obtenues par d´erivation de la densit´e macroscopique d’´energie potentielle par rapport aux modules ad´equats :

1 2⁽¹− ρ)^d^eff_v ^2= ^{∂Ψ(D, p, ̟)} ∂k_m ^, 1 2⁽¹− ρ)^d^eff_d ^2= ^{∂Ψ(D, p, ̟)} ∂2µ_m ^. (6.40)

De mˆeme, les sauts de vitesse effectifs `a l’interface sont d´efinis par Jv_nK^eff=

q

Jv_nK2^Γ ; Jv_tK^eff= q

Jv_tK2^Γ. (6.41)

Les r´esultats de Kreher [58] ont ´et´e ´etendus `a la pr´esence d’interfaces dans Maalej et al. [63], ce qui donne 1 2 |Γ| |Ω|  Jv_nK^eff2= ^{∂Ψ(D, p, ̟)} ∂K_n ^. 1 2 |Γ| |Ω|  JvtK^eff2= ^{∂Ψ(D, p, ̟)} ∂K_t ^. (6.42)

Estimation de Mori-Tanaka

Le probl`eme lin´eaire (6.34) va ˆetre r´esolu par recours `a un sch´ema de Mori-Tanaka, g´en´eralis´e `

a la pr´esence d’interfaces, pour prendre en compte la morphologie matrice-inclusion. Lorsque les inclusions sont sph´eriques et mono-disperses, l’utilisation de ce sch´ema d’homog´en´eisation est justifi´ee si la distribution spatiale des inclusions est isotrope. Cette hypoth`ese est adopt´ee par la suite. Le rayon des inclusions sph´eriques est not´e R₀ et la fraction volumique d’inclusions ρ. Les inclusions ne se recouvrant pas, la surface sp´ecifique des interfaces est alors

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