Un modèle Automates Cellulaires- Eléments finis (CAFE) est développé à MINES ParisTech CEMEF, dont le dernier contributeur majeur est Tommy Carozzani [108]. La partie qui suit présente ses généralités. Il est basé sur des modèles physiques.
Le modèle CAFE a pour but de rendre compte de la croissance des structures solides lors de la solidification. Deux entités sont utilisées, à savoir le maillage éléments finis qui permet de résoudre les équations régissant les données physiques sur tout le système étudié et l’automate cellulaire. Cette autre subdivision est basée sur un découpage fixe du volume en cellules cubiques, plus fin que le maillage éléments finis.
L’état de ces cellules va permettre de suivre la croissance des structures solides dans le liquide. Cet état est noté I suivi d’un indice lié à la cellule, dans l’exemple, I peut être égal à 0, 1 ou 2 si la cellule est liquide, contient des grains en train de croître ou est entièrement solide. L’enveloppe de la structure est représentée par une forme octaédrique dont certaines frontières suivent la croissance macroscopique de la structure associée. Ce choix de représentation géométrique est motivé par le besoin de rendre compte des directions préférentielles de croissance des structures dendritiques des alliages métalliques à structure cubiques. Ainsi les pointes de dendrites sont orientées suivant la direction <100> coïncidant avec les sommets de l’octaèdre. Autrement dit, l’enveloppe est une représentation intégrale de la structure en s’appuyant sur les pointes des dendrites, mais l’intérieur de l’enveloppe est composé d’une phase solide qui croît dans le liquide.
Avant de suivre la croissance d’une structure solide, il convient de gérer la germination. La distribution des sites potentiels de germination est une donnée d’entrée, représentée en 2D par une gaussienne avec une densité de germination et une valeur de surfusion. Cette germination est gouvernée par deux critères. Tout d’abord, des conditions sur sa localisation sont posées en interdisant à une structure de germer s’il n’y a plus de liquide par exemple ou si cette structure existe déjà dans la cellule en question. Ensuite, un critère en température est déterminé en « tirant » une surfusion critique pour chaque site potentiel. Cette gestion aléatoire du critère en température ainsi que de l’orientation du germe créé permet de reproduire de manière satisfaisante la factualité.
La localisation et l’orientation du germe connues, sa croissance est régis par les équations et données physiques qui décrivent le système. À noter que si les directions de croissance privilégiées restent toujours sur les sommets de l’octaèdre originel, cette enveloppe peut naturellement se déformer sous l’effet du gradient de température. La croissance d’une structure est suivie au-delà de la cellule initiale par capture de cellules voisines. Cette capture est effective lorsque le centre d’une cellule voisine est atteint par l’enveloppe. Les conditions de cette capture restent la présence de la phase liquide propice à la croissance de la structure ou la non présence préalable de la structure. Afin d’éviter l’accroissement de l’octaèdre, repérant certaine frontières
de l’enveloppe, une nouvelle forme géométrique est définie afin de suivre toujours localement l’évolution de l’enveloppe. L’algorithme réalisant cette tâche a été introduit par Gandin et al. [111].
Enfin le choix de caractériser les cellules par des états élémentaires ainsi que des variables à valeur finie permet de réduire considérablement le temps de calcul en concentrant la puissance de calcul sur les zones de transition.
3.2
La mise en données
Les trois épaisseurs de plaques ont été simulées avec le modèle CAFE. Un volume est défini pour réaliser le maillage par élément fini. Pour la partie automate cellulaire, il y a plusieurs données d’entrée à fournir au modèle :
Une loi de croissance : à l’aide d’un modèle numérique, en fonction du rayon de courbure de l’interface solide/liquide et des coefficients de diffusion des éléments d’alliage dans le liquide, le profil de composition chimique est établi en lien avec la vitesse de croissance du solide. Autrement dit, il est possible de déterminer la vitesse d’avance du solide en fonction de la surfusion. Ce travail est réalisé sur un échantillon de points afin de définir une loi du type :
v A∆T
La corrélation des courbes a permis d’établir A=6,42.10-7 m.s-1.K-1 et n=2,506.
Une taille de cellule : elle est de 5 µm pour la plaque de 5 mm, 25 µm pour la plaque de 10 mm et 50 µm pour la plaque de 25 mm.
Un pas de temps : 0,02 seconde pour la plaque de 5 mm et 0,05 pour les deux autres.
Les conditions thermiques : le volume simulé correspond à un petit élément extrait de la plaque. Ce petit élément volumique comprend les faces extérieures des plaques (faces latérales verticales). Une condition adiabatique est imposée sur les 4 autres faces. Bien entendu, le petit élément de volume que l’on souhaite simuler est celui où se trouvent les analyses menées au chapitre 2. Les simulations réalisées avec Thercast ont permis d’accéder à l’histoire thermique de l’extrême surface de la plaque dans les lieux choisis (plus de détails sont donnés Chapitre 4 partie 2). Ce sont donc ces résultats qui sont implémentés dans le calcul.
Le dernier élément nécessaire est la densité de germination. Plusieurs observations peuvent nous permettre de l’estimer. Elles sont issues des cartes EBSD des échantillons étudiés (Figure 40Figure 43). Tout d’abord, l’observation attentive des côtés correspondant au contact entre la plaque d’Inconel et le moule permet d’établir par analyse inverse la densité de germination sur les faces extérieures. Deux types de contact sont définis, celui entre le métal et le feutre d’alumine et celui entre le métal et la plaque chauffante en acier. Pour chacun des types, la valeur moyenne des observations de tous les clichés disponibles est retenue. Puis, la densité de germination volumique est déterminée de la même manière en observant le résultat des simulations dans leur ensemble. Ces données ont été utilisées pour les trois simulations. Ces simulations sont différentes tant en termes de volume simulé, de type de contacts extérieurs et de conditions thermiques. La bonne corrélation entre les résultats des simulations et les cartes EBSD expérimentales permet de valider les lois de germination choisies.
La répartition de la densité de germination suit une loi normale d’écart type et de surfusion moyenne µ. La deuxième colonne du Tableau 17 exprime la densité maximale de sites de germination. √ Type de loi Densité de germination [m-3] Surfusion moyenne [K] Ecart type σ [K] Surfacique : Inconel/feutre d’alumine 5.105 1,5 0,5 Surfacique : Inconel/plaque chauffante en
acier 2.10
8
1,5 0,5
Volumique 8.107 1,5 0,55
Tableau 17 : paramètres des lois de germination utilisés pour toutes les simulations en fonction du types de contacts.
3.3
Les résultats
1 mm
Figure 93 : comparaison qualitative des résultats de la simulation à gauche sur une coupe centrale d’un volume de section 1 mm par 1 mm et de longeur 5 mm avec les résultats expérimentaux (Structure granulaire de l’échantillon extrait de la plaque de 5 mm).
La comparaison des résultats expérimentaux et numériques permet de valider les lois de germination choisies. On retrouve notamment assez bien la transition colonnaire equiaxe ainsi que la densité de germination surfacique. Cependant, on peut remarquer que globalement, la germination en volume est sous-estimée dans les simulations. On peut poser l’hypothèse que la fragmentation des bras de dendrite lors de la solidification, puis la croissance de nouveaux grains à partir de ces débris provoque une augmentation importante du nombre de grains. Ce phénomène n’étant pas pris en compte dans la simulation, on obtient davantage de gros grains et jamais de très petits grains en volume.
1 mm
Figure 94 : comparaison qualitative des résultats de la simulation. A gauche une partie d’une coupe de la simulation correspondant à la plaque de 10mm. Le volume simulé est égal à un cube de 10 mm de côté. A droite, une carte EBSD issue de la plaque de 10 mm coulée sans surchauffe.
2 mm
Figure 95 : comparaison qualitative des résultats de la simulation. À gauche une partie d’une coupe de la simulation correspondant à la plaque de 25 mm. Le volume simulé est un pavé de section 20 mm par 20 mm et de longueur 25 mm. À droite, une carte EBSD issue de la plaque de 25 mm